第六屆世界數學團體錦標賽?青年組 接力賽 個人賽

1A.求[2016！+2013！2015！+2014！].（[n]表示不超過n的最大的整數）

1B. 前面隊友傳來的答案是T.

已知a，b，T，c，d是由小到大排列的五個不同的正整數，它們的平均數是T，求d的最大值.

2A.已知數列{an}滿足a1=7，a2=29，an+2=7an+1-10an，n∈N+，求a2015的個位數字.

2B. 前面隊友傳來的答案是T.

若長方體外接球的體積是8π2T，求此長方體表面積的最大值.

3A.求方程2x3-10x2+7x+10=0的所有實根之和.

3B. 前面隊友傳來的答案是T.

已知邊長為整數的矩形的面積S=T2-1，求此矩形的對角線的長的最小值.

個人賽

1.用若干個棱長為1的正方體拼成一個幾何體，它的主視圖，側視圖都是如圖1所示，求這個幾何體的體積的最小值.

2.計算：log2（2log73×22log79）2log37.

3.求函數y=4cos2x-4cosx-6的最小值.

4.已知2a+a3=47，求[a].（[a]表示不超過a的最大整數）

5.已知tanα=2，求sin2α-cos2α.

6.若T是九位的自然數，n是正整數，并且3T+1=10n，求T的各位上的數字和.

7.若0°≤x°lt;360°，并且3sin20°=cos40°+sinx°，求x.

8.△ABC中，cosA=13，BC=6，求此三角形外接圓的弦長的最大值.

9.等差數列{an}的首項為a1，公差為d，若-1≤a2≤2，3≤a5≤5，求a10的取值范圍.

10.邊長和體對角線都是自然數的長方體的體積是220，求體對角線的長.

11.方程x3-x2-1=0有幾個實根？

12.從空間一點出發作四條射線，若它們兩兩所夾的角都是α，求cosα.

13.如圖2，求3×3的網格圖中的陰影部分的面積.

14.已知a，b，c，dgt;0，a+b+c+d=6，求ab+bc+cd+da的最大值.

15.已知不等式5-x2gt;ax+53的解集是（-2，1），求實數a的值.

16.已知f（x）=2x+2+21-x2x+2-x，若f（t）=4，求f（-t）的值.

17.已知y=f（x）是R上的偶函數，且函數f（x-2）=f（x+2），當x∈[-2，0]時，f（x）=x+2，那么當x∈[2，6]時，求f（x）的解析式.

18.已知f（x）的反函數為f-1（x），若f（lnx）=x2-1，求f-1（3）的值.

19.已知球O的直徑PC=2，點A，B在球面上，若AB=2，∠APC=∠BPC=45°，求三棱錐P-ABC的體積.

20.已知an=5×6+7×8+…+（2n+3）（2n+4），bn=[ann]（[x]表示不超過x的最大整數），求滿足{bn}的前n項和Sn≤5455的所有正整數n的和.

參考答案

接力賽

1A.因為2016！+2013！2015！+2014！

=2016×2015×2014+12015×2014+2014

=2016×2015×2014+12014×（2015+1）

=2015+12014×2016，

所以[2016！+2013！2015！+2014！]=2015.

1B.d=5T-T-（a+b+c）

=4T-（a+b+c），

由前面隊友傳來的答案，知T=2015，所以

1≤alt;blt;2015lt;c，

為使d最大，須使a，b，c盡量小，所以取

a=1，b=2，c=2016，

得d最大=4×2015-（1+2+2016）

=8060-2019

=6041.

2A.由題設的等式知道數列的特征方程是

x2=7x-10，

它的根是2，5，所以

an=p·2n+q·5n，

將a1=7，a2=29代入，可得

p=q=1，

于是an=2n+5n，a2015=22015+52015，

其中52015的末位數字是5，

由21=2，

22=4，

23=8，

24=16，

25=32，

…，

22015=24×503×23，

可知22015的末位數字是8，

注意到5+8=13，

所以a2015的個位數字是3.

2B.設球的半徑是R，長方體的長、寬、高分別是a，b，c，則

長方體的表面積

S=2（ab+bc+ac）

≤2（a2+b2+c2）

=2（2R）2=8R2.

由長方體外接球的體積是8π2T，知

43πR3=8π2T，

所以R2=62T，

由前面隊友傳來的答案，知T=3，所以

R3=62×3=63，R=6，

長方體表面積的最大值是

8R2=8×（6）2=48.

3A.由觀察及驗證，知

2是方程的一個實數根.

從（2x3-10x2+7x+10）÷（x-2）

=2x2-6x-5，

知（x-2）（2x2-6x-5）=0，

所以2x2-6x-5=0，

此方程的

Δx=（-6）2-4×2×（-5）

=76gt;0，

所以有兩個不等實根x1，x2，并且

x1+x2=--62=3，

故原方程的實根之和是2+3=5.

3B.設a，b是矩形的兩邊的長，則

a2+b2=（a+b）2-2ab

=（a+b）2-2（T2-1）

=（a+b）2+2-2T2.

當a+b最小時，a2+b2最小.

由前面隊友傳來的答案，知T=5，

于是S=ab=52-1=24=1×23×3.

當a=4，b=6時，a+b最小，這時

（a2+b2）最小=（4+6）2+2-2×52

=52

=213.

個人賽

1.滿足題意的體積最小的幾何體如圖3所示.

它的體積V=5.

2.原式=log2（25log73）2log37

=log2210=log2210log22

=1012=20.

3.y=4（cosx-12）2-7≥-7.

當cosx=12時，

ymin=-7.

4.由23+33=35lt;47，

24+43=80gt;47，

及2a+a3=47，

可知3lt;alt;4=3+1，

所以[a]=3.

5.sin2α-cos2α

=2tanα1+tan2α-1-tan2α1+tan2α

=tan2α+2tanα-11+tan2α

=2+22-13

=22+13.

6.由題設等式，得

T=10n-13，

n=1時，T=3，

n=2時，T=33，

…

因為T是九位的自然數，

所以n=9，T=333333333，

T的數字和=3×9=27.

7.因為3=2×32=2sin60°，

所以3sin20°=2sin60°sin20°

=-（-2sin60°sin20°）

=-（cos80°-cos40°）

=cos40°-cos80°，

將這個結果帶入到題設等式，得

sinx°=-cos80°=-sin10°

=sin（180°+10°）=sin190°，

或sinx°=-sin10°

=sin（360°-10°）=sin350°，

所以x=190或350.

8.由A是△ABC的內角知，sinAgt;0，

于是sinA=1-cos2A=223.

設△ABC外接圓的半徑是R，則

2R=BCsinA=6223=6×322=323.

又因為直徑是最長的弦，所以此三角形外接圓的弦長的最大值是322.

9.由題設，得

-1≤a1+d≤2，①

3≤a1+4d≤5，②

a10=a1+9d.③

設a1+9d

=x（a1+d）+y（a1+4d）

=（x+y）a1+（x+4y）d，

對比③，可知{x+y=1，x+4y=9，

得x=-53，y=83，

于是a10=-53（a1+d）+83（a1+4d）

=-53a2+83a5，

結合①，②，則得

-53×2+83×3

≤a10≤-53×（-1）+83×5，

143≤a10≤15.

10.設長方體的三條棱長分別為a，b，c（a，b，c∈N*），則

abc=220=1×22×5×11，

由題設知a，b，c和體對角線的長a2+b2+c2都是自然數，

所以a2+b2+c2是完全平方數，

故只能取a=2，b=10，c=11，

此時，體對角線

l=a2+b2+c2

=4+100+121

=15.

11.題設方程x3-x2-1=0，即

x3=x2+1，①

顯然，x≠0，①可變為

x2=x+1x，

顯然x>0，在同一坐標系中，作函數y=x2和y=x+1x的圖象，如圖4，它們僅有1個交點，故方程僅有1個實根.

12.如圖5，考慮立方體的中心O，和頂點A，B，C，D，則

∠AOD=∠DOB

=∠BOC=∠COA，

設正方形的棱長是a，則由正方體的性質及余弦定理可得

cosα=-13.

13.如圖6所示，設AC=x.

因為小正方形的邊長為1，易知

B點是小正方形的中點，

AB=12.

又因為△ABC∽△EFD，

所以ABEF=ACED，

即123=x2，

解得x=13，

于是S△ABC=12×12×13=112，

S陰影=1-112=1112.

14.ab+bc+cd+da

=（a+c）b+（c+a）d

=（a+c）（b+d）

=[（a+c）+（b+d）]2-[（a+c）-（b+d）]24

≤14（a+b+c+d）2

=14×62=9.

15.在坐標系中作出y=5-x2的圖象，這是以原點為圓心，5為半徑的圓在x軸上方的部分，如圖7.

當x=4時，y=2，

當x=-2時，y=1，

設A（-2，1），B（1，2），當直線l穿過點A，B時，恰好滿足5-x2gt;ax+53的解集是

（-2，1），

即直線y=ax+53與直線y-2=13（x-1）是同一直線.

對比系數，得a=13.

16.f（x）=4·2x+2·2-x2x+2-x

=2x-2-x+3·2x+3·2-x2x+2-x

=2x-2-x2x+2-x+3.

令g（x）=2x-2-x2x+2-x，則

g（-x）=2-x-2x2-x+2x=-g（x），

所以g（x）是奇函數.

因為f（t）=g（t）+3=4，

所以g（t）=1，

故f（-t）=g（-t）+3

=-g（t）+3

=-1+3=2.

17.由條件知y=f（x）是周期T=4的周期函數.

因為y=f（x）是偶函數，

所以當x∈[0，2]時，

-x∈[-2，0]，

故f（x）=f（-x）=-x+2（如圖8所示），

由圖象知，當x=2時，

y=0，

當x=4時，

y=2，

當x=6時，

y=0.

經檢驗，當x∈[2，6]時，

f（x）=2-|x-4|.

事實上，當x∈[-2，2]時，

f（x）=2-|x|，

當圖象向右平移4個單位（即一個周期）后，

f（x）=2-|x-4|（x∈[2，6]）.

18.設lnx=t，則x=et，

所以f（t）=e2t-1，

即f（x）=e2x-1.

由于反函數與原函數的變量位置互換，故有

3=e2x-1，e2x=4，ex=2，

所以x=ln2，

即f-1（3）=ln2.

19.如圖9，因為

PC是球O的直徑，

所以點P，C在球面上，

又點B在球面上，

所以過P，B，C的截圓是球O的一個大圓.

即∠PBC=90°，

又因為∠BPC=45°，

所以△PBC是等腰直角三角形.

同理可知△PAC也是等腰直角三角形，

且△PBC≌△PAC.

連接BO，AO，有BO⊥PC，AO⊥PC，

且AO∩BO=O.

所以PC⊥平面ABO.

故可知三棱錐P-ABC的體積V=13S△ABO·PC.

可知AO=BO=12PC=1，

又AB=2，

所以△ABO也是等腰直角三角形，

于是S△AOB=12AO·BO=12，PC=2，

故VP-ABC=13×12×2=13.

20.由已知，可得

52+72+…+（2n+3）2

lt;anlt;62+82+…+（2n+4）2，

5+7+…+（2n+3）

lt;anlt;6+8+…+（2n+4），

（2n+8）·n2lt;anlt;（2n+10）·n2，

所以（n+4）·nlt;anlt;（n+5）·n，

n+4lt;annlt;n+5.

故bn=[ann]=n+4.

由Sn=1+2+…+n+4n

=（1+n）·n2+4n

=n2+9n2≤5455，

即n2+9n≤10910，

得n≤100，

故1+2+…+100=5050為所求.