軟土場地中不同Rayleigh阻尼模型的地震響應研究

鐘岱輝孫文豪

(山東建筑大學 土木工程學院，山東 濟南 250101)

0 引言

軟土場地地震反應分析是巖土地震工程學領域的重要研究內容，是工程場地地震安全性評價的核心內容，也是確定地表地震動參數不可或缺的一部分[1]。軟土場地地震反應分析主要有頻域等效線性化和時域非線性兩種方法[2-4]。

上述方法的根本差別在于阻尼模型的不同[5]。頻域分析法常采用滯后阻尼模型，用等效線性化模擬土體的非線性特性，這種方法與頻率無關。而時域分析法通常采用粘滯阻尼，粘滯阻尼通常采用瑞利阻尼(Rayleigh damping)模型。馬俊玲[6]通過比較計算7種不同Rayleigh阻尼的取值在時域和頻域中的結果，發現目標頻率是影響Rayleigh阻尼系數的主要原因。與頻域分析法不同，時域中的Rayleigh阻尼是與頻率相關的[7-8]。孫強強等[9]發現不同Rayleigh阻尼在場地地震反應中對加速度反應譜和加速度有一定的影響，而輸入地震動的頻譜特性決定了其影響程度。許紫剛等[10]提出了一種新的Rayleigh阻尼系數確定方法，即改進完整形式的瑞利阻尼，并對比研究了不同Rayleigh阻尼對場地地震反應分析的影響。

文章介紹了Rayleigh阻尼的基本理論，利用一維場地地震反應分析程序DEEPSOIL，針對某典型Ⅲ和Ⅳ類軟土場地，分析了在不同地震動輸入下，不同Rayleigh阻尼模型的適應性，研究了選取不同Rayleigh阻尼模型對場地地震反應結果的影響，指出在DEEPSOIL的時域非線性方法下如何正確選取Rayleigh阻尼模型。

1 時域中的Rayleigh阻尼

在時域分析時，通常采用粘滯阻尼(viscous damping)假定。粘滯阻尼矩陣與頻率有關，即阻尼力與質點的運動速度成正比。這種粘性阻尼矩陣與頻率有關，阻尼公式的類型決定了阻尼對頻率的依賴程度，這種考慮阻尼的方法是由RAYLEIGH等[16]于1945年首次提出的。在此方法中，阻尼矩陣[C]與質量矩陣[M]和剛度矩陣[K]成正比，由式(1)表示為

式中a0、a1為Rayleigh阻尼系數。

粘滯阻尼矩陣與土體的質量、剛度和固有模態有關。土體剛度和土體的固有模態可由土體的剪切波速推導出。當阻尼矩陣只與剛度成正比時，即Rayleigh系數a0=0時，可以簡化式(1)，由式(2)表示為

式(2)又稱為簡化Rayleigh阻尼矩陣(Simplified Rayleigh Formulation，SRF)，該阻尼只與土層的第一振型有關，而且與土體剛度成正比。

式(1)又稱為完全Rayleigh阻尼矩陣(Full Rayleigh Formulation，FRF)，在工程中得到廣泛采用。

將式(1)擴展，指定兩個以上的頻率，稱之為擴展Rayleigh公式(Extended Rayleigh Formulation，ERF)。利用質量矩陣和剛度矩陣的正交的條件，阻尼矩陣可以由質量矩陣和剛度矩陣的任意組合組成，由式(3)表示為

式中n為頻率數；ab為對應常數阻尼比土層的系數。

Rayleigh阻尼公式的頻率依賴性意味著時域解的精度取決于所選擇的定義阻尼函數的頻率。確定Rayleigh阻尼系數，關鍵在于目標頻率的選取。根據目標頻率選取的不同，DEEPSOIL程序提供了3種Rayleigh阻尼模型，即簡化Rayleigh阻尼、完全Rayleigh阻尼和擴展Rayleigh阻尼[11]，如圖1所示。

圖1 DEEPSOIL中的Rayleigh阻尼模型示意圖

簡化Rayleigh阻尼與目標阻尼只有一個交點，只在一個頻率上滿足目標阻尼，完全Rayleigh阻尼與目標阻尼有兩個交點，能夠在兩個頻率滿足目標阻尼，擴展Rayleigh阻尼與目標阻尼有4個交點，可以在4個頻率上滿足目標阻尼。對于如何選取阻尼模型，PARK[13]推薦選取完全瑞利阻尼模型；但對＜1 000 km的深層土，采用擴展Rayleigh得到的結果比完全Rayleigh阻尼時更好。

2 場地模型建立與地震動輸入

2.1 場地鉆孔資料

從全國大量實際的鉆孔資料中選取出一個典型Ⅲ類和一個Ⅳ類場地鉆孔，土層剖面數據和剪切波速等數據見表1、2。各土層的剪切模型比(G/Gmax)、阻尼比(λ)與剪應變(γ)非線性參數見表3、表4，土體非線性動力學參數資料均取自試驗結果。

表1 Ⅲ類場地剖面計算參數表

表3 Ⅲ類場地各類土的非線性動力參數表

表4 Ⅳ類場地各類土的非線性動力參數表

表2 Ⅳ類場地剖面計算參數表

2.2 地震動輸入

輸入地震動的頻譜特征對場地地震反應結果有著較大影響[9，14]。文章選取了兩條具有明顯頻譜特征差異的天然地震波。一條是中頻成分豐富的埃爾森特羅(El-Centro)波，另一條是高頻成分豐富的納漢尼(Nahanni)波。兩條地震波的輸入時程和反應譜如圖2和3所示。

圖2 El-Centro波的和加速度時程加速度反應譜圖

圖3 Nahanni波的加速度時程和加速度反應譜圖

考慮到輸入地震動強度對場地地震反應的影響，采用比例放縮法對兩條地震波進行幅值調幅，將輸入地震動峰值強度調整為0.05g、0.10g、0.25g、0.50g、和0.60g，這樣的地震動幅值范圍充分考慮到了可能存在的地震動強度。

2.3 DEEPSOIL非線性模型的建立

土層厚度劃分由式(4)表示為

式中h為劃分后的土層厚度，m；Vs為土層剪切波速，m/s；fmax為土層允許傳播的最大頻率，一般＞25 Hz。

對于多層土場地，場地自振頻率由式(5)表示為

式中fn為場地第n階自振頻率；Vseq為等效剪切波速，m/s；n為土層振型階數；H為土層覆蓋層厚度，m。

DEEPSOIL模型中的各類土層的非線性動力學參數通過縮減模量和與擬合阻尼曲線方法(Modulus Reduction and Damping Curve，MRD)擬合得到。簡化Rayleigh阻尼模型頻率選取場地基頻；完全Rayleigh阻尼模型頻率的選取，文獻[8]建議選取場地的第1階和第3階自振頻率，文獻[12]和[13]推薦選取場地基頻和5倍場地基頻，文獻[6]也比較了兩種選取方法結果的差異，結果表明二者計算精度相當，但文獻[13]的方法更簡便；擴展Rayleigh阻尼模型頻率的前兩階與完全Rayleigh阻尼模型相同，第3、4階頻率的間隔約為10 Hz，其選取是通過擴展Rayleigh阻尼曲線與目標阻尼交點計算得到[13]。

對于Ⅲ類場地，簡化Rayleigh阻尼模型的1階頻率選擇場地基頻0.73 Hz，即SRF(0.73 Hz)；完全Rayleigh阻尼的1、2階頻率選擇場地基頻和場地基頻的5倍，即FRF(0.73、3.65 Hz)；擴展Rayleigh阻尼的前兩階頻率和完全Rayleigh阻尼相同，3、4階阻尼為35、45 Hz，即ERF(0.65、3.23、36、46 Hz)。對于Ⅳ類場地，Rayleigh阻尼模型頻率的選取結果為SRF(0.65 Hz)、FRF(0.65、3.23 Hz)、ERF(0.65、3.23、35、45 Hz)。

3 場地地震響應分析

利用DEEPSOIL中的時域非線性方法對上述鉆孔場地剖面的60種工況進行了計算。著重分析在不同頻譜、強度輸入地震動的作用下，3種Rayleigh阻尼模型的地表加速度反應譜和土層峰值加速度的響應特征。

3.1 地表加速度反應譜

圖4～6為不同輸入地震動情況下3種Rayleigh阻尼模型的部分地表加速度反應譜。

圖4～6給出了在時域非線性下簡化Rayleigh阻尼、完全Rayleigh阻尼、擴展Rayleigh阻尼及頻域無關解的計算結果，通過對比分析，地表加速度反應譜結果有如下特征:

圖4 0.05 g輸入地震動下Ⅳ類場地地表加速度反應譜圖

(1)與輸入地震動的頻譜特征相比，地表加速度反應譜譜型基本類似于輸入地震波的譜型。地表加速度反應譜在不同地震波作用下的譜型差異較大，在同一地震波的不同輸入強度下譜型整體差異不明顯。

(2)對于El-Centro波，5種輸入地震動強度工況下，3種Rayleigh阻尼模型的反應譜頻譜特征基本一致，地表加速度反應譜均在周期0.5～2.0 s之間出現雙峰現象。但簡化Rayleigh模型在周期約為0.5 s發生較大突變，出現了明顯的高頻放大現象，峰值甚至大于頻率無關解。Ⅳ類場地基頻為0.65 Hz，輸入地震動El-Centro波和Nahanni波的傅氏譜卓越頻率分別為1.46和16.06 Hz。文獻[9]提到，輸入地震動的卓越頻率和土層基頻接近時，在場地地震反應分析中應用簡化Rayleigh阻尼模型是可行的。簡化Rayleigh阻尼模型在實際應用中應注意輸入地震動的頻譜特性。在全局反應譜譜值大小上，基本上是完全Rayleigh阻尼模型＞擴展Rayleigh阻尼模型＞頻率無關解＞簡化Rayleigh阻尼模型。對于擴展Rayleigh阻尼模型和完全Rayleigh阻尼模型，二者在周期1.0～10.0 s的低頻部分譜值幾乎一致，在周期0.01～1.0 s的中高頻部分完全Rayleigh阻尼稍大于擴展Rayleigh阻尼。其原因在于擴展Rayleigh阻尼模型有4個頻率與目標阻尼比相滿足。在輸入地震動強度＞0.25g后，反應譜譜值和譜型均變化不大。

圖5 0.1g輸入地震動下Ⅳ類場地地表加速度反應譜圖

圖6 0.25 g輸入地震動下Ⅲ類場地地表加速度反應譜圖

(3)對于Nahanni波，不同于El-Centro波，各Rayleigh阻尼模型的頻譜特征一致性較差，只有在周期2.0～10.0 s內一致性較好，可能與Nahanni波高頻成分豐富有關。在0.05g和0.10g輸入地震動強度下，反應譜卓越周期約為0.5s。隨著輸入地震動強度的加大，周期在1.0～2.1 s內的3種Rayleigh阻尼模型的反應譜譜值逐漸增長并占優，而且反應譜譜型并沒有發生太大變化；簡化Rayleigh阻尼模型反應譜峰值逐漸向長周期方向偏移；完全Rayleigh阻尼模型的譜值稍大于擴展Rayleigh阻尼模型，這點與El-Centro波相似。

(4)對于深厚軟土場地，簡化Rayleigh阻尼模型的應用應輸入地震動的頻譜特性相匹配，擴展Rayleigh阻尼模型比完全Rayleigh阻尼模型能更好地捕捉反應譜的高頻分量。

3.2 地表峰值加速度

在不同輸入地震動工況下采用不同Rayleigh阻尼模型場地的地表峰值加速度(Peak Ground Acceleration，PGA)變化情況。表5和圖7為不同輸入地震動工況下，使用不同Rayleigh阻尼模型計算得到的Ⅲ類場地場地地表峰值加速度放大倍數和Ⅳ類場地地表峰值加速度關系。

表5 Ⅲ類場地下不同輸入地震動下地表峰值加速度放大倍數表

圖7 不同輸入地震動下Ⅳ類場地地表峰值加速度圖

通過對比分析表5和圖7可以發現不同Rayleigh阻尼模型的地表峰值加速度及加速度放大倍數有如下特征:

(1)對于地表峰值加速度，3種Rayleigh阻尼模型的PGA隨輸入地震動強度的增加變化趨勢相似；0.25g輸入強度以下的3種Rayleigh阻尼模型所得到的PGA在數值上接近，＞0.25g以后差距逐漸變大；但是在0.6gNahanni波的工況下，3種Rayleigh阻尼的PGA反而變小，甚至＜0.5gNahanni波輸入時的結果。PGA的整體數值關系上，完全Rayleigh阻尼模型的結果最大，大于擴展Rayleigh阻尼，簡化Rayleigh阻尼最小。

(2)對于地表峰值加速度放大系數，3種Rayleigh阻尼模型的PGA放大隨輸入地震動強度的增加變化趨勢相似，總體上表現為先快速減小然后相對慢速減小。不管是El-Centro波和Nahanni波，除0.05gEl-Centro波輸入的工況外，其PGA放大系數都＜1.0。

對于軟土場地，DEEPSOIL的時域非線性計算方法得到的場地地表峰值加速度放大倍數偏小，對比文獻[14]和[15]，同樣出現了低估場地土層放大效應，使其結果與實際場地地表反應嚴重不符。

4 結論

文章比較了軟土場地中不同Rayleigh阻尼模型在時域非線性下的地震響應結果，主要得到以下結論:

(1)3種Rayleigh阻尼模型結果的差異主要與振型頻率有關，理論上擴展Rayleigh阻尼模型中有4個頻率滿足目標阻尼，場地阻尼衰減曲線更符合工程實際。隨著輸入地震動強度的增大，3種Rayleigh阻尼模型在地表加速度反應譜譜值上差異逐漸加大，完全Rayleigh阻尼模型結果略大于擴展Rayleigh阻尼，簡化Rayleigh阻尼模型的應用應與輸入地震動的頻譜特性相匹配。

(2)擴展Rayleigh阻尼模型雖然比完全Rayleigh阻尼模型能更好地捕捉反應譜的高頻分量，但計算量繁多，所需時間長，計算結果與完全Rayleigh阻尼模型在結果上的相差最大僅為6.8%。因此，工程應用期間，推薦使用完全Rayleigh阻尼模型。