基于ADMM 改進的低截獲FDA-MIMO 雷達發射波束設計

鞏朋成，吳云韜

（1.武漢工程大學計算機科學與工程學院，湖北 武漢 430205；2.智能機器人湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430205）

0 引言

低截獲（LPI,low probability of intercept）[1]雷達能夠在探測目標的同時降低被敵方發現的概率，為雷達及其載體的安全性提供保障。LPI 技術在雷達發射端的研究包括三方面[2]：1) 將能量分散在頻率域中，設計寬帶波形；2) 將能量分散在時間域中，設計高占空比波形；3) 將能量分散在空間域中，設計寬發射天線波束。本文研究在雷達完成正常探測任務前提下，盡可能降低雷達在目標區域的發射功率。

首先，雷達目標檢測的性能依賴于輸出信干噪比（SINR,signal to interference plus noise ratio）。近年來，關于最大化輸出SINR 的波形設計得到關注，其分為兩類。

一類是通過聯合設計發射波形和接收濾波器使輸出SINR 最大化。文獻[3]提出了一種雜波條件下最大化多輸入多輸出（MIMO,multiple-input multiple-output）雷達輸出SINR 的發射波形和接收濾波器的循環優化方法，并將該優化方法擴展到了帶約束（如恒模和相似性）的波形設計。同樣，Cui等[4]為了增強信號依賴性雜波下運動目標檢測，提出一種恒模和相似性約束下聯合設計空時發射編碼和接收濾波器的迭代方法，該方法在每次迭代中將非凸的最大化SINR 問題轉化為凸優化問題求解。文獻[5]提出了慢速運動目標情況下峰均比和發射功率約束的MIMO 雷達發射波形和接收濾波器聯合設計方法，該方法利用半正定規劃（SDP,semi-denite programming）技術求解發射波形和接收濾波器。文獻[6]提出了一種基于優化最小化（MM,majorization-minimization）方法的MIMO 雷達發射波形和濾波器聯合設計。針對同樣的帶約束波形設計問題，Cheng 等[7]提出了一種聯合塊連續上界最小化（BSUM,block successive upper-bound minimization）方法和有效集合法（ASM,active set method）設計發射波形的循環優化方法。

另一類是聯合設計發射和接收波束成形使輸出SINR 最大化。文獻[8]提出了一種基于最大化SINR 進行聯合優化發射加權矩陣和接收濾波器的循環優化方法，但其缺點是利用優化工具包CVX求解發射加權矩陣。為了有效地抑制干擾信號并進一步提高雷達系統的性能，黃俊生等[9]提出了一種基于二維相控陣MIMO 雷達的聯合發射子陣劃分和波束成形的設計方法。針對子孔徑MIMO 雷達最大化SINR 問題，文獻[10]提出了一種功率約束的發射和接收波束成形聯合設計方法。Cheng 等[11]也研究了雜波和波形相似性約束下最大化MIMO 雷達SINR 問題，并提出了一種基于SDP 方法的發射和接收波束成形聯合優化方法。

其次，多數研究LPI 雷達的文獻利用相控陣實現特定方向的能量控制，而頻控陣（FDA,frequency diverse array）[12-13]可實現不同距離處發射功率控制，這為LPI 雷達實現特定區域能量控制的應用提供了可能。FDA 雷達的概念是Antonik 等[14]在IEEE雷達年會上提出的，其通過相鄰陣元增加一個較小的頻率步進量，其發射導向向量不僅依賴于角度，而且依賴于距離，即產生了具有角度和距離依賴性的發射波束。利用FDA 的發射方向圖和能量分布可以控制的特性，Wang[15]考慮了動目標跟蹤的射頻隱身波束成形方法，基于頻控陣的特性，利用稀疏模型設計了頻控陣MIMO（FDA-MIMO）雷達的發射波束矩陣[16]，以減少采樣快拍數的同時獲得足夠的距離和角度分辨率，實現了多個目標的距離和角度的聯合估計。針對干擾與目標位于同一個波束內的目標檢測問題，廖桂生教授團隊[17]利用FDA 的距離角度依賴性，研究了基于FDA-MIMO 雷達對抗欺騙式干擾的原理，進一步提出了基于多假設檢驗的干擾樣本挑選方法。

為了解決信號依賴性雜波散射體與目標位于同一方向上的低截獲問題，本文提出一種基于交替方向乘子法（ADMM,alternating direction method of multipliers）[18]的FDA-MIMO 雷達發射波束設計方法。本文主要的研究工作如下。1) 優化準則，本文方法是在保證每個天線上發射能量恒定和輸出SINR約束下，最小化目標區域（距離-方位）的輻射能量。2) 優化發射波束時，本文沒有利用二階二次近似方法，而是利用輔助變量和ADMM 相結合，解決分式規劃不等式約束的二次規劃問題。3) 分析了本文方法的收斂性和計算復雜度。仿真實驗證明了本文方法的有效性。

1 信號模型及問題描述

1.1 FDA-MIMO 雷達信號模型

不失一般性，考慮由Mt個發射天線和Mr個接收天線構成的窄帶FDA-MIMO 雷達系統，其第m個天線上的發射信號形式可表示為

假設空間遠場除了感興趣的點目標外，存在Q個信號依賴性的雜波散射體，L個來自不同方向的干擾，且第q個雜波位于(rc,q,θc,q)空間位置，以及第l個干擾的角度為θj,l。于是，發射信號經目標空間后在接收端通過下變頻和匹配濾波的信號為

其中，各因式說明如下。

1)β(r,θ)表示目標所對應的散射系數，?表示Kronecker 積，IMr表示M r×Mr階的單位矩陣，a(r,θ)和b(θ)分別表示發射和接收陣列的導向向量。

其中，c 表示光速，Δφm=-f0(m-1)d tsinθ-(m-1)Δfd tsinθ+(m-1)rΔf，dt和dr表示發射和接收陣列的陣元間隔。

5)e表示均值為零、協方差為的復高斯噪聲。

觀察式(1)和式(3)可知，FDA-MIMO 雷達通過相鄰陣元增加一個較小的頻率步進量，其發射導向向量不僅依賴于角度，也依賴于距離，即產生了具有角度和距離依賴性的發射波束，這一特性為實現不同距離處發射功率控制、以降低雷達被截獲概率提供可能。

1.2 問題描述

設接收濾波器為x∈CMrK×1，則接收信號經過濾波器后的輸出信雜噪比（SCNR,signal clutter-plus-noise ratio）為

利用代數變換，輸出SCNR 可轉換為[19]

因此，本文研究在每個天線上的能量恒定下，結合SCNR 約束要求，設計發射加權矩陣和接收濾波器使FDA-MIMO雷達在目標處的輻射功率最小，其優化問題的數學表示為

其中，(·)*表示共軛運算，λ表示目標SCNR 門限，1K表示全1 向量，Et表示每個天線上的能量。第一個約束保證目標的輸出SCNR 不低于一個給定的閾值；第二個約束表示每個天線上的能量恒定。P(W)表示發射信號在目標(r,θ)處的功率，其定義為

針對雜波和干擾情況下低截獲問題，本文將其構造成分式規劃不等式約束的二次規劃問題，并提出一種循環迭代的方法求解該優化問題。

2 提出的發射波束設計

為了解決優化問題式(12)，本文將其轉化成2 個子優化問題，利用循環迭代的方法求解：1) 隨機初始化W，利用廣義瑞利熵求解x；2) 根據獲得的x，基于輔助變量和ADMM 求解W。

2.1 接收濾波器優化

觀察式(12)可知，在已知發射波束矩陣W時，式(12)的目標函數與x無關。于是，式(12)可轉化為關于x的無約束優化問題

式(14)的目標函數是一個廣義瑞利熵，因此，很容易獲得式(14)的優化解為

2.2 發射波束優化

下面考慮在獲得x情況下，利用ADMM 求解W。首先，利用矩陣變換，式(12)的優化問題可等價變換為

式(16)中的不等式約束是分式規劃問題，該問題很難求解。對此，本文將式(16)轉化為

針對式(17)的不等式約束優化問題，可以采用SDP 方法求解。然而，基于SDP 的方法需要很高的計算復雜度，且其收斂性也無法保證。對此，本文利用ADMM 求解式(17)。首先引入輔助變量zl，將式(17)轉化為等式約束，即

為了獲得式(18)的有效解，引入輔助變量h，且令h=d，則式(18)轉化為

本文利用ADMM 的縮放形式解決式(19)。在ADMM 的框架下，通過引入變量τ l、u、v，可以將等式約束轉化到增廣拉格朗日函數中，即式(19)的增廣拉格朗日函數為

其中，ρ1,ρ2,ρ3＞ 0為懲罰參數。

簡單來說，ADMM 通過如下迭代的方式解決式(19)。1) 求解使式(20)最小的h，此時h的求解依賴于d,zl,τl,u,v和x，其中，x是由式(15)獲得，d,zl,τl,u,v是由初始值（可以是隨機數）獲得。2)根據獲得的h，求解使式(20)最小的d，此時d的求解依賴于h,zl,τl,u,v和x。3) 同理獲得zl。4) 根據獲得的d,h,zl，更新變量τl。5) 根據獲得的d,h,z l,τl，更新變量u。6) 同理更新變量v。具體地，在第(n+1)次迭代中，ADMM 的更新步驟如下。

1) 根據第n次迭代值，求解hn+1。式(19)的最小化問題轉化為

為了獲得式(21)的最小值，本文對式(21)求關于h導數，并使導數為0，即對式(21)中的三項分別求關于h導數，可得

本文推導了雜波情況下波束加權矩陣設計。然而，本文方法也可解決只有干擾和噪聲情況下的加權波束矩陣設計。假設本文方法求解W時的外迭代和內迭代次數分別用k和n表示，根據上面的推導，基于ADMM 的發射波束設計如算法1 所示。

算法1基于ADMM 的低截獲FDA-MIMO 雷達發射波束設計算法

10)直到x和W收斂，即滿足，其中ε＞ 0。

3 性能分析

3.1 收斂性分析

本文方法每次迭代中需更新x和W。在k+1次迭代時，利用獲得的Wk優化xk+1。利用式(14)，有

接著，在固定xk+1時，優化Wk+1。本文利用ADMM 更新Wk+1，內部迭代更新為

利用求解式(21)的最小化問題，在n+1次迭代時，更新hn+1，有

類似地，利用式(28)，更新dn+1，有

同理可得

綜上，結合式(40)～式(42)，有

即證明本文所提方法是收斂的。

3.2 計算復雜度分析

4 仿真分析

本節利用實驗驗證在存在雜波、干擾和噪聲情況下，對比分析本文方法與文獻[11]中的SDP方法的性能。實驗中FDA-MIMO 雷達系統的參數設置如下：發射天線和接收天線數分別為Mt=8和Mr=8；雷達工作頻率為f0=1GHz，頻率步進量為Δf=3 MHz；每個天線上的發射能量為Et=1。目標空間位置為(50 m,10°)，其功率為20 dB；3 個與發射信號相干的點雜波位于(50 m,-50 °)、(25 m,10 °)和(75 m,40 °)，且雜波功率均為30 dB；2 個干擾信號分別來自-3 0°和60°，其功率均為35 dB；高斯噪聲的協方差為=0。

4.1 對比分析收斂性和輸出SCNR 的變化情況

本節實驗對比分析了在不同K和λ時，本文方法和SDP 方法的收斂性能以及功率隨天線變化情況，如圖1 所示。圖1 中沒有標出K或λ值時默認K=8，λ=18 dB 。圖1(a)和圖1(b)分別顯示了式(12)中的目標函數和輸出SCNR 隨迭代次數的變化情況。由圖1(a)可知，本文方法和SDP 方法都可以很快收斂，但本文方法收斂后的穩定性更好；本文方法的目標函數隨著正交波形數目K（λ恒定）增加而減??；而基本上不受λ（K=8）的影響，這也驗證了目標函數只與K有關而與λ無關。從圖1(b)可知，相比SDP 方法，本文方法的輸出SCNR 隨著λ（K恒定）增加而增加，這也說明SCNR 門限值越高，可用來設計發射波束矩陣的自由度越多。此外，由圖1(a)和圖1(b)可知，本文方法經過10 次迭代后滿足了停止條件。

圖1(c)和圖1(d)分別對比了輸出SCNR 隨雜噪比（CNR,clutter-to-noise ratio）和信噪比（SNR,signal-to-noise ratio）變化情況。由圖1(c)和圖1(d)可知，當λ=18 dB和K=8 時，SDP 方法輸出SCNR優于本文方法；但其他情況下，本文方法的SCNR要優于SDP 方法。從圖1(d)也可以看到，本文方法和SDP 方法的輸出SCNR 隨SNR 的增加而線性增加。圖1(e)對比了在迭代次數為300 時，本文方法和SDP 方法的不同天線數上的發射功率比較。從圖1(e)可知，相比SDP 方法，本文方法在K=8 時能更有效地控制發射功率恒定。

圖1 收斂性能和功率比較

4.2 對比在目標位置處的發射和接收方向圖

圖2 對比了在λ=18 dB和不同K值時，本文方法和SDP 方法在目標位置處的發射和接收方向圖。由圖2(a)和圖2(b)可知，不管在距離維還是角度維，本文方法和SDP 方法的發射方向圖在目標位置處形成的零陷隨著K增加而增加。此外，在相同K值時，相比SDP 方法，本文方法的發射方向圖在目標處形成更深的零陷。

從圖2(c)可知，在角度維的主瓣區域，本文方法比SDP 方法能更好地聚焦。SDP 方法在雜波位置-50° 處沒有形成零陷；而本文方法在雜波位置-50°和10°，以及干擾-30°和60°處，形成的零陷都低于SDP 方法。由圖2(d)可知，在距離維的主瓣區域，本文方法能更好地在目標距離50 m 處能量聚焦，而SDP 方法聚焦性能較差。在雜波位置25 m，本文方法和SDP 方法都形成了準確的零陷，分別為-100 dB 和-59 dB。因此，不管在距離維還是角度維，本文方法和SDP 方法的接收方向圖在雜波和干擾信號處形成的零陷隨著K增加而增加；但在相同K值時，相比SDP 方法，本文方法的發射方向在雜波和干擾處形成更深的零陷。

圖2 發射方向圖和接收方向圖比較

3) 對比分析在雜波位置處的接收方向圖

本文方法和SDP 方法在雜波位置處的接收方向圖如圖3所示。圖3(a)和圖3(b)顯示了本文方法和SDP方法分別在25 m 和75 m 處角度維的接收方向圖。由圖3(a)和圖3(b)可知，本文方法和SDP方法在雜波10°和40°，以及干擾-3 0°和60° 處，分別形成了-100 dB和-50 dB 以上的零陷。圖3(c)展示了本文方法和SDP方法在40 °處距離維的接收方向圖。從圖3(c)可知，本文方法在雜波75 m 處形成了至少-80 dB 以上的零陷，而SDP 方法沒有抑制75 m 處的波。

圖3 接收方向圖在雜波位置處比較

圖4(a)和圖4(b)分別展示了在λ=18 dB和K=8值時，SDP 方法和本文方法設計波形的回波能量在距離-方位域的分布情況。由圖4 可知，與SDP方法相比，本文方法在干擾和雜波處的線條顏色更深，表明在干擾和雜波處形成了更深的零陷?？傊?，相比SDP 方法，本文方法除了能夠保證目標檢測性能，并實現目標二維（距離-方位）區域上輻射能量控制外，能更加有效抑制雜波和干擾信號。

圖4 不同方法設計波形的回波能量分布

5 結束語

針對雜波情況下LPI 問題，本文提出一種基于ADMM 改進的FDA-MIMO 雷達發射波束設計方法。該方法在保證SCNR 要求的條件下抑制雜波和干擾的同時，最小化目標二維空間區域的能量輻射。仿真結果表明，與SDP 方法相比，在相同K值時，本文方法能有效控制每個天線上的發射功率恒定。本文方法除了能夠保證目標檢測性能，并實現目標二維（距離-方位）區域上輻射能量控制外，能更加有效地抑制雜波和干擾信號。此外，本文方法也可解決只有干擾和噪聲情況下的發射波束設計。