總體最小二乘在沉降監測數據中的應用研究

胡俊凱，馮杭華

（1.浙江華東測繪與工程安全技術有限公司，浙江 杭州 310014）

隨著3S等測繪科學技術的迅猛發展，高精度的測量數據處理技術得到日益重視。考慮到誤差會不可避免地存在于觀測數據中，在復雜的觀測數據中得到高精度的模型估計參數是目前研究的難點[1]。測量平差的基本任務就是處理一系列帶有誤差的觀測值，求出未知參數的最優估值，并評定參數精度[2]。對于Guass-Markov方程的求解，最小二乘法(least squares,LS)是一種經典的方法。然而，在實際建模中，當觀測向量包含誤差時，由觀測向量一次累加而形成的系數矩陣同樣包含誤差，如果再使用LS求解，計算出的未知參數是有偏差的[3]，全誤差模型(errors-in-variables,EIV)將觀測向量誤差和系數矩陣誤差納入誤差模型，其獨特的優勢已經引起大量學者的研究。總體最小二乘(total least squares,TLS)算法兼顧系觀測矩陣和系數矩陣的誤差，TLS解被證明具有漸進無偏性[4-6]。本文詳細論述了Guass-Markov方程的最小二乘和總體最小二乘解法，并利用路基沉降分析實例，具體分析了2種解法下的預測結果。

1 LS和TLS參數求解

1.1 最小二乘參數求解

Guass-Markov方程L=AX是測量中常用的觀測方程，作為經典平差，其處理理論也較為成熟，若僅考慮觀測誤差的影響，其誤差方程為[7]：

1.2 總體最小二乘求解

最小二乘估計只能保證在某個方向上方差最小，而不能保證在整個方程中最優。當誤差方程系數矩陣中含有誤差時，直接采用LS方法得到的參數估值不再具有無偏性、方差最小的特性，為了得到最優估值，需要采用顧及系數矩陣誤差的總體最小二乘方法。

最小二乘估計方法同總體最小二乘估計方法的最大區別是，總體最小二乘估計方法將系數矩陣作為未知量。全誤差EIV模型的思想可以歸納為：不僅白化微分方程中觀測向量L包含誤差eL，同時系數矩陣A同樣包含誤差EA[8]。Guass-Markov方程的EIV模型為[9]：

其隨機模型為

式中，vec(·)表示矩陣拉直運算；vec(EA)表示將改正項EA從左至右逐列拉直的向量；表示單位權中誤差；QL表示觀測向量協方差矩陣；QA表示系數協方差矩陣；QLA表示觀測向量同系數矩陣的誤差關系，且，一般情況下不考慮觀測向量同系數矩陣的誤差關系，即

求解上述方程求解可轉化為約束優化問題：

約束條件：L+eL∈Range(A+eA)，式中‖·‖F是矩陣的Fronenius范數。

Euler-Lagrange逼近參數求解方法：

公式(4)可轉化為：

其誤差隨機模型為：

在上式中，符號?表示Kronecker-Zehfuss積，總體最小二乘的平差準則為：

在上述模型中，方程中的參數個數不等于方程個數。為求解模型中未知參數X，需構造Lagrange目標函數：

式中，λ為維數為Lagrange因子；其中EA·X=(XT?In)·vec(EA)，對其求偏導可得：

在上述方程中，未知參數個數等于方程個數，方程具有唯一解。將公式11-12代入式(13)整理可以得：

因為原始方程為非線性方程，最為常用的方法為迭代法，具體解算過程如下：

步驟1：通過最小二乘方法計算出參數X的初值

步驟2：Lagrange因子λ。

該方法方差為：

則單位權方差的中誤差為

2 工程實例驗證

灰色理論對小樣本、非等間隔時間序列的處理有一定的優勢，它能深入挖掘數據內部隱含的信息，在路基沉降數據處理中具有良好的預測精度[10-12]。為比較灰色理論的最小二乘估計同總體最小二乘估計的預測精度，選用貴廣高鐵路基沉降數據進行分析。高速鐵路建設需嚴格控制工后沉降，路基沉降觀測是確保高速鐵路正常運營的重要部分。本高鐵路基沉降觀測項目應業主要求，在鋪軌前6個月對路基進行沉降觀測。沉降數據取至路基沉降中后期，監測儀器為TrimbleDi Ni03電子水準儀，并選用配套的銦鋼精密條碼水準尺，儀器標稱精度符合要求，監測標準為國家二等水準要求，監測點上使用沉降板進行覆蓋，沉降板埋設于基床底中心，并隨基床施工高度增加，接管連續觀測。本文以某沉降監測點A為例進行沉降分析與評估，A點監測周期是7 d，監測時間為1 a，共獲得了52期觀測數據。圖1描述了A點本期沉降觀測值和總沉降量。在路基沉降評價體系中需要根據觀測數據做多種回歸曲線，當曲線回歸的相關系數不低于0.92時，預測方程才可用于沉降預測。

圖1 A沉降點本期沉降觀測值和總沉降量變化圖

由圖1可知，A沉降點在前期下沉速率較快，后期趨于穩定，具有飽和發展過程。受觀測條件的影響，觀測數據中會包含噪聲，因此，在路基沉降觀測后期，觀測值仍在不斷波動。在數據處理中，文章首先對前15期數據進行GM(1,1)模型，采用最小二乘和總體最小二乘估計方法分別求解模型未知參數，然后預測沉降觀測數據。前15期的沉降預測數據見表1。

由表1可知，隨著路基沉降值得增大，GM(1,1)的預測值同樣也增大，并且增大的幅度同路基沉降速率差不多，這說明GM(1,1)用于路基沉降預測是可行的，具有良好的預測精度。在GM(1,1)預測殘差中，GM(1,1)中LS估計最大殘差絕對值為1.064 mm，而GM(1,1)中TLS估計最大殘差絕對值為0.994 mm，小于GM(1,1)-LS估計；GM(1,1)-LS估計和GM(1,1)-TLS估計殘差平方和分別為3.602 mm2、3.305 mm2。這說明在此次沉降預測中，GM(1,1)-TLS估計的預測穩定性高。于GM(1,1)-LS估計。圖2描繪了2種方法的殘差值具體變化。

表1 不同估計方法擬合數據精度對比

圖2 GM(1,1)-LS估計同GM(1,1)-TLS預測殘差對比圖

由圖2可知，GM(1,1)-LS估計和GM(1,1)-TLS估計都圍著零點上下波動，在前5期中，GM(1,1)-TLS偏離程度大于GM(1,1)-LS，但在后期預測中，預測精度明顯高于GM(1,1)-LS。由表1和圖2可知，GM(1,1)-TLS估計擬合預測精度要高于GM(1,1)-LS估計，采用TLS估計，預測穩定，預測精度高。路基沉降各期預測值，如圖3所示。

由圖3可知，GM(1,1)-LS估計和GM(1,1)-TLS估計在后期都趨于穩定，同路基先沉降速率加快，之后逐漸減慢，最后趨于穩定的變化趨勢相符，這說明GM(1,1)預測方法可以應用于路基沉降預測。在路基沉降后期階段，GM(1,1)-LS預測值同觀測值的偏離程度大于GM(1,1)-TLS預測值，這說明對GM(1,1)白化微分方程采用總體最小二乘估計預測精度高于最小二乘預測，因此，兼顧系數矩陣和觀測向量誤差的總體最小二乘估計方法有利于提高預測精度。綜上分析可知，GM(1,1)總體最小二乘估計方法預測穩定，預測精度高，可以廣泛應用于路基沉降預測。

圖3 GM(1,1)-LS，TLS估計方法預測數據對比圖

3 結語

總體最小二乘方法是最近出現的可以同時顧及系數矩陣誤差額觀測值誤差的一種數據處理方法，在信號處理、測量平差等領域得到了廣泛的研究和應用。目前，總體最小二乘方法已經廣泛應用于坐標轉換、大地測量反演、工業測量、GPS數據處理、攝影測量、室內定位、天文學等。通過路基沉降預測的實例，結果表明總體最小二乘算法在路基沉降預測中也有較好的應用效果。