關于激光器掃描結果模擬計算的研究

沈華 徐力

摘 要：從激光器原理出發，總結出激光器掃描的相關特性并得出其掃描線方程，進而在空間直角坐標系中建立一些基本形狀的空間坐標系數學模型，結合激光器掃描線的旋轉平移，并考慮檢測誤差、反射率因素等激光器的特性影響，求取其對基本形狀物體的有效交點，從而模擬計算出激光器2D或3D掃描的點云數據，為后續模擬算法計算結果以及微調參數提供基礎性理論數據支撐，從而便于前期可行性論證及中期的詳細系統設計。

關鍵詞：激光器掃描;繞軸旋轉坐標轉換;線與物體的交點;點云數據模擬計算

中圖分類號：TP39? ? 文獻標志碼：A? ? 文章編號：1671-0797（2022）08-0029-06

DOI：10.19514/j.cnki.cn32-1628/tm.2022.08.009

0? ? 引言

激光器3D掃描技術作為目前較成熟的技術被廣泛應用于各種工業用途及民用領域[1]，然而在實際選型中通常忽略對激光器掃描結果的模擬環節，以至于在現場達不到所需的檢測精度和效果。因此，需要根據激光器的特性建立空間數學模型，從理論上探討激光器掃描物體的點云數據，從而實現模擬激光器2D或3D掃描的計算。

1? ? 二維激光器原理及其掃描線的數學模型

1.1? ? 二維激光器工作原理簡介

一維激光器的發射器發射激光器脈沖波，當遇到被測物體時，根據物體反射率的不同，激光就會以一定能量被返回，此時激光器的接收器收到反饋的能量后，通過檢測從發射到接收的時間差可以推導出激光器光心與被測物體的距離[1]，其公式為：

S=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

式中：S為被測物體與光心的距離;t2-t1為發射和接收激光的時間差;C為光速。

二維及多線激光器在一維激光器的基礎上增加了轉動光心的機構，使光心能快速移動，在規定時間內完成一定范圍的一維掃描，此時可以實現二維掃描的功能。

1.2? ? 二維激光器主要參數

二維激光器的性能參數主要包含測量距離、反射率、分辨率、測量誤差、角分辨率、掃描頻率等，通常在選型中主要關注角分辨率、掃描頻率、測量距離。角分辨率為相鄰檢測角度的最小變化角度，掃描頻率為1 s時間內完成二維全掃描的次數。

1.3? ? 空間坐標系及坐標系間的轉換

首先對空間建立空間直角坐標系并定義其繞3個坐標軸旋轉的方向角分別為α、β、γ，如圖1所示。

在空間直角坐標系中繞軸旋轉的坐標轉換公式為：

x1y1z1=cos γ? -sin γ? ?0sin γ? ? ? cos γ? ? 0? ?0? ? ? ? ? ? 0? ? ? ?1 cos β? 0? sin β? ? 0? ? ? ? 1? ? ? 0-sin β? ? 0? cos β·

1? ? ? ? 0? ? ? ? ? ? 00? ?cos α? ?-sin α0? ?sin α? ? cos αx0y0z0 （2）

旋轉前為[x0 y0 z0]T，旋轉后為[x1 y1 z1]T。

將系數整理后，可以得到系數矩陣：

不難得出轉換矩陣A為可逆陣，且其逆矩陣A-1中的角度分別為-α、-β、-γ，即符合反方向轉回的物理規律。

1.4? ? 二維激光器掃描線數學模型

忽略二維激光器發射器和接收器的相對位置，即定義接收位置為光心，實際掃描線會繞X軸、Y軸、Z軸旋轉角度。定義3個軸的旋轉角度分別為α、β、γ，掃描角為θ，角精度Δθ。以沿X軸掃描為例，光心位置為原點，在空間直角坐標系中相鄰掃描線如圖2所示。

此時掃描線在掃描面上移動，相鄰兩根掃描線之間的夾角即角分辨率Δθ，激光器的坐標系相對世界坐標系的3個軸旋轉了α、β、γ。以旋轉前沿X軸向下掃描為例，激光器坐標系中，當前掃描線經過原點及[-sin θ 0? -cos θ]T，逆旋轉、平移后得到[x1 y1 z1]T=A-1[-sin θ 0? -cos θ]T+[x0 y0 z0]T，[x0 y0 z0]為光心在世界坐標系中的坐標，將[x1 y1 z1]T、[x0 y0 z0]T代入空間直線的含參點斜式方程===t，可以得到m，n，p的相對關系，取確定值后，可以得到掃描線的參數方程：

x=mt+x0，y=nt+y0，z=pt+z0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

式中：m，n，p為與α、β、γ、θ相關的常數;由于掃描線為射線，t有取值范圍（取決于掃描方向）。

如求下一個掃描線的參數方程，其掃描角度為θ+Δθ。

1.5? ? 二維激光器的誤差

激光器在二維掃描時可能出現誤差，其主要原因是光心旋轉中的角度偏差及檢測誤差。模擬旋轉過程中可能出現的角度偏差的方法是在當前掃描角度中增加一個隨機誤差，其表達式為θ+εθ，其中εθ為隨機掃描角度偏差，可根據激光器的特性定義。模擬檢測誤差則可以在掃描到的理論結果上增加一個掃描線的隨機位移量，記作εs。

1.6? ? 二維激光器的反射率

通常，由于激光器功率的限制，反射率會受到一定的影響，當反射率很低且光心到物體的距離較長時，激光器的發射能量會被物體表面吸收導致無法返回。在模擬時需要根據反射率推算其最大的掃描距離從而對結果加以修正，如超過閾值，則掃描線與物體的交點不能被正確讀到。

2? ? 激光器三維掃描的數學模型

2.1? ? 激光器三維掃描的方法

激光器的3D掃描是借助激光器作為檢測元件。其三維掃描方法有：（1）使用云臺，即激光器可以繞軸旋轉，以獲得被測物體的三維點云數據;（2）使用平移機構帶動激光器進行掃描，也可以獲得被測物體的三維點云數據;（3）使用多線激光器也可以獲得被測物體的粗略三維點云數據[2]。

2.2? ? 旋轉光心掃描

如圖3所示，激光器光心沿與X軸平行的方向掃描，同時轉動軸繞X軸旋轉，這樣就可以取得被測物體的三維輪廓[2]。在這種掃描方法下，轉動軸的角分辨率與激光器的掃描頻率有關，忽略光速導致的偏差后，其對應關系為：

δ=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

式中：δ為轉動機構等效角精度;ω為轉動機構轉動的瞬時角速度;f為激光器的掃描頻率。

光心繞軸旋轉時，光心相對軸心在X、Y、Z軸方向均有偏差，在轉動時需要首先確定光心的位置，可以利用公式（2）相應的旋轉坐標系求出當前的光心位置，再利用1.4的內容得到當前時刻的掃描線方程。值得注意的是，多線激光器與旋轉光心的數學模型類似，此時光心與旋轉中心偏差很小，有時可以忽略。

2.3? ? 移動光心掃描

如圖4所示，激光器沿與X軸平行的方向掃描，將光心沿與Y軸平行的方向移動，即從A點移動到B點，此時也可以實現下方物體的三維掃描[2]。

考慮加速度的情況下，當前光心位置和前一時刻的位移量與激光器的掃描頻率有關，其對應關系可線性近似如下：

ΔS=+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

式中：ΔS為位移量;V0為前一時刻的瞬時速度;f為激光器掃描頻率;a為加速度。

當光心存在多個方向的移動時，需將速度及加速度分解到空間直角坐標系的3個坐標軸進行計算。

3? ? 激光器掃描線與常用空間圖形的交點計算

在1.4節中已經求得了當前二維激光器掃描線的參數方程x=mt+x0，y=nt+y0，z=pt+z0， 那么掃描線與空間圖形的交點問題實際上就轉換為求t值。

3.1? ? 激光器掃描線與平面的交點

平面在空間直角坐標系中的方程為Bx+Cy+Dz+

E=0，已知平面上3個點（其中取2個是最遠的頂點以便確定平面上的點的取值范圍）[x1 y1 z1]，[x2 y2 z2]，[x3 y3 z3]，代入后可求得系數：

B=y1（z2-z3）+y2（z3-z1）+y3（z1-z2），C=z1（x2-x3）+z2（x3-x1）+z3（x1-x2），D=x1（y2-y3）+x2（y3-y1）+x3（y1-y2），E=-x1（y2z3-y3z2）-x2（y3z1-y1z3）-x3（y1z2-y2z1）? ? ? （7）

進而將含參直線方程（如果有旋轉的情況可通過公式（2）將直線方程修正為平面的坐標系的方程）代入平面方程中，可以求得t值（需注意直線與矩形平行，即下式中分母為0，t無解）：

t=-? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

注意，點[x0 y0 z0]為光心，需將[x0 y0 z0]根據公式（2）旋轉再平移后修正為平面幾何中心的坐標。

3.2? ? 激光器掃描線與矩形多面體的交點

將矩形多面體分解為多個矩形進行分析，首先將掃描線折算到平面所在的坐標系，根據3.1的內容求取掃描線與平面的交點，根據矩形的頂點坐標確定在矩形范圍內的交點為有效交點，最后將該點旋轉平移回世界坐標系。

取矩形多面體上所有交點中與激光器光心的距離最短點，即為當前掃描線與該矩形多面體的交點。

3.3? ? 二維激光器掃描線與菱形多面體的交點

將菱形多面體分解為多個菱形進行分析，取菱形的三點，按照3.1節與平面交點的求取方法求得菱形平面上的交點，此時，假定菱形的兩個對角線為X軸和Y軸，長度分別為a、b。將直線方程利用公式（2）旋轉到菱形平面并平移坐標轉換到菱心，交點[x y 0]需滿足公式|ay|+|bx|≤。

同樣將所求得的[x y 0]經過旋轉平移到世界坐標系，即可求得激光器掃描線與菱形的交點，進而每個面均計算一下交點，取與光心最近的點，即為二維激光器與菱形多面體的交點。

3.4? ? 激光器掃描線與橢球形的交點

在空間直角坐標系中，橢球形的表面空間方程為：

（9）

式中：[x0 y0 z0]為橢球形球心坐標;G、H、J分別為沿X軸、Y軸的赤道半徑及極半徑。

當G=H=J，則該空間圖形為球形。在橢球形表達式中可以以球心為坐標原點，將掃描線的直線方程旋轉平移到橢球形的參考坐標系，再將經過旋轉平移的公式（4）代入橢球形的方程求得t，此時大多數情況下會有2個t，取與光心最近的點即為掃描線與橢球形的交點。

3.5? ? 激光器掃描線與圓管的交點

在建立圓管的模型前，首先使得圓管的圓面平行于XOY面，長度方向為Z軸方向，如圖5所示。

定義圓管的幾何中心為[x1 y1 z1]，外徑為R1，內徑為R2，高度為H，當內徑R2=0時，這個圖形為圓柱。將圓管分解為上下頂面及側面。

激光器與上下頂面的交點求法為：將激光器掃描線坐標系旋轉到圓管坐標系，根據3.1的方法求取到上下頂面的交點，并取滿足公式R22≤（x-x1）2+（y-y1）2≤R12的點。

圓管外側面的點滿足公式：

（x-x1）2+（y-y1）2=R12，|z-z1|≤? ? ? ?（10）

圓管內側面的點滿足公式：

（x-x1）2+（y-y1）2=R22，|z-z1|≤? ? ? ? ? ? ? （11）

將公式（4）代入求得t值，將坐標系旋轉平移到世界坐標系，注意對于圓管，掃描線可能與其有4個交點，即4個t值，取其中與光心距離最短的點即為圓管與激光器掃描線的交點。

4? ? 激光器掃描的模擬方法

根據前面所述，可以根據激光器的掃描模型求取每根掃描線的交點，再進行掃描面的旋轉或者光心的平移，可以通過程序實現激光器線掃或3D掃描的模擬。

圖6為激光器掃描的模擬運算流程圖。

4.1? ? 常用空間圖形的模擬3D掃描結果

模擬掃描長方體結果及其圖形如圖7所示。

模擬掃描球體結果及其圖形如圖8所示。

從圖中可以看出，激光器3D掃描球形的理論最大是掃到半個球，但與角精度的關系很大。

模擬掃描菱形斜面結果及其圖形如圖9所示。

模擬掃描圓管結果及其圖形如圖10所示。

4.2? ? 多圖形混合的模擬結果點云圖形

結合圓管、長方體、斜面、球形等空間圖形，可以初步模擬各類基本的物體，利用對應的空間關系模擬出引導車（實例參數如下：角精度0.25°，云臺轉動速度10（°）/s，激光器采樣頻率25 Hz，掃描角度0°～180°，光學中心即轉動中心坐標，引導車底面中心）的掃描結果及點云圖形，如圖11所示。

由于目標引導車的邊緣值為X方向±1 500 mm，X方向總長應為-7 600～7 400 mm，由結果可以看出，目前3D掃描的X方向理論誤差為約4.5 mm，Y方向理論誤差為約139.5 mm。

將5 706個計算結果導入Excel表格，得到掃描結果的數據（截取部分數據）如圖12所示。

5? ? 結語

模擬激光器掃描結果的方法如下：依據激光器及3D掃描方法（平移或擺動）的特性可以取得其含旋轉參數、隨機角度及交錯模式下的掃描線的數學模型，進而建立空間直角坐標系，將被測物體分解成多個常用空間圖形，通過旋轉平移矩陣的修正，求取其與掃描線的各個交點后取最近的交點;校驗最近的點及物體反射率關系再加入隨機偏差，最終求得點云數據。此時，通過數據已經可以得出初步的掃描的誤差，并可以為進一步研究算法結果和精度論證提供必要的理論點云數據。由于筆者水平有限，如有問題和錯誤，請讀者諒解并指正。

[參考文獻]

[1] 李鑫慧，郭蓬，臧晨，等.激光雷達技術研究現狀及其應用[J].汽車電器，2019（5）：4-6.

[2] 王扶.三維激光雷達成像數據處理與可視化研究[D].成都：電子科技大學，2011.

收稿日期：2022-02-28

作者簡介：沈華（1984—），男，江蘇吳縣人，高級工程師，研究方向：機械設備的電氣控制、自動化控制、識別及其相關設計。