高三數(shù)學習題“會而不對”現(xiàn)象研究

【摘" 要】 在高三復習階段，學生在答題時會出現(xiàn)一種“會而不對”的現(xiàn)象，即學生貌似了解解題的方法，然而解題時卻出現(xiàn)錯誤.這種現(xiàn)象出現(xiàn)與學生缺乏審題訓練、沒有深入理解數(shù)學概念、數(shù)學思想學習不深入、數(shù)學計算能力不足有關.如果要提高學生的解題能力，就要從這四個方面著手解決.

【關鍵詞】 高三數(shù)學;高考復習;會而不對

在高三復習的階段，學生會應用解習題的方式來發(fā)現(xiàn)自己的學習不足，然后有針對性的完善知識結(jié)構(gòu)，達到查漏補缺的目的.學生在復習時，發(fā)現(xiàn)自己存在“會而不對”的學習情況，即學生認為自己了解這一題要考核的知識點，并且覺得依自己的學習水平能夠解決這類數(shù)學問題，然后解題之后卻發(fā)現(xiàn)自己做錯了習題.學生需要了解高三數(shù)學答題“會而不對”現(xiàn)象的原因，并能夠提出有針對性的對策.

1 沒有正確完成審題

部分習題中包含有隱含習題，由于學生沒有受過系統(tǒng)的審題訓練，從而導致學生在解題時沒有挖掘隱含條件意識、沒有掌握挖掘隱含條件技巧、不會充分應用挖掘隱含條件的途徑轉(zhuǎn)化問題，于是學生出現(xiàn)了解題錯誤.

題1 在銳角三角形中， ， ， 成等差數(shù)列，函數(shù) 滿足 ，求函數(shù) 的解析式.

解根據(jù)已知條件， ，并且從誘導公式可得 .聯(lián)立兩式，應用挖掘?qū)蛐噪[含條件的方式來聯(lián)立兩式，可得 ，從而得到隱含條件 .這一步是應用挖掘?qū)蛐噪[含條件的方式簡化式子，找到解題條件典型應用.該題通過把式子外型條件的特征與三角函數(shù)的式子聯(lián)立起來，通過重整式子，讓式子得簡單，這為后續(xù)簡化數(shù)學問題打下了基礎.

從 中可得 ，應用補充性隱含條件挖掘的方式，簡化函數(shù)表達式可得，令 . 為銳角， .這一步是應用挖掘補充性隱含條件求值的典型應用，它利用三角函數(shù)計算公式作為補充條件再次簡化式子，學生應用這種方式能夠快速解答習題.這種應用了兩種不同的思路挖掘隱含條件的過程，對于部分學生而言，是比較復雜的，在解題的過程中，學生需要全面思考習題，分析習題中是否存在制約性隱含條件，是否存在能夠化簡式子的導向性隱含條件，是否能夠讓解題順利完成的補充性隱含條件等.綜合性隱含條件考核的是能否從解題需求出發(fā)，全面應用隱含條件的挖掘方法，然后通過分析問題、簡化問題、轉(zhuǎn)化問題的思路，應用現(xiàn)有的已知條件和挖掘出來的隱含條件完成解題.

隱含條件就是指數(shù)學問題中沒有直接給出，需要結(jié)合解題的需求去挖掘出來的條件.根據(jù)常見的隱含條件表現(xiàn)形式，可將隱含條件分為四類：（1）從問題的字母、變量、關系式中或者從實際生活或需求出發(fā)，隱含著制約性質(zhì)的條件，這是制約性隱含條件.（2）從問題的概念、性質(zhì)、圖形特征出發(fā)，包含著的帶有補充性特征的答件，這是補充性隱含條件.（3）從問題和問題的關聯(lián)出發(fā)，通過把一個問題推導成另一個問題時，呈現(xiàn)出來的條件，這是導向性隱含條件.（4）需要應用以上三種方法來進行多次轉(zhuǎn)換，才能獲得的條件，這是綜合性隱含條件.學生需要在解題時，接受系統(tǒng)的審題訓練，其中包含隱含條件挖掘的訓練.不同表現(xiàn)形式的隱含條件，挖掘的方式不同，在解題時，為了順利的解答習題，學生需要學會有效的挖掘和利用隱含條件.

2 數(shù)學概念理解錯誤

在解數(shù)學習題時，學生常常需要從數(shù)學概念著手分析問題.部分學生在學習時認為自己理解了概念，然而卻不知道自己存在很多知識漏洞.學生需要了解在學習時最常出現(xiàn)的知識漏洞是什么及如何完善自己的知識結(jié)構(gòu).只有深入的理解概念，才能夠正確完成習題.

2.1 混淆概念

部分數(shù)學概念非常容易混淆，學生在探討數(shù)學問題時，需要從深入數(shù)學概念著手學習，避免因為錯誤的理解數(shù)學概念導致解錯習題.

題2 設集合A={（ ， y）∣ +2 y=5}，B={（ ， y）∣ -2 y=-3}，求A B.很多學生看到該題，覺得自己能理解它的意思，于是給出錯解：

由" "得 從而A B={1，2}.

此時學生以分析數(shù)集的方式來分析點集，導致出現(xiàn)了錯誤.學生在學習集合時，曾經(jīng)學習過集合的分類，于是在探討數(shù)學問題時，就要深入的分析該數(shù)學問題探討的概念對應的分類是什么，然后應用正確的概念來解決問題.

正解據(jù)題意，A∩B的元素為兩條直線的交點，那么A∩B={（x，y）|x+2y=5，x-2y=-3}，于是可知x+2y=5，x-2y=-3，從而可得可得x=1，y=2，繼而可得A∩B={（1，2）}.

在學習概念的時候，學生需要辨析概念，在該題中，學生需要了解自己探討的集合問題是數(shù)集問題，還是點集問題，兩種類型的集合它的表現(xiàn)形式是什么.只有深入的理解概念，才不會出現(xiàn)沒有深入理解概念導致解題出錯的問題.

2.2 邏輯錯誤

邏輯錯誤是指在探討數(shù)學概念時，要依數(shù)學概念建立的邏輯來一一分析問題，學生不能夠忽略概念建立的邏輯，導致出現(xiàn)解題漏洞.

題3 已知集合A={a，a+b，a+2b}，B={a，ac，ac2}.若A=B，求c的值.

該題很多學生覺得自己會做這道題.根據(jù)已知條件A=B，那么可知a+b=ac，a+2b=ac2，聯(lián)立兩式解方程即可得到答案.然而學生忽略了集合中元素存在確定性、互異性，無序性的關系，即學生的探討是不全集的，學生沒有結(jié)合數(shù)學概念建構(gòu)的邏輯來探討問題.正確的答案如下.

解分兩種情況進行討論. （1）聯(lián)立a+b=ac和a+2b=ac2，消去b得：a+ac2-2ac=0，分類探討問題，當a=0時，集合B中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故a≠0，那么可知c2-2c+1=0，于是可得c=1，然而c=1時，B中的三元素又相同，此時無解.（2）聯(lián)立a+b=ac2和a+2b=ac，消去b得2ac2-ac-a=0，由于a≠0，那么可得2c2-c-1=0，于是可知（c-1）（2c+1）=0，又c≠1，那么可知c=- .

部分學生在學習概念時，了解概念建構(gòu)的邏輯，然而在解題時，似乎又忘記了數(shù)學概念的建構(gòu)邏輯.在學習概念時，學生要應用科學的邏輯理解概念，然后在探討問題時，要把數(shù)學概念建構(gòu)的邏輯應用到數(shù)學問題的探討中.

2.3 理解片面

題4 已知集合A={x|x2-3x-10≤0}，集合B={x|p+1≤x≤2p-1}，如果B A，那么請求出實數(shù)p的取值范圍.

該題最常出現(xiàn)的錯誤為學生忽略了探討集合B存在空集的情況，從而出現(xiàn)解題錯誤.其中最易出現(xiàn)錯誤的問題為A∩B= 、A∪B= ，A B等集合問題，學生通常忽視空集的探討而出現(xiàn)漏解.該題正確的解法如下.

解①當B≠ 時，那么p+1≤2p-1 p≥2.因為B A，那么可知-2≤p+1且2p-1≤5，又因為-3≤p≤3，所以可得2≤p≤3.②當B= 時，那么p+1gt;2p-1 plt;2.聯(lián)立①、②可知p≤3.

學生在學習時，曾學習過空集的概念.然而在具體的應用時，學生卻不能夠理解哪些類型的集合相交會產(chǎn)生空集;在探討哪些問題時，需要探討空集.這就是學生片面理解數(shù)學概念的體現(xiàn)，學生一方面需要深入的理解概念知識，一方面要積累做題經(jīng)驗.了解概念學習存在的重點和難點，攻克數(shù)學概念學習障礙.避免不能把數(shù)學概念正確的應用于問題的探討中.

3 數(shù)學思想應用錯誤

在解高中數(shù)學問題時，學生常常需要應用數(shù)學思想來探討問題.然而由于學生對數(shù)學思想了解得不夠深刻，于是學生會出現(xiàn)即使了解需要應用什么樣的數(shù)學思想來探討問題，也應用了數(shù)學思想來探討問題，卻在解題過程中出現(xiàn)了錯誤的問題.數(shù)學思想是高考考核的重點，學生必須深刻的了解常用數(shù)學思想應用的方法.

3.1 應用目標錯誤

題5 已知 ，求 .

很多學生看到這一道題，結(jié)合數(shù)學式子的特征便能了解要應用整體思想來解決問題.然而很多學生選擇的換元方法為 ，在計算時，發(fā)現(xiàn)這道題中出現(xiàn)了x和u兩個字母，從而讓數(shù)學計算過程變得非常麻煩.學生應用整體思想，使用換元法解題，其目標是為了降冪降次，只有貫徹這一目標，才能正確應用整體思想簡化問題.

解設" ，那么可知" ，從而可知" ，那么可知 = （ ）.

學生在應用數(shù)學思想解題時，需要了解數(shù)學思想的應用優(yōu)勢、目標、過程、原則等，而不能只是片面的理解數(shù)學思想.只有全面的、深入的掌握數(shù)學思想應用的方法，才能夠順利的應用數(shù)學思想解決數(shù)學問題.

3.2 問題轉(zhuǎn)化錯誤

在應用數(shù)學思想解題時，學生往往了解為了解題，他們需要把一個數(shù)學問題轉(zhuǎn)換化另一個數(shù)學問題，然而在轉(zhuǎn)化的過程中，學生往往忽略了問題與問題之間的差異性，于是犯下了等量轉(zhuǎn)化的錯誤.

題6 已知 ，試求 的最大值.

很多學生的解題方法為：由" 得" ，那么可得

，從而可得當 時， 取最大值，它的最大值為 .此時學生沒有意識到在把方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題時，必須等量轉(zhuǎn)化.該題要求 的最大值，將 變?yōu)橐辉魏瘮?shù) ，此時要分析 中存在根據(jù)極值點的 值，可以了解 ，這一隱含的制約，只有了解這一條件條件帶來的制約，才能正確解答習題.

解由 得 ，又因為 ，那么可得 ，從而可得 .又根據(jù)" ，得到當 時， 有最大值，最大值為

在解數(shù)學習題時，把方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題時，會存在條件的制約;在把數(shù)學公式轉(zhuǎn)化為圖像時，要分析數(shù)學圖像繪制可能會存在失真的問題.學生必須在解題時，牢記等量轉(zhuǎn)化的原則，避免在轉(zhuǎn)化問題時出現(xiàn)解題錯誤.

4 結(jié)語

高三數(shù)學答題，學生存在“會而不對”現(xiàn)象，與學生沒有全面審題、沒有深刻的理解數(shù)學概念、沒有真正掌握數(shù)學思想應用的方法、沒有訓練出扎實的計算能力有關.教師需要從這幾個方向著手，引導學生熟悉解題方法、夯實數(shù)學基礎、深入數(shù)學思想學習、訓練計算技能，從而讓學生能夠提高解題的能力.

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