應用于二維傾斜儀中的圓弧柱面差動電容理論分析

胡遠旺 鄒 彤 馬武剛

1 中國地震局地震研究所，武漢市洪山側路40號，430071 2 武漢引力與固體潮國家野外觀測研究站，武漢市洪山側路40號，430071 3 地震預警湖北省重點實驗室，武漢市洪山側路40號，430071

地傾斜測量是研究地殼形變和固體潮的重要手段，對地球動力學研究和地震前兆觀測具有重要意義[1-3]。高精度垂直擺傾斜儀由于體積小、自動化程度高、維護方便等優點，在我國地震前兆觀測臺網中得到廣泛應用[4-6]。由于垂直擺傾斜儀是基于高精度平面電容進行微位移檢測的，限定了其只有1個敏感軸方向。若要同時測量2個正交方向(東西向和南北向)的傾斜量，常用的方法是在同一底板上安裝2個單分向的垂直擺傾斜儀傳感器，分別獲取東西向和南北向的地傾斜信號。但這種方式不僅需要保證2個傳感器的一致性，還存在成本高、工作量大等問題。而采用圓弧柱面電容極板的二維傾斜儀，通過合理布置電容極板，即可實現采用單個傾斜儀傳感器同時測量2個方向的傾斜量[7-8]。本文對應用于傾斜儀中的圓弧柱面電容器進行分析，為基于圓弧柱面電容極板的二維傾斜儀的研制提供理論依據。

1 基于圓弧柱面電容極板的二維傾斜儀模型

圖1為基于圓弧柱面電容極板的二維傾斜儀模型，主要由吊絲、圓柱形擺體和4片均勻分布的圓弧柱面極板構成。圓柱形擺體通過吊絲懸掛作為電容動極，與4塊圓弧柱面電容定極板構成2對敏感軸相互正交的差動電容器，在每對圓弧柱面定極板上施加幅度相等、相位相反的激勵信號，再由擺體動極板引出輸出信號，通過解耦電路就可同時測量2個敏感軸方向的傾斜位移量。

圖1 基于圓弧柱面電容極板的二維傾斜儀模型Fig.1 Two-dimensional tiltmeter model based on arc cylindrical capacitor plate

2 圓弧柱面差動電容計算

2.1 差動電容工作原理

差動電容方法已廣泛應用于高精度位移測量中，以提高測量信號輸出的線性度。垂直擺傾斜儀中的平板差動電容結構如圖2所示，中間為動極板，兩側為定極板。若在2個定極板上施加幅度相等、相位相反的激勵信號u和-u，可在動極板上檢測得到輸出信號u0。由基爾霍夫定律公式計算極板間電容C1、C2，得到動極板偏移兩定極板中心零位的距離x，如已知懸掛吊絲折合擺長h，可計算得到傾斜位移量。

圖2 平面差動電容示意圖Fig.2 Schematic diagram of planar differential capacitor

圖2對應的等效電路如圖3所示。

圖3 差動電容等效電路Fig.3 Equivalent circuit of differential capacitor

由基爾霍夫定律可得：

變換得到電路中輸出電壓與激勵電壓的關系為：

2.2 圓弧柱面極板的電容計算

以垂直傾斜儀中圓柱形動極板與一塊圓弧柱面定極板為例進行分析，其幾何分布如圖4所示。

圖4 同軸圓弧柱面極板電容器模型Fig.4 Coaxial arc cylindrical plate capacitor model

為計算動極板與定極板間的電容量，構建一個包含圓弧柱面的密閉曲面。根據高斯定理，通過該閉合曲面的電通量ΦE為[1]：

電容極板之間的電場強度E為：

式中，Q為極板上電荷，εr為相對介電常數，r為動極板半徑，θ為圓弧柱面極板的圓心角，L為極板高度。極板兩端的電壓U為：

定極板與動極板之間的電容C為：

式(6)反映了同軸圓弧柱面極板電容器的電容。而作為動極板的圓柱形擺體，實際應用在傾斜儀電路中的電容器敏感到外界發生傾斜時就會出現位移變化，其位移變化的平面幾何分布如圖5所示。顯然，產生位移后2個極板不再同軸，此時定極板和動極板的間距隨定極板圓心角的變化而變化。采用有限元方法分析，將圓弧柱面電容極板分割成若干個圓心角為dθ的動極板，每個小動極板dθ對應電容為dC。由式(6)可得到：

圖5 非同軸圓弧柱面極板電容器模型Fig.5 Non-coaxial arc cylindrical plate capacitor model

(7)

圖5為圓柱形擺體變化出現位移時動極板的運動情況，動極板的擺體軸線從O移動至O′，因而得到位移x，此時R1不變，R2變為R′2。根據余弦定理可得：

式(8)代入式(7)得非同軸圓弧柱面極板電容為：

(9)

將式(9)代入式(2)，可計算出圓弧柱面極板傾斜儀的輸出信號u0與擺動距離x之間的關系：

(10)

通過輸出信號u0檢測得到動極板的位移量x，根據已知吊絲折合擺長計算傾斜角度，實現對地傾斜位移的測量。

3 圓弧柱面電容參數對傾斜儀影響

為進一步分析圓弧柱面極板差動電容傾斜儀的輸出信號，設置擺體的擺動角度范圍為φ=±20″，對應的擺動距離為x=φ(h+L/2)。根據式(10)可知，圓弧柱面極板差動電容傾斜儀的輸出信號u0與擺動距離x呈非線性關系。將表1中參數代入式(10)，結合擺動距離與擺動角度之間的關系，即可繪制出輸出信號u0隨擺動角度φ變化的理論輸出曲線。再采用最小二乘法對理論輸出曲線進行一階擬合，得到擬合輸出直線u0=kφ+b，繪制的理論輸出曲線和線性擬合直線如圖6所示。為計算圓弧柱面極板差動電容輸出的非線性度，將理論輸出值與擬合值相減，結果如圖7所示。

表1 圓弧柱面極板差動電容器的典型參數Tab.1 Typical parameters of arc cylindrical plate differential capacitor

圖6 輸出信號隨傾角變化Fig.6 Output signal varies with tilt angle

圖7 理論輸出與擬合直線的差值Fig.7 Differences between theoretical and fitted lines

圖6中計算的擬合直線斜率(k=0.028 5V/(″))即為傾斜儀的靈敏度。再根據圖7計算出圓弧柱面差動電容的非線性度：

為研究圓弧柱面極板差動電容中各項參數對傾斜儀輸出的影響，采用控制變量法對表1中的參數進行分析。

3.1 動極板半徑變化對傾斜儀輸出影響

將表1中圓柱形擺體(動極板)半徑R1由20 mm變為60 mm，其他參數不變，采用最小二乘法進行擬合計算，得到傾斜儀靈敏度和非線性度隨動極板半徑變化曲線，結果如圖8和9所示。由圖可知，圓弧柱面極板差動電容輸出的靈敏度隨動極板半徑增大而增大，非線性度隨動極板半徑增大而減小。

圖8 靈敏度隨動極板半徑變化曲線Fig.8 Sensitivity varies with the radius of the moving plate

圖9 非線性度隨動極板半徑變化曲線Fig.9 Nonlinearity varies with the radius of the moving plate

3.2 圓弧柱面定極板圓心角變化對傾斜儀輸出影響

將表1中圓弧柱面極板圓心角θ由0°變為90°，其他參數不變，得到傾斜儀輸出靈敏度和非線性度隨圓弧柱面定極板圓心角變化曲線，結果如圖10和11所示。由圖可知，圓弧柱面極板差動電容輸出的靈敏度隨定極板圓心角增大而減小，非線性度隨定極板圓心角增大而變大。

圖10 靈敏度隨定極板圓心角變化曲線Fig.10 Sensitivity varies with central angle of the fixed plate

圖11 非線性度隨定極板圓心角變化曲線Fig.11 Nonlinearity varies with central angle of the fixed plate

3.3 極板間距變化對傾斜儀輸出影響

將表1中動極板與定極板間距d由0.12 mm變為0.32 mm，其他參數不變，得到輸出靈敏度和非線性度隨吊絲長度變化曲線，結果如圖12和13所示。由圖可知，圓弧柱面極板差動電容輸出的靈敏度和非線性度均隨極板間距增大而減小。

圖12 靈敏度隨極板間距變化曲線Fig.12 Sensitivity varies with the gap between capacitor plates

圖13 非線性度隨極板間距變化曲線Fig.13 Nonlinearity varies with the gap between capacitor plates

3.4 吊絲長度變化對傾斜儀輸出影響

將表1中吊絲長度h由80 mm變為160 mm，其他參數不變，獲得輸出靈敏度和非線性度隨吊絲長度變化曲線，結果如圖14和15所示。由圖可知，圓弧柱面極板差動電容輸出的靈敏度和非線性度都隨吊絲長度增大而增大。

圖14 靈敏度隨吊絲長度變化曲線Fig.14 Sensitivity varies with the length of the hanger wire

圖15 非線性度隨吊絲長度變化曲線Fig.15 Nonlinearity varies with the length of the hanger wire

3.5 動極板高度變化對傾斜儀輸出影響

將表1中動極板高度L由30 mm變為150 mm，其他參數不變，獲得輸出靈敏度和非線性度隨動極板高度變化曲線，結果如圖16和17所示。由圖可知，圓弧柱面極板差動電容輸出的靈敏度和非線性度都隨動極板高度增大而增大。

圖16 靈敏度隨動極板高度變化曲線Fig.16 Sensitivity varies with the height of the moving plate

圖17 非線性度隨動極板高度變化曲線Fig.17 Nonlinearity varies with the height of the moving plate

4 結 語

本文通過對二維傾斜儀中的圓弧柱面差動電容理論模型的參數變化進行分析，探討圓弧柱面差動電容器各個構件結構參數對儀器輸出靈敏度、非線性度的影響。結果發現，對于應用于傾斜儀中的圓柱形電容器，增大動極板擺體半徑時，輸出靈敏度增大，非線性度減小；增大定極板圓心角時，輸出靈敏度減小，非線性度增大；增大極板間距時，輸出靈敏度減小，非線性度減小；增大吊絲長度和動極板高度時，輸出靈敏度和非線性度都增大。

對傾斜儀中圓柱形電容器各構件結構參數的增加或縮小不能是無限制的，如吊絲增長、圓柱體增高等，雖然會提高傾斜儀的靈敏度、減小非線性度，但同時也會使傾斜儀體積增大，動態范圍變小，儀器噪聲急劇增加。因此，對電容器各構件結構參數進行適度選擇和合理設計，使傾斜儀能夠滿足應用場景才是最重要的。