更高更妙的“轉化思想”解題例析

摘要著名的教育家和心理學家布盧姆在《教育目標分類學》一書中指出：數(shù)學轉化思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉化的能力”如果學生在掌握基礎知識和基本技能的同時，領悟了數(shù)學思想，學會了數(shù)學方法，就能進一步提高分析問題解決問題的能力，創(chuàng)新精神和實踐能力，并為以后的學習數(shù)學打下牢固的基礎.

關鍵詞 轉化思想;數(shù)學方法;學習數(shù)學

數(shù)學解題的本質就是轉化，即化繁為簡，化難為易，化生為熟，化抽象為具體，化一般為特殊，化高次問題為低次問題，化不可能為可能……數(shù)學轉化，包含了數(shù)學特有的數(shù)、式、形的相互轉換。轉化的目的是不斷發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，最終解決問題.

1 化抽象為直觀，使問題的解決標新立異

數(shù)學是以“數(shù)”與“形”這兩個基本概念為基礎而展開的。《高中數(shù)學新課程標準》（以下簡稱《新課標》）在學習內容中要求：“能運用圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考。”用精煉、自然的數(shù)學語言表達解決數(shù)學問題的過程 ，用簡單、明了的式子或圖形給出最終結果，達到解決學生心中存在的困惑，培養(yǎng)學生的數(shù)學解題能力目的。如解決有關數(shù)列方面的問題，可以通過圖形將復雜或抽象的數(shù)量關系，直觀形象地翻譯出來。

例" "， ，求

解 由 ，兩邊同時平方得 ，移項得 ，兩邊同時除以 ，得

，即

，

，類比余弦定理，如圖2， 對角等于 與 夾角，都為 ; 對角等于 與 夾角，都為 ; 對角等于 與 夾角，都為 ;…… 對角等于 與 夾角，都為 ，如圖3

在 中，由正弦定理 所以 .

2 化繁瑣為簡單，使問題的解決簡明新奇

數(shù)學家高斯說過 ：“去尋求一種最美和最簡潔的證明 ，乃是吸引我去研究數(shù)學的主要動力 .”所謂簡潔解答數(shù)學問題 ，就是用簡單、直接、明快的方法簡明新奇地更好的解決數(shù)學問題nbsp; ，探索出一條合理而乘勢的解題途徑。

2018 年高考全國II卷理科第19題：

c：y^2=4x焦點為F，過F且斜率為K的直線l與C交于A，B，|AB|=8，求

直線l方程，（2）過A，B且與C準線相切的圓的方程

解 （1）直線l方程：x-y-1=0（過程略）

（2）x-y-1=0與c：y^2=4x聯(lián)立，分別消y和x得x^2-6x+1=0，〖有y〗^2-4y-4=0，

以AB為直徑的圓x^2-6x+1+y^2-4y-4=0，即x^2+y^2-6x-4y-3=0，依題，所求圓方程與以AB為直徑的圓有公共弦x-y-1=0，設所求圓方程x^2+y^2-6x-4y-3+k（x-y-1）=0即x^2+y^2+（k-6）x-（4+k）y-（3+k）=0，又圓心與C準線距離等于半徑1+ （6-k）/2=√（〖（k-6）〗^2+〖（4+k）〗^2+4（3+k））/2，所以k=0或-16故x^2+y^2-6x-4y-3=0或x^2+y^2-22x+12y+13=0為所求.

3 化實際問題為數(shù)學模型，使問題的解決精煉自然

《新課標》在基本理念中指出“數(shù)學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進行計算、推理和證明，數(shù)學模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象。”重視數(shù)學知識的應用，加強數(shù)學與實際的聯(lián)系，是《新課標》強調的重點之一。在解決實際問題時，要重在分析，把實際問題轉化為數(shù)學模型，培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力。

例 （2010山東青島市）某市政府大力扶持大學生創(chuàng)業(yè).李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數(shù)：y=-10x+500.

（1）設李明每月獲得利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？

（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？

（30根據(jù)物價部門規(guī)定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=進價銷×售量）

分析（1）關于“物品銷售的單價為多少時，每月獲得利潤最大，最大利潤多少？”類型的問題，也就是把生產生活中的實際問題轉化為數(shù)學的問題，把數(shù)學的問題轉化為函數(shù)的最值問題，繼而轉化為方程的問題：即每月所得的凈利潤=每件產品的實際利潤×所銷售產品的件數(shù)，得：w = （x-20）·y=（x-20）·（-10x+500），展開變形轉化為二次函數(shù)w =-10x2+700x-10000，繼而解得：x=35，即當護眼臺燈的銷售單價定為35元時，每月利潤可獲得最大值。

（2）關于“每月欲獲得2000元的實際利潤，則產品的銷售單價應定為多少元？”這種類型的問題，即轉化為列一元二次方程解應用題問題，根據(jù)已知條件容易求得：（x-20）·（-10x+500）=2000，解該一元二次方程得：x1 = 30，x2 = 40，所以要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元。

（3）要解決售價、獲利的在一定范圍內的所需成本最低這一實際問題，則需將本題轉化一次函數(shù)、二次函數(shù)有關性質來完成。∵二次函數(shù)w =-10x2+700x-10000，a=-10<0，拋物線開口向下，∴當30≤x≤40時，w≥2000;又∵銷售單價不得高于32元，∴當30≤x≤32時，w≥2000;設成本為P（元），由題意得：P=20（-10x+500）=-200x+10000，由一次函數(shù)性質k=-200<0時，P隨x的增大而減小，∵30≤x≤32，∴x = 32時，P最小=3600，要實現(xiàn)銷售單價不得高于32元，每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元。

4 結語

數(shù)學語言包括圖形語言，符號語言，文字語言，轉化思想就是三大語言的相互轉化，互譯。需要依據(jù)問題提供的信息，利用動態(tài)思維去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法，所以學習和熟悉轉化的思想，有意識地運用各種變換，去靈活地解決問題，將有利于提高數(shù)學解題的應變能力和應試技巧。