(2+1)維Zakharov 方程的自相似變換和線怪波簇激發*

張解放 俞定國 金美貞

1) (浙江傳媒學院智能媒體技術研究院,杭州 310018)

2) (浙江省影視媒體技術研究重點實驗室,杭州 310018)

3) (浙江傳媒學院媒體工程學院,杭州 310018)

4) (浙江傳媒學院網絡數據中心,杭州 310018)

首先建立(2+1)維(二維空間和一維時間)Zakharov 方程的自相似變換,并將該系統轉換為(1+1)維非線性薛定諤(nonlinear Schr?dinger,NLS)方程;然后基于該相似變換和已知的(1+1)維NLS 方程有理形式解,通過選擇合適參數得到了(2+1)維Zakharov 方程在x-y 平面上豐富的線怪波簇激發,發現產生線怪波簇最大輻值時的傳播距離 z 值完全不同,而且形狀和幅度可以得到有效調控;最后借助圖示展現了二維怪波的傳播特征.此外,發現在x-y 平面上,當參數 γ=1 時,呈現線怪波;而當參數 γ1 時,線怪波轉變為離散的局域怪波.隨參數 γ 的增大,可以在x-y 平面限定區域獲得時空局域的怪波,這與Peregrine 在(1+1)維NLS 方程中發現的“Kuznetsov-Ma 孤子”(Kuznetsov-Ma soliton,KMS)或“Akhmediev 呼吸子”(Akhmediev breather,AB)極限情形的“Peregrine 孤子”(Peregrine soliton,PS)類似.本文提出的(2+1)維Zakharov 方程怪波方法可以作為獲得高維怪波激發的有效途徑,并推廣應用于其他(2+1)維非線性系統.

1 引言

怪波概念起源于海洋,用來描述海洋上出現的一種奇怪的海浪,是一種波幅很大、持續時間極短的突然性海浪,對海面上的船只和構建物具有極大的破壞力[1,2].近20 年來,人們普遍認為怪波是一種典型的自然現象[3],由于其奇異的特征、獨特的物理機制和有價值的應用背景,引起學術界的強烈興趣,研究領域從海洋延伸到非線性光學系統[4,5]、等離子體[6]、流體動力學[7,8]、大氣[9]、玻色-愛因斯坦凝聚[5]、微波[10]、超流體[11]和金融系統[12],既有豐富的理論成果[13?16],又有重要的實驗驗證[17?18].

Peregrine[19]在(1+1)維(一維空間和一維時間)非線性薛定諤(nonlinear Schr?dinger,NLS)方程中首先發現一種時空雙重局域的新型“Peregrine 孤子”(Peregrine soliton,PS),具有“來無影去無蹤”特征.Akhmediev 等[20]對NLS 方程的怪波做了比較全面的分析,指出怪波是一種非奇異的有理形式結構,是“Kuznetsov-Ma 孤子”(Kuznetsov-Ma soliton,KMS)或“Akhmediev 呼吸子”(Akhmediev breather,AB)的極限情形,Kedziora等[21]還相繼發現了NLS 方程的高階怪波和多怪波.

實際的物理問題一般由高維非線性波動模型描述,因此有必要對(2+1)維(二維空間和一維時間)或(n+1)維NLS 方程開展研究.近年我們建立了一種自相似變換方法,得到了非自治Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程有理函數表示的二維單、雙、三怪波解[22]和Fokas 系統的二維怪波激發[23].本文進一步探索自相似變換理論,研究(1)式模型的二維怪波激發及其傳播特性,

(1)式是由Zakharov 提出的(2+1)維NLS 方程,為區別不同NLS 方程的(2+1)維推廣,本文稱(1)式為(2+1)維Zakharov 方程[24]其可以改寫為以下形式:

當y=x時,(2)式退化為眾所周知的(1+1)維NLS方程;當z=0,(1)式則退化為復式Sine-Gordon方程.Radha 等[25]指出(2+1)維Zakharov方程具有Painlevé性質,并進行了奇異結構分析,給出了雙線性形式;Strachan[26]利用雙線性方法并通過自由選取的任意函數構造了一類新的誘導局域相干結構的方法;Radha 等[27]利用任意函數得到了單孤子解和雙孤子解;Shen 等[28]利用雙線性算子方法,給出了同宿軌道解及其所表示的同宿軌道;Wang 等[29]利用動力系統方法和分岔理論,研究了NLS 方程的行波解,得到了有界行波解的可能顯式參數表示,并給出了參數空間內的各種相圖;Chen 等[30]應用雙線性方法求得了呼吸子解和一階怪波解,還利用Sato 算子理論給出了一階和高階怪波解;Wang 等[31]利用雙線性方法和長波極限方法得到n孤子的有理解和混合解;Chen等[32]利用朗斯基行列式,給出了一種簡便構造呼吸子解和怪波解的有效方法.

本文首先建立(2+1)維Zakharov 方程的自相似變換,然后基于(1+1)維NLS 方程已有的結果,在x-y平面上得到怪波激發;最后給出討論,列舉三個文獻[30?32]給出的線怪波作為本文的特例.值得提及的是,本文還發現了x-y平面有限區域內的短壽命怪波,與(1+1)維NLS 方程發現的一維怪波原型相同.

2 (2+1)維Zakharov 方程的自相似變換

為了研究(2+1)維Zakharov 方程引入下列相似變換,

其中ρ1(z),ρ2(z),?(ξ,ζ),ψ(ξ,ζ),φ(x,y,z) 和ξ=ξ(x,y,z),ζ=ζ(z)分別是指定變量的待定函數.從(3)式可以得到

將(4)式—(6)式代入(1)式導出

對于(7)式,若ξ(x,t),τ(t),?(x,y,t) 滿足下列關系：

那么(8)式可轉化為(1+1)維NLS 方程:

不失一般性,(8)式取積分后的積分常數為0.

鑒于(2+1)維Zakharov 方程對空間變量x,y具有一定的對稱性,(9)式可定義相似變量ξ為

其中κ(z),ω(z) 是關于傳播距離z的待定實函數,γ是一個任意常數.結合(16)式,由(10)式可以推定φ(x,y,z) 具有如下形式:

由(10)式—(14)式可求得

其中w0,?0,α0,?0,β0為實常數,w(z)=w0(1?2α0z) .整理后得到

其中

因為ρ0是常數,因此只能選取α0=0,表明在這種情形下該系統不存在啁啾,于是得到

其中?c(z)=?(?0+2γβ0z) 為脈沖的中心位置.綜上可知該系統的脈沖寬度為w0,相位φ(x,y,z)=?β0(x+γy)??φ0,振幅擴大系數為/w0.

通過自相似變換(3)式,把(2+1)維Zakharov方程映射為(1+1)維NLS 方程.(15)式是一個可積系統,已有各類解析和數值方法研究,并得到了行波解、亮孤子解、暗孤子解、呼吸子解和有理數解等豐富結果.下面借助(15)式的相關結果,深入研究(1)式的二維怪波激發.

3 線怪波簇激發及其傳播特性

下面考慮(2+1)維NLS 方程(1)式或(2)式的線怪波激發和動力學傳播特征.眾所周知,(1+1)維NLS 方程具有如下形式的怪波解,

其 中n(=1,2,3,···) 是正整數,Gn(ξ,ζ),Hn(ξ,ζ),Fn(ξ,ζ)是有理多項式函數,并要求多項式Fn(ξ,ζ)在積分區域不為0,且可以用不同的方法求得.

值得指出的是,(2+1)維Zakharov 方程的一階線怪波激發,即(28)式是關于坐標x,y的線性組合坐標ξ,ζ和傳播距離z表示的有理形式解.考慮到實際物理背景,譬如光學上研究的波導介質截面,水動力學研究的水表面等,需要在平面上討論(2+1)維Zakharov 方程的怪波解才有實際意義.類比于KP 方程的線孤子解,在x-y平面上分析討論(1)式的線怪波動力學傳播特性.

對n=1,有

則(28)式成為

通過選擇適當的自由參數值,由(30)式可得到(1)式的一階線怪波演化圖.圖1(a),(b),(c)分別是當傳播距離z=?3,0,1 時一階線怪波在x-y平面上的三維圖,A表示該位置時一階線怪波的最大幅值;(d),(e),(f)分別是對應的投影圖,參數值為w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=0 .

圖1 傳播距離 z=?3,0,1 時一階線怪波 |u| (a),(b),(c) 三維圖;(d),(e),(f) 對 應x-y 面上的投影圖;(a),(d) A=1.45;(b),(e) A=4.24;(c),(f) A=1.71Fig.1.One-order line rogue wave |u| respectively at the propagation distance z=?3,0,1 :(a),(b),(c) Three-dimensional plots;(d),(e),(f) the corresponding contour plots in the x-y plane;(a),(d) A=1.45;(b),(e) A=4.24;(c),(f) A=1.71.

對n=2,G2(ξ,ζ),H2(ξ,ζ),F2(ξ,ζ) 可以有多種不同的形式.若選取

則(28)式成為

其中ρ1,ξ,ζ,φ由相似變換(25)式—(27)式表示,?(x,y),?c(z)由(23)式給出.由于(34)式中μ,δ是任意常參數,因此具有多種不同的結構.最簡單的情況是μ=δ=0,通過選擇適當的自由參數值,由(34)式可得到(1)式的二階線怪波演化圖.圖2(a),(b),(c)分別是當傳播距離z=?3,0,1 時在x-y平面上的二階怪波的三維圖,(d),(e),(f)分別是對應的投影圖,參數取值為w0=γ=β0=1,?0=ζ0=?0=μ=δ=0.

圖2 傳播距離 z=?3,0,1 時二階線怪波 |u| (a),(b),(c)三維圖;(d),(e),(f) 對 應x-y 面上的投影圖;(a),(d) A=1.58;(b),(e) A=7.32;(c),(f) A=1.93Fig.2.Two-order line rogue wave |u| respectively at the propagation distance z=?3,0,1 :(a),(b),(c) Three-dimensional plots;(d),(e),(f) the corresponding contour plots in the x-y plane;(a),(d) A=1.58;(b),(e) A=7.32;(c),(f) A=1.93.

當μ,δ都不為0 時,(34)式描述的是(2+1)維Zakharov 方程的線怪波簇(rogue wave cluster,RWC).具有以下5 種情況:1)μ=100,δ=0;2)μ=0,δ=100;3)μ=40,δ=20;4)μ=20,δ=?20 ;5)μ=?20,δ=20.這5 種情況分別對應圖3—圖7,其中各圖的(a),(b),(c)圖分別是不同傳播距離z時在x-y平面上線怪波簇的三維圖,(d),(e),(f)圖對應投影圖,其他參數取值為w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=0.這5 種情況雖描述的都是線怪波簇,但產生線怪波簇最大輻值A的傳播距離z值(位置)和形狀完全不同,參數選取具體見圖3—圖7中說明.

圖3 傳播距離 z=?3,0, 2 時二階線怪波 |u| (a),(b),(c) 三維圖;(d),(e),(f) 對應x-y 面上的投影圖;(a),(d) A=1.52;(b),(e) A=3.99;(c),(f) A=1.69;參數w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=δ=0,μ=100Fig.3.Two-order line rogue wave |u| respectively at the propagation distance z=?3,0, 2 :(a),(b),(c) Three-dimensional plots;(d),(e),(f) the corresponding contour plots in the x-y plane;(a),(d) A=1.52;(b),(e) A=3.99;(c),(f) A=1.69;the parameters are w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=δ=0, μ=100 .

圖4 傳播距離 z=?1.5, ?0.635, 0.5 時二階線怪波簇 |u| (a),(b),(c) 三維圖;(d),(e),(f) 對應x-y 面上的投影圖;(a),(d) A=1.80;(b),(e) A=5.81;(c),(f) A=2.23;參數w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=μ=0,δ=100Fig.4.Two-order line rogue wave |u| respectively at the propagation distance z=?1.5, ?0.635, 0.5 :(a),(b),(c) Three-dimensional plots;(d),(e),(f) the corresponding contour plots in the x-y plane;(a),(d) A=1.80;(b),(e) A=5.81;(c),(f) A=2.23;the parameters are w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=μ=0,δ=100 .

圖5 傳播距離 z=0,0.5,1.0 時二階線怪波簇 |u| (a),(b),(c)三維圖;(d),(e),(f) 對應x-y 面上的投影圖;(a),(d) A=2.76;(b),(e) A=4.36;(c),(f) A=2.78;參數w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=0,μ=40,δ=20Fig.5.Two-order line rogue wave |u| respectively at the propagation distance z=0,0.5,1.0 :(a),(b),(c) Three-dimensional plots;(d),(e),(f) the corresponding contour plots in the x-y plane;(a),(d) A=2.76;(b),(e) A=4.36;(c),(f) A=2.78;the parameters are w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=0,μ=40,δ=20 .

圖6 (a),(b),(c)傳播距離 z=?1,0.29,1.5 時二線怪波簇 |u| 在x-y 平面上的三維圖;(d),(e),(f)對應的投影圖;(a),(d) A=2.76;(b),(e) A=4.53;(c),(f) A=1.72;參數w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=0,μ=20,δ=?20Fig.6.Two-order line rogue wave |u| respectively at the propagation distance z=?1,0.29,1.5 :(a),(b),(c) Three-dimensional plots;(d),(e),(f) the corresponding contour plots in the x-y plane;(a),(d) A=2.76;(b),(e) A=4.53;(c),(f) A=1.72;the parameters are w0=γ=β0=1,?0=ζ0=?0=0,μ=20,δ=?20 .

圖7 傳播距離 z=?1.5, ?0.295,1 時二階線怪波簇 |u| (a),(b),(c) 三維圖;(d),(e),(f)對應x-y 面上的投影圖;(a),(d) A=1.72;(b),(e) A=4.39;(c),(f) A=2.39;參數w0=γ=β0=1,?0=ζ0=φ0=0, μ=?20,δ=20Fig.7.Two-order line rogue wave |u| respectively at the propagation distance z=?1.5, ?0.295,1 :(a),(b),(c) Three-dimensional plots;(d),(e),(f) the corresponding contour plots in the x-y plane;(a),(d) A=1.72;(b),(e) A=4.39;(c),(f) A=2.39;the parameters are w0=γ=β0=1,?0=ζ0=?0=0, μ=?20,δ=20 .

對于高階線怪波和其他形式結構的怪波都可以做類似研究,限于篇幅這里不深入討論.由圖1—圖7 可以看出,在真實的x-y平面上線怪波簇呈現出類似線孤子的形態,產生線怪波的背景值都是1.42.但與線孤子不同的是,其峰值不僅很大,而且衰減極快,具有怪波的大振幅、短壽命特征.

當寬度w0確定后,只有參數γ對一階線怪波的形態產生影響.圖8 展現了一階怪波(30)式在x-y平面上隨參數γ在z=0 時的不同形態,和圖1—圖7 一樣,隨z快速衰減,具有怪波的大振幅、短壽命特征.可以看出,在x-y平面上,隨γ的取值變化,一階線怪波轉變為分立的怪波.當γ=15 時,在區間 [?10,10] 的x-y平面上呈現局域的單個短壽命怪波.當γ=20 時,在區間 [?20,20] 的x-y平面上呈現局域的單個短壽命怪波.值得注意的是,脈沖寬度w0影響怪波的幅值和形狀,β0對怪波產生的位置和形狀基本沒有影響,?0,ζ0影響怪波的產生位置但不影響怪波的形狀.圖8 給出了當z=0時,一階線怪波在x-y平面上不同參數γ下的形態,各分圖一階線怪波的最大幅值A=6.36,其中參數值為w0=2/3,β0=1,?0=ζ0=?0=0 .

圖8 在 z=0 時,一階線怪波 |u| 在x-y 平面上不同參數 γ 下的形態 (a) γ=1 ;(b) γ=3 ;(c) γ=6 ;(d) γ=10 ;(e) γ=15 ;(f) γ=20Fig.8.One-order rogue wave |u| in the x-y plane under the different γ at the propagation distance z=0 :(a) γ=1 ;(b) γ=3 ;(c) γ=6 ;(d) γ=10 ;(e) γ=15 ;(f) γ=20 .

4 結論

本文構造的(2+1)維Zakharov 方程線怪波激發不僅豐富,而且具有一般性.Chen 等[30]應用Hirota 雙線性算子方法得到如下形式的(2+1)維Zakharov 方程

的周期解和極限情形的一階怪波解,同時在NLS方程的Grammian 行列式解的基礎上,利用Sato算子理論得到方程的一階和高階怪波解.如一階線怪波為

Wang 等[31]應用Hirota 雙線性算子方法得到如下形式的(2+1)維Zakharov 方程

的怪波解

Chen 等[32]應用Hirota 雙線性算子方法得到如下形式的(2+1)維Zakharov 方程

的線怪波為

總之,本文研究建立了(2+1)維Zakharov 方程的自相似變換理論,得到了它的類似KP 方程線孤子特征的線怪波激發,并通過選用合適的參數用圖像分別刻畫了一階線怪波和二階線怪波的傳播特性.特別指出,在x-y平面上,當參數γ=1 時,呈現線怪波;而當參數γ1 時,線怪波變為似梳子怪波,并隨參數γ的增大,怪波間距不斷變大,可以在要求的平面區域內獲得二維空間全局域的短壽命的怪波.這與Peregrine[20]在(1+1)維NLS方程中發現的PS 類似,是KMS 或AB 的極限情形.

本文提出的(2+1)維Zakharov 方程的自相似變換方法,不僅減少了研究高維問題的復雜運算,而且給出了構造高維怪波激發的有效機制,提供了比文獻[33?40]更豐富的包括怪波在內的局域相干結構.本文思路可應用于Fokas 系統和Davey-Stewartson 模型,相關研究進行中.