數形結合視角下圓錐曲線習題的突破

【摘 要】 圓錐曲線以計算量大而著稱.對于部分圓錐曲線習題從數形結合視角進行分析，可大大降低計算繁瑣程度，提高解題效率.本文從數形結合視角展示圓錐曲線中離心率、最值問題、參數取值范圍、漸近線方程問題的求解思路，以供參考.

【關鍵詞】 數形結合;圓錐曲線;習題突破

1 數形結合視角下求離心率

例1 已知拋物線C：y2=4x的焦點為F， （-1，0），若點P為拋物線C上的動點，當 取得最大值時，點P恰好在以F， 為焦點的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）

（A） ." " " " " " "（B） ." " " " " "（C） -1." " " " " " （D） -1.

解答該題需要首先確定 的值何時取到最大，而后結合橢圓的定義，求出離線率.

根據題意畫出拋物線C的圖象，如圖1所示，由拋物線的第二定義可知，PF=PD，所以 = ，設直線P 的傾角為 （≤ < ，），則 = = ，由函數知識可知，當 的值最大時， 最大，此時線P 和拋物線C相切.設直線P 為y=k（x+1）與y2=4x聯立整理得到：k2x2+（2k2-4）x+k2=0， =（2k2-4）2-4k4=0，解得k=±1，所以x2-2x+1=0，解得x=1，則P（1，2）或P（1，-2），容易得出PD=PF=2，P = =2 .在橢圓中P +PF=2 +2=2a，則a= +1，c=1，所以e=c/a= -1，選擇D項." " " " " " " " " " " "圖1

2 數形結合視角下求最值

例2 設雙曲線方程為x2-y2=4，左右焦點為F1，F2， P為雙曲線上任一點，過F1作∠F1PF2平分線的垂線，垂足為M，則點M到直線x+y-2 的距離最大值為（）

（A） 3." " " " " " " （B）4." " " " " " " （C）5." " " " " " " （D）6.

根據經驗求某點到直線距離的最值，則該點的一定是變化的，因此，求出該點的軌跡是解答問題的關鍵.

根據題意畫出雙曲線圖象，設點P在雙曲線右側，延長F1M交PF2的延長線于點N，如圖2所示，則容易得出F1（-2 ，0），F2（2 ，0），設點M（x0，y0），因為PM為∠F1PF2的角平分線，由平面幾何知識得：PM⊥F1N，PF1=PN，點M是F1N的中點.所以N（2x0+2 ，2y0），由雙曲線定義可知PF1-PF2=2a=4，所以PN-PF2=4，所以NF2=4，即， =4，整理得到x02+y02=4，所以點M的軌跡是以原點為圓心，半徑為r=2的圓.圓心到直線x+y-2 的距離d= =2=r，表明該直線和圓剛好相切，則點M到直線x+y-2 的距離最大值為2r=4，選擇B項." " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "圖2

3 數形結合視角下求參數范圍

例3 已知橢圓 + =1（a>b>0）的一個焦點為F，若直線y=kx與橢圓交于AB兩點，且∠AFB=60°，則橢圓離心率的取值范圍是（）

（A）（ ，1）." " "（B）（0， ）." " " （C）（0， ）." "（D）（ ，1）.

求離心率取值范圍要么借助橢圓參數的有界性，要么使用結合不等式知識.針對該題需要結合圖形進行適當的轉化，尋找線段之間的關系.

設橢圓的左焦點為F1，連接AF1，AF，BF1，BF，如圖3所示，由橢圓的對稱性可知四邊形AF1BF為平行四邊形，則" " " " " " 圖3

∠AFB和∠F1AF互補，因為∠AFB=60°，則∠F1AF=120°.

在△F1AF中由余弦定理得到：

|FF1|2=|AF1|2+|AF|2-2|AF1|·|AF|·cos∠F1AF

=|AF1|2+|AF|2+|AF1|·|AF|=（|AF1|+|AF|）2-|AF1|·|AF|≥（|AF1|+|AF|）2-（ ）2，又因為|AF1|+|AF|=2a，|FF1|=2c，所以4c2≥4a2-a2=3a2，且當|AF1|=|AF|取等號，又因為k存在，因此，A、B不會在y軸上，因此等號取不到，即， > ，所以

4 數形結合視角下求漸進線方程

例4 已知雙曲線 - =1（a>0，b>0）的左、右焦點為F1，F2，過F1且斜率為-3 的直線與雙曲線在第二象限的交點為A，若（ + ）· =0，則此雙曲線的漸進線為（）

（A）y=±x." " " " （B）y=± x ." " " " （C）y=± x ." " " （D）y=± x.

求雙曲線漸進線方程需要建立a，b兩個參數之間的聯系.根據題干給出的向量關系結合圖形，運用平面幾何知識進行作答.

根據題意畫出如圖4所示的圖形，因為（ + ）· =0，由向量知識可得（ + ）⊥ ，則△AF1F2為等腰三角形，所以AF1=F1F2=2c，因為kAF1=-3 ，過點A作AB⊥x軸于點B，則tan∠AF1B=AB/BF1=3 ，設BF1=x，在直角△ABF1由勾股定理得到：x2+（3 x）2=（2c）2，解得x= c，則A（- c， c），將其代入到雙曲線方程得到：25b4-54a2b2-63a4=0，整理得到（25b2+21a2）（b2-3a2）=0，所以b2=3a2，b= a，則雙曲線漸進線方程為y=± x，選擇D項." " "圖4

綜上所述，數形結合視角下解答圓錐曲線習題應用到的平面幾何知識主要有：三角函數、角平分線、余弦定理、勾股定理等，因此，日常學習中應做好平面幾何知識的匯總與復習，提高數形結合應用意識，尋找解決圓錐曲線習題的最優思路，實現解題能力的進一步提高.

參考文獻：

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