數(shù)學(xué)分析背景下的一道高考導(dǎo)數(shù)題的解法探究

【摘要】針對(duì)2017年全國高考新課標(biāo)卷Ⅱ文科函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題所考察的含參數(shù)不等式在某個(gè)區(qū)間上恒成立，求解參數(shù)的取值范圍的問題，給出了數(shù)學(xué)分析觀點(diǎn)下求解該問題的方法——拉格朗日中值定理法、洛必達(dá)法則法和泰勒公式法，通過求解的過程表明這三種方法的適用條件和可行性，從而，使得不易求解的問題變得簡單化，進(jìn)一步拓展了高中生的數(shù)學(xué)知識(shí)層面.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù);參數(shù);拉格朗日中值定理;洛必達(dá)法則;泰勒公式

1考題展示

設(shè)函數(shù)f（x）=（1-x2）ex.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍.（2017年全國Ⅱ卷）

分析（1）考查了學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于基礎(chǔ)知識(shí)，解題過程略;

（2）考查了利用導(dǎo)數(shù)解決含參不等式的恒成立問題，這類問題題型常規(guī)，難度較大，綜合性較強(qiáng)，解題方法不唯一，不僅注重考查學(xué)生的分離參數(shù)法、構(gòu)造函數(shù)法、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價(jià)與轉(zhuǎn)化等思想方法，更注重考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力、邏輯推理能力和解題能力，符合高考導(dǎo)數(shù)壓軸題的命題特征，下面給出三種解法.

2解法研究

拉格朗日中值定理函數(shù)f（x）滿足以下兩個(gè)條件：

（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);

（2）f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（ξ）=f（b）-f（a）b-a.

解法1（2）當(dāng)x=0時(shí)，f（x）≤ax+11≤1，顯然成立;

當(dāng)xgt;0時(shí)，f（x）≤ax+1可轉(zhuǎn)化為a≥（1-x2）ex-1x對(duì)所有xgt;0恒成立.

令h（x）=（1-x2）ex-1，

G（x）=（1-x2）ex-1x=h（x）-h（0）x-0，

由拉格朗日中值定理可知在（0，+∞）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ（ξgt;0），使得

h′（ξ）=h（x）-h（0）x-0，

即G（x）=h′（ξ）=（1-ξ2-2ξ）eξ，

由ξgt;0，

得h″（ξ）=-（ξ2+4ξ+1）eξlt;0，

所以h′（ξ）在（0，+∞）上是減函數(shù)，

故h′（ξ）=（1-ξ2-2ξ）eξ的最大值為

h′（0）=1，

即G（x）max=h′（0）=1，

所以a的取值范圍是a≥1.

注當(dāng)xgt;0時(shí)，則f（x）≤ax+1可轉(zhuǎn)化為

a≥f（x）-1x，

即a≥（1-x2）ex-1x.

令h（x）=（1-x2）ex-1，

因?yàn)閔（0）=0，則其可化為a≥h（x）-h（0）x-0，這樣就滿足拉格朗日中值定理適用的條件，這樣做可簡化計(jì)算量，易于求解.

洛必達(dá)法則若函數(shù)f（x）和g（x）滿足以下條件：

（1）limx→af（x）=0及l(fā)imx→ag（x）=0;

（2）在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，f（x）與g（x）均可導(dǎo)，且g′（x）≠0;

（3）limx→af′（x）g′（x）=l（l為常數(shù)）.

則limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=l.

我們把這種在一定的條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式“00”型或“∞∞”型等值的方法稱之為洛必達(dá)法則.

如果f′（x）g′（x），當(dāng)x→a時(shí)仍屬00型，且f′（x）和g′（x）均滿足定理中的條件，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

即limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=limx→af″（x）g″（x）=l.

解法2（2）當(dāng)x=0時(shí)，f（x）≤ax+11≤1，顯然成立;

當(dāng)xgt;0時(shí)，f（x）≤ax+1可轉(zhuǎn)化為a≥（1-x2）ex-1x對(duì)所有xgt;0恒成立.

令F（x）=（1-x2）ex-1x，

則F′（x）=（x-x3-x2-1）ex+1x2.

令h（x）=（x-x3-x2-1）ex+1，

得h′（x）=-（x3+4x2+x）ex，

顯然h′（x）lt;0，

所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

從而h（x）lt;h（0）=0，

所以F′（x）lt;0，

則F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

于是，當(dāng)xgt;0時(shí)，a≥（1-x2）ex-1x，

即a≥limx→0（1-x2）ex-1x，

由洛必達(dá)法則可知

limx→0（1-x2）ex-1x=limx→0（1-2x-x2）ex1=1，

所以a≥1.

注當(dāng)xgt;0時(shí)，則f（x）≤ax+1可轉(zhuǎn)化為a≥（1-x2）ex-1x，該含參不等式恒成立問題的難點(diǎn)在于構(gòu)造的函數(shù)h（x）=（1-x2）ex-1x的最值不易求解，應(yīng)用洛必達(dá)法則只需求導(dǎo)一次便可解出.

泰勒公式設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)該鄰域內(nèi)異于x0的任意點(diǎn)x，在x0與x之間至少存在一點(diǎn)ξ，使得f（x）=f（x0）+f′（x0）1！（x-x0）+f″（x0）2！（x-x0）2+…+fn（x0）n！（x-x0）n+o（（x-x0）n），這里o（（x-x0）n）為佩亞諾型余項(xiàng)，稱f（x）在點(diǎn)x0的n階泰勒公式.

當(dāng)x0=0時(shí)，其變成f（x）=f（0）+f′（0）1！x+f″（0）2！x2+…+fn（0）n！xn+o（xn），稱此式為（帶有佩亞諾余項(xiàng)的）麥克勞林公式.

解法3函數(shù)f（x）=ex的泰勒公式展開式

ex=1+x1！+x22！+x33！+…+xnn！+Rn（x），

容易證的ex≥1+x.

（2）當(dāng)x=0時(shí)，f（x）≤ax+1等價(jià)于1≤1，顯然成立;

當(dāng)xgt;0時(shí)，f（x）≤ax+1可轉(zhuǎn)化為

ax≥（1-x2）ex-1≥（1-x2）（1+x）-1

對(duì)所有xgt;0恒成立，

即a≥（1-x2）（1+x）-1x=1-x-x2.

令h（x）=1-x-x2，

配方得h（x）=-x+122+54，

所以h（x）max=h（0）=-0+122+54=1，

所以a≥1.

注泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的公式，它能將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為簡單的多項(xiàng)式函數(shù)，本題就是將ex展開為多項(xiàng)式函數(shù)，容易證得ex≥1+x，從而起到了化繁為簡的功能.

上述這道導(dǎo)數(shù)壓軸題是屬于不等式恒成立問題中求參數(shù)的取值范圍的問題，盡管將參數(shù)與變量分離開較為容易，但是求解分離出來的新函數(shù)的最值時(shí)比較麻煩，利用數(shù)學(xué)分析中的拉格朗日中值定理、洛必達(dá)法則和泰勒公式展開式可以很容易求解它的最值，因此，這三種方法可以快速提高解題效率，值得廣大師生借鑒.