深度學習

【摘 要】近年來，無論是社會研究實踐、信息技術應用，還是課堂教育和教學，越來越多的人追求深度學習.深度學習也成為高頻出現的一個詞語.本文以普通高中課程標準實驗教科書數選修2-1中的第二章第2節“橢圓的標準方程”為例，探究如何設計和優化一節深度學習的課堂.

【關鍵詞】深度學習;數學核心素養;橢圓;標準方程

深度學習是指在我們教師的引領下，學生圍繞一些具有挑戰性的學習主題或任務，積極參與、體驗成功、獲取發展的學習過程. 深度學習，首先應該深在對學情的準確把握和教學內容的深刻理解上，這就要求我們能有一個較好的深度和廣度的教學設計.下面筆者以《橢圓的標準方程》教學設計為例探索這個問題.

1" 創設情境，引入課題

問題引入 北京時間2021年10月16日0時23分，翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員在酒泉衛星發射中心乘坐神舟十三號載人飛船飛向太空，開啟了為期6個月的在軌駐留.“神州十三號”的發射讓我們再次體會到了航天事業的博大精深和航天人的奮斗情懷.

教師利用多媒體技術，PPT展示衛星運行軌道的圖片，同時播放生活當中有關橢圓形狀的一些圖片：學校的操場、公園里的花壇，一些著名的建筑物……

設計意圖" 教師應不斷學習，了解數學知識之間、數學與生活的聯系，創設出符合學生認知規律的教學情境.一方面可以讓學生體會到數學與生活的聯系，另一方面也可以實現數學的育人價值，培養學生深厚的愛國情懷.

2" 復習舊知，提出新問

（1）復習已學知識：初中里我們學習了圓，上一節課我們學習了曲線與方程.那么曲線和方程這兩者的關系是什么？如何求曲線的方程？

（2）引出本節課問題：生活中橢圓的存在非常普遍，接下來請大家觀察實驗——橢圓的形成過程，并思考橢圓的定義是什么？

設計意圖 通過對曲線與方程、圓的方程復習回顧，喚醒學生已有知識體系，讓學生對學習產生熱情和求知欲望，同時把教材內容和學生已有經驗知識建立聯系，為深度學習奠基.

3" 合作討論，得出概念

探究1 取一條長度固定的細繩，把繩子的兩端用圖釘固定在圖板的同一處，再把繩子套上鉛筆，順著繩子作圖，觀察畫出的軌跡是什么圖形？（圓）

探究2 請同學們把繩子的兩端分開一小段距離，用2枚圖釘把繩子兩端固定在不同處，再套上鉛筆拉緊繩子作圖，觀察軌跡是什么圖形？（橢圓）

探究3 當繩子長度等于或小于兩枚圖釘之間的距離時，還能畫出橢圓嗎？

探究4 若要得到的軌跡是橢圓，筆尖到兩枚圖釘的距離之和有什么要求？如果把兩枚圖釘看作定點 、 ，把筆尖看作動點 ，那么動點 到兩定點 、 距離之和有什么規律？

學生分組探究得出結果. 教師板書橢圓的定義.

設計意圖 教師通過引導學生觀察、操作、討論、概括、形成概念等活動環節，培養學生提出問題、分析問題和解決問題的能力，同時加深對橢圓概念的理解.

4" 層層遞進，步步推導

教師 同學們，對于一般的曲線，我們常分哪幾個步驟來推導它們的方程？

學生 建（建立坐標系）、設（假設動點坐標）、限（找出限制條件）、代（將坐標代入）、化（方程化簡）.

教師 建系有什么原則，怎樣建系才能使求出的方程簡潔？

學生 要考慮對稱性，要讓盡可能多的點落在坐標軸上.

教師 觀察橢圓的形狀，你認為怎樣選擇坐標系才能使橢圓的方程簡單？

學生繼續分小組討論，比較各種建系的優缺點.

教師 不同的建系得出了不同形式的橢圓方程，接下來我們選擇較為簡潔的一種來推導.

（1）建立坐標系：如圖1，我們以 所在的直線為 軸，以線段 的中垂線為 軸，建立坐標系.

（2）假設動點坐標：假設橢圓上任意一點 ，兩焦點的坐標分別為 .又假設 與兩個焦點的距離之和為 .

（3）找出限制條件：" （幾何條件）

（4）坐標代入： （幾何條件代數化）

（5）方程化簡：為了化簡這個方程，我們將方程左邊的一個根式移到右邊，兩邊平方，同時為了使方程的形式更加簡潔優美，我們令 ，進行推導.

教師 方程 叫做焦點在 軸上的橢圓的標準方程.

探究5 如圖2，如果橢圓的焦點在 軸，那么橢圓的方程是否相同？

教師 方程 叫做焦點在 軸上的橢圓的標準方程.

設計意圖 橢圓方程的推導過程是本節課的重點和難點，教學過程中，教師應該學會等待，給學生留足思考運算的時間，這樣也能避免教學中經常出現的“學生的思維跟著老師走”的現象.

5" 例題研討，變式精析

例1 已知方程 表示焦點在 軸上的橢圓，求 的取值范圍.

解析 焦點在 軸上的橢圓，說明 項的分母大，故 .

例2 已知橢圓的兩個焦點坐標分別是 ，并且經過點 求橢圓的標準方程.

解法1 待定系數法.假設焦點在 軸上的橢圓標準方程.

.

解法2 由橢圓定義 ， ，

又 ， ， .

變式 已知 ，求橢圓的標準方程.

解析 由題意 ，" "或 .

設計意圖" 教學過程中，教師可以引導學生說出自己的想法，并對不同解法進行比較，也可以引導學生如何“優化方法”，從而達到深度學習.

6" 沙場練兵，練習鞏固

書本P42：練習1、2、3

設計意圖 課堂上，學生是否深度學習？用一句話來概括就是學生是否存在深刻的思維活動？課堂練習就是檢測學生是否深度學習最直接的方法.

7" 課堂收獲，分享喜悅

請各小組派一名代表，回顧一下本節課所學的知識與內容，過程和方法，談談自己的收獲.

8" 課后思考，欲求新知

思考 （1）請同學們課后到圖書館或通過上網查找更多關于衛星和天體運行的資料.

（2）在本節課的探究活動中，若筆尖到兩枚圖釘的距離之差為定值，則得到的軌跡是什么圖形？

設計意圖 深度學習要求教師能創設具有挑戰性的問題，對課堂進行延伸.通過布置課后思考，也為學有余力的學生留有進一步探索和發展的空間，更好地挖掘他們內在的潛能，調動學生學習數學的積極性.

總之，深度學習是遵循學生認知規律、適應學生認知水平的學習，是全面挖掘教材的教育價值、促進學生思維素質全面提升的學習，更是學生真切而深入地參與探究、教學氛圍追求活而實的學習.

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書：數學（選修2-1）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]橢圓及其標準方程.全國高中數學說課一等獎課件說課稿.2019.

[3]陳柏良.構建深度學習的數學課堂.陳柏良名師工作室，2020.