強化代數推理教學提高學生核心素養

黃秀旺

摘要：推理能力是學生數學核心素養的主要表現之一.代數推理是數學推理的組成部分，代數推理存在于數學教學的全過程之中.代數推理的教學可分為以歸納猜想為主的合情推理、以演繹證明為主的推理論證、先探索后證明的綜合推理這三個階段.

關鍵詞：代數推理；教學現狀；推理教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標》）首次提出了“數學核心素養”，并指出推理能力是學生數學核心素養的主要表現之一.雖然我國的數學教學歷來都十分重視對學生推理能力的培養，但在具體實施過程中，卻過分依賴“幾何”知識培養學生的推理能力，而忽視了利用“代數”知識培養學生推理能力.本文中首先闡述對“代數推理”的認識，然后分析代數教學中在培養推理能力方面存在的主要問題，最后指出代數推理教學的三個階段.

1 對代數推理的認識

早在1963年，在前蘇聯數學教育體系影響下，教育部頒布了《全日制中學數學教學大綱（草案）》，從此我國數學教育體系初步形成.該大綱首次明確提出了“培養學生正確而迅速的計算能力、邏輯推理能力和空間想象能力”的目標，這個階段邏輯推理能力的培養主要體現在幾何知識的教學中.

義務教育之前，初中數學教材一直按《代數》與《幾何》分別編寫，其中《代數》4本，《幾何》2本.有很多學校的數學教師只教《代數》，有的只教《幾何》，于是出現了張三是代數老師，王五是幾何老師的中國特色“稱謂”.這個時候“自上而下”人為地把原本一體的數學知識分為代數、幾何兩部分.大部分教師認為主要通過幾何教學培養學生的數學推理能力，這勢必削弱了對學生推理能力的培養力度.

2001年《義務教育數學課程標準（實驗稿）》頒布后，課程內容分為“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”“實踐與綜合應用”四個領域，相應的教材便采用“混編”的形式，從根本上結束了義務教育階段數學教材“分科”的歷史.這樣一來，培養推理能力的“載體”理所當然地包含“代數”內容，但是仍然沒有引起教師們的足夠重視，在推理能力培養上還是以幾何教學為主.

目前隨著《2022年版課標》的頒布，教師應徹底轉變主要依賴幾何培養學生數學推理能力的觀念，重視代數推理在培養學生核心素養方面的作用.

（1）培養推理能力是整個數學教學的任務

《2022年版課標》指出：“推理能力主要是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論的能力.”[1]從推理能力的界定上看，推理能力不是幾何“獨屬”的一個名詞.在整個數學教學的過程中，都要把培養學生的推理能力作為首要的任務.在實際教學中，無論講授的內容屬于哪個領域，我們都要充分發揮具體知識所承載的培養推理能力的作用，既要讓學生掌握相應的數學知識，又要利用這些知識來培養、發展和提高學生的數學推理能力.

（2）新課標對代數推理提出了明確的要求

在以往的數學《教學大綱》或《課程標準》中都沒有出現“代數推理”的字樣，《2022年版課標》在“課程內容”中明確提出了“了解代數推理”[1]的要求，特別強調了代數推理問題.新課標表述“推理”的詞有很多“散現”于“數與代數”領域，例如“能利用乘法公式進行簡單的推理”“通過基于符號的運算和推理，建立符號意識，感悟數學結論的一般性，理解運算方法與運算律的關系，提升運算能力”[1]等.因此加強代數推理教學符合《2022年版課標》的要求.

代數推理是以代數知識為背景，通過邏輯推理解決數學問題的過程.它比幾何論證更加抽象，對思維能力、邏輯論證能力要求更高，更能“反映”學生抽象思維能力的層次.在“數與代數”領域內容的教學中，“計算”是核心，這種計算要依據一定的“原理”（公式、法則、運算律等），在計算中處處含有推理（算理）的過程.現實世界中的數量關系往往有其自身的規律，用代數式、方程、不等式、函數刻畫這種數量關系或變量關系的過程中，也不乏分析、判斷和推理.這是一個經歷觀察、猜想、歸納、證明的過程，是一個既有合情推理又有演繹推理的過程[2].

代數推理同幾何推理一樣，也包括演繹推理、歸納和類比推理.例如，從若干運算結果中歸納出有關運算規律，就是歸納；根據運算法則推演出運算的規律或者公式，就是演繹；而根據有理數的運算法則得到無理數的運算法則、實數的運算法則等就是類比[3].

2 代數推理教學的現狀

自2001年課程改革以來，教師沒有發揮好“數與代數”領域內容在學生推理能力培養方面“應有”的作用，突出表現在兩個方面.

（1）教師研讀教材的力度不夠

《2022年版課標》指出：“數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、知識結構和基本線索，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源.” [1]在教材的編寫過程中，由于受篇幅的限制，教材隱去了很多知識的產生過程或利用知識解決問題的過程，其實這些過程中蘊含著大量的推理思想.教師在研讀教材時，應該把這些“省略”的推理過程“挖掘”出來.而在教學中是否“補充”給學生，要根據學生的實際接受能力而定，即使不能“補充”，教師也要在心中整體把握這個完整的推理過程.

例1（青島版教材中的例題）在下列各題中的空格處，分別填上大于號或小于號（“＞”或“＜”），并說明理由.

（1）2.50；（2）-10；

（3）1-100；（4）-3-2.

解：（1）2.5＞0（正數大于0）；

（2）-1＜0（負數小于0）；

（3）1＞-100（正數大于一切負數）；

（4）-3＜-2（在數軸上，右邊的點所表示的數比左邊的點所表示的數大）.

設計意圖：設置此例題，一是利用法則比較兩個有理數的大小，二是培養學生的說理意識.由于學生剛升入初中，說理能力比較弱，因此教材采用了“把比較兩數大小的依據填在結論后面的括號內”的處理方式，這樣有助于培養學生的說理意識.

教師在講課時，可以按照上面的過程進行.但是教師在研讀本課教材時，應該明確本題實質上完整地體現了“三段論”的推理模式.以第（3）小題為例說明如下：因為正數大于負數（大前提），-100＜0，1＞0（小前提），所以-100＜1（結論）.

有些大學師范生初到教學崗位時，總覺得初中數學太簡單，課堂上需要講的內容太少.果真如此嗎？

（2）教學過程過于簡略

在數學教學中，過程教學意義重大.由于揭示知識發生、發展的過程“費時費力”，因此很多教師往往直接給出結果，這樣容易導致學生對知識的理解不深刻，同時也失去了培養學生推理能力的“機會”.

例2（蘇科版教材中的例題）計算56×14.

解：56×14

=56×14

=4×14×14

=（2×14）2

=2×14=28.

設計意圖：很多教師在研讀教材時沒下功夫，教學中又不重視過程，就直接按照上面的解法講給學生，這樣就錯過了培養學生代數推理能力的一次“機會”.

本題的解答過程其實隱含了涉及二次根式性質的兩步推理過程：

（1）因為a·b=ab（a≥0，b≥0），且a=56，b=14，所以56×14=56×14；

（2）因為a2=a（a0），且a=2×14，所以（2×14）2=2×14.

在課堂教學中必須把推理過程“還原”給學生，按照上面的兩步推理過程書寫，這樣就能幫助學生養成解答數學問題時做到步步有據的習慣，有助于學生代數推理能力的形成與提高.

從這個角度看，這不僅僅是一個計算題，同時也是一道推理題.學生通過解答既加深了對二次根式的性質、二次根式乘法的理解，又增強了運算能力，還能“感悟”到代數推理的過程，久而久之，學生的推理能力自然得到提升.

3 代數推理教學的實施

《2022年版課標》指出：“數與代數領域的學習，有助于學生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發展幾何直觀和運算能力.” [1]初中階段“數與代數”領域包括“數與式”“方程與不等式”和“函數”三個主題，這些內容是學生理解數學符號，以及感悟用數學符號表達事物的性質、關系和規律的關鍵內容，是學生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用數學語言表達現實世界的重要載體.教師在教授這些內容時，既要傳授好這些基礎知識，還要以這些內容為“載體”培養學生的數學推理能力，從而提高學生的數學核心素養.代數推理能力的培養可以劃分為三個階段.

（1）以探索發現為主，旨在培養合情推理能力

在規范學習幾何“證明”之前，代數推理表現為“合情推理”的方式.在這個階段的教學中，教師以“數與代數”領域的知識點為載體，創設問題情境，開展觀察、實驗、猜想（類比與歸納）等活動；在活動的過程中，學生能憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果，提高合情推理能力.

例3（蘇科版教材中的一道復習題）3個朋友在一起，每兩人握一次手，他們一共握了幾次手？4個朋友在一起呢？ n個朋友在一起呢？

設計意圖：本題屬于探究規律的問題，為了便于找到規律，還可以繼續提出“5個朋友在一起呢？”的問題，以得到較多的例子.顯然，當n為2，3，4，5時，握手的總次數分別為1，3，6，10.根據1=12×2×1，3=12×3×2，6=12×4×3，10=12×5×4，可猜想出n個朋友在一起，他們一共握了12×n×（n-1）次手．

學生合情推理能力的提升過程不同于一般數學基礎知識與技能的獲取過程，需要在問題的引導下“悟”出來.根據“引導學生在真實情境中發現問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題” [1]的要求，教師要在第一階段的教學中認真研讀“數與代數”方面的內容，根據學生的認知水平，設計系列問題串，以引導學生探索發現，不斷發展合情推理能力.

（2）以演繹推理為主，旨在培養推理論證能力

學生在學習了幾何“證明”后，掌握了幾何證明的基本模式，在敘述證明的過程中能使用“∵……，∴……”的符號語言.推理進入邏輯推理階段，以培養推理論證能力為主.這時在“數與代數”方面內容的學習中，也要利用這種推理模式培養學生的演繹推理能力.

例4已知函數y= 6x ，求證：當x<0或x>0時，y隨x的增大而減小．

證明：當x1<0，x2<0時，不妨設x1

因為x10，x1－x2<0．

因此6（x1－x2）x1x2<0，即y2－y1<0，y2

所以，當x<0時，y隨x的增大而減小.

同理可證，當x>0時，y也是隨x的增大而減小．

設計意圖：初中階段都是通過分析函數表達式和函數圖象來探究函數性質的（是合情推理），沒有對性質進行證明（是基于課程標準的要求）.事實上，學生已具備證明所需的知識及能力，因此教學中可適度拓寬要求，加強演繹推理以滿足部分學生發展的需求．

例5已知函數y＝x2+2mx－2m－1（m為常數）．

（1）當m＝－1時，此函數的圖象與x軸有幾個交點？

（2）求證：不論m為何值，該二次函數的圖象與x軸總有公共點．

解：（1）當m＝－1時，y＝x2－2x+1．

由Δ＝（-2）2－4×1×1＝4－4＝0，可知一元二次方程x2－2x+1＝0有兩個相等的實數根．

所以，此函數的圖象與x軸只有1個交點.

（2）證明：因為方程x2+2mx-2m-1＝0的根的判別式Δ＝4m2－4（－2m－1）＝4（m+1）2≥0，所以方程x2+2mx-2 m-1＝0有實數根．

因此，不論m為何值，該二次函數的圖象與x軸總有公共點．

設計意圖：本題的第（1）問雖然是解答題，但是解答過程離開演繹推理是沒法進行的；本題的第（2）問要按照“幾何”證明的格式寫出證明過程.本題表面看是考查學生對一元二次方程根的判別式、拋物線與x軸的交點等知識的掌握情況，深層看是以這些知識為“載體”，培養學生的邏輯推理能力.

（3）合情與演繹推理相融合，旨在提升推理能力

經過第二個階段，學生具備了按照演繹推理形式對有關“數與代數”的結論進行證明的技能，此階段的代數教學宜采用“合情推理和演繹推理相輔相成”的方式，讓學生經歷從合情推理到演繹推理的閉環，有利于提高學生的代數推理能力.

例6（蘇科版教材中的一道復習題）計算下列各式，你得到什么結論？試用字母表示數，并說明結論的正確性.

8×8-7×9；11×11-10×12；80×80-79×81.

設計意圖：本題包含“探索—證明”兩個環節，教學中應引導學生先觀察幾個算式的結構特點，然后再計算.如果學生直接按運算順序計算，教師暫不評論，在得到結果后（都為1）再引導學生觀察算式的特征，在此基礎上利用合情推理進行大膽猜想，并引入符號，將猜想表示為“n2-（n-1）（n+1）=1”，然后利用演繹推理對結論進行證明.因為左邊=n2-（n-1）5（n+1）=n2-（n2-1）=1，右邊=1，所以左邊=右邊，因此結論是正確的.

這樣的教學，學生能體會到“合情推理用于探索思路，發現結論；演繹推理用于證明結論”.合情推理和演繹推理相輔相成，進一步提高了學生的推理能力.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]劉曉玫，楊裕前.關于推理能力問題的幾點思考[J].數學教育學報，2002（2）：54-56.

[3]江守福，章飛，顧繼玲.初中代數學習中發展學生推理能力的著力點分析與建議[J].數學通報，2021（11）：21-24.