含參一元一次不等式（組）問題求解策略

徐樹光

摘要：含參數的不等式問題是中考的考點之一，在每年各省市中考題中多有涉及.解決這類問題要熟練掌握一般不等式（組）的解法，逆用不等式（組）的解集，或分類討論確定，或借助數軸確定，或借助補集思想，或端點驗證來確定參數的取值范圍.

關鍵詞：運算素養；結構特點；一題多解

1 引言

若一個不等式中除了含有未知數以外，還含有其他字母，則稱這個不等式為含參數的不等式.一般解題策略是先把不等式化為一邊是未知數，另一邊是數字或含參數的表達式，再根據題目的其他條件對表達式的正負情況討論解答.下面以2020年中考題為例探求含參一元一次不等式（組）問題的求解策略［1］.

2 直接使用口訣

由兩個一元一次不等式構成的不等式組，共有四種情況.已知a＜b，其不等式組的解集如下：

x＜a，

x＜b的解集是x＜a，即“小小取小”；

x＞a，

x＞b的解集是x＞b，即“大大取大”；

x＞a，

x＜b的解集是a＜x＜b，即“大小小大中間找”；x＜a，

x＞b的解集是空集，即“大大小小取不了”.

利用這個口訣，有時可以快速解題.

例1（2020年濱州）若關于x的不等式組12x－a＞0，

4－2x≥0無解，則a的取值范圍是.

解析：由不等式12x－a＞0，得x＞2a.由不等式4－2x≥0，得x≤2.根據不等式組的解集為空集和口訣“大大小小取不了”，可知2a≥2，解得a≥1.

因此應填：a≥1.

點評：用口訣解“不等式組有解或無解”問題比較方便，但需要注意解集中等號的取舍，這對初學不等式的學生是一個難點.對此類問題還可以作以下變式：

變式1若x≥2a，

x≤2無解，則a的取值范圍是.（答案：a＞1）

變式2若x≥2a，

x＜2無解，則a的取值范圍是.（答案：a≥1）

變式3若x＞2a，

x＜2無解，則a的取值范圍是.（答案：a≥1）

變式4若x＞2a，

x＜2有解，則a的取值范圍是.（答案：a＜1）

變式5若x≥2a，

x＜2有解，則a的取值范圍是.（答案：a＜1）

變式6若x≥2a，

x≤2有解，則a的取值范圍是.（答案：a≤1）

3 分類討論

由于參數的存在，各不等式解集端點的值大小關系待定，用分類討論作答，可看出不同情況下的解集，符合題意的范圍即為要求的答案.

例2（2020年黑龍江龍東）若關于x的一元一次不等式x－1＞0，

2x－a＞0的解集是x＞1，則a的取值范圍是? .

解析：由不等式x－1＞0，得x＞1.由不等式2x－a＞0，得x＞a2.令a2＝1，則a＝2.

當a＞2時，原不等式組的解集是x＞a2；

當a＝2時，原不等式組的解集是x＞1；

當a＜2時，原不等式組的解集是x＞1.

所以a的取值范圍是a≤2.

點評：分類討論將所求問題細化，多次使用口訣解答，找到滿足題意的參數的范圍；同時，也排除了不合題意的參數范圍.

4 數形結合

不等式中的參數問題本質是在運動與變化中尋找滿足題意的范圍，有時臨界點較多，利用數形結合可以使問題直觀形象，降低思維難度，尤其對等號的取舍有重要的支撐作用.

例3（2020年天水改編）若關于x的不等式3x＋a＜2的最大整數解為2，則a的取值范圍是.

解析：由原不等式，得x＜2－a3.

圖1圖2圖3

如圖1，當1＜2－a3≤2時，最大整數解為1，不滿足題意；

如圖2，當2＜2－a3≤3時，最大整數解為2，滿足題意，此時－7≤a＜－4；

如圖3，當3＜2－a3≤4時，最大整數解為3，不滿足題意.

因此，a的取值范圍是－7≤a＜－4.

點評：數軸是數形結合的有力工具，利用數軸將不等式的解集直觀表示出來，可以快速準確地建立含參不等式，對難于抉擇的端點也可一目了然.

5 補集思想

當一個問題有多種可能性，或不易直接解答，可從問題的反面分析研究，即利用補集思想解決.

例4（2020年廣西百色）若不等式組x－2＞1－2x，

x+m≤0有解，則m的取值范圍是（）.

A.m＞－1B.m≥－1

C.m≤－1D.m＜－1

解析：解不等式組，得x＞1，且x≤－m.考慮從反面出發，求原不等式組無解時，a的取值范圍.由前面的口訣，知－m≤1，即m≥－1時，原不等式組無解，即不等式有解的范圍是m＜－1.故選：D.

點評：正難則反是一種重要的思維方式，巧妙運用這個策略，適當轉變思路，嘗試逆向思維對題目進行分析，能夠降低思維難度，減少運算量.

6 端點驗證

不等式中有關取值范圍的問題，對端點的取舍容易出錯，因此對于一些選擇題，只需把端點處理好，采取端點驗證法，可以減少運算量.

例5（2020年濰坊）若關于x的不等式組3x－5≥1，

2x－a＜8有且只有三個整數解，則a的取值范圍是（）.

A.0≤a≤2B.0≤a＜2

C.0＜a≤2D.0＜a＜2

解：從選項中發現，解決本題的關鍵在于0和2是否可取.

由3x－5≥1，得x≥2.

由2x－a＜8，得x＜8+a2.

當a＝0時，不等式組的解集是2≤x＜4，有兩個整數解，不合題意，所以舍去a＝0.排除A，B選項.

當a＝2時，不等式組的解集為2≤x＜5，有三個整數解，符合題意，所以a＝2可取.

因此應選：C.

點評：對于一個數學問題，能直接解答固然很好，而從不同角度思考問題，特別在考試的有限時間內快速得出答案，既可節省時間，又可提高正確率，是非常有益可取的做法.

以上含參不等式的五種求解方法，要因題而異，根據題設靈活選用，尤其是等號的處理，要正確理解.下面讓我們運用這幾種方法大顯身手吧！

（1）（2020年德州）若關于x的不等式組2－x2＞2x－43，

－3x＞-2x－a的解集是x＜2，則a的取值范圍是（）.

A.a≥2B.a＜－2C.a＞2D.a≤2

解析：解不等式組得x＜2且x＜a.又解集為x＜2，所以a≥2.故選：A.

（2）（2019年丹東）關于x的不等式組2x－4＞0，

a－x＞-1的解集是2＜x＜4，則a的值為.

解析：解不等式組，得x＞2且x＜a＋1.又已知其解集為2＜x＜4，所以a＋1＝4，則a＝3.

（3）（2020年襄陽模考）已知不等式組3x+a＜2（x+2），

－13x＜53x+2有解，但沒有整數解，則a的取值范圍是.

解析：解不等式組，得x＜4－a且x＞－1.則不等式組有解時，滿足－1＜x＜4－a；又因為不等式組沒有整數解，所以＜4－a≤0，解得4≤a＜5.

參考文獻：

[1]管成芳，王鹿.巧分類，妙分離——含參的一元二次不等式問題求解策略[J].高中數理化，2019（24）：10.