與切線相關最值問題的求解思路

【摘 要】 切線問題是高中數學導數部分的重要知識點.其中與切線相關的最值問題在高考中多有考查，難度或難或易.為使學生掌握與切線相關最值問題的求解思路，應做好教學經驗的總結以及典型例題的匯總，在課堂上與學生一起剖析相關的解題思路，使學生掌握解題的有效突破口.

【關鍵詞】 高中數學;最值問題;求解思路

高中數學習題情境靈活多變，解題時應能夠透過現象看本質，將已知條件轉化為對應的函數，從切線的角度尋找解題的蛛絲馬跡，尤其要求學生養成良好的聽課習慣，做好聽課的總結，及時開展針對性的訓練活動，將所學知識轉化為自身能力，實現高中數學解題能力的進一步提升.

例1 已知實數a，b，c，d，滿足 = =1，則（a-c）2+（b-d）2的最小值為（）

（A） e2+1 ." " " " " " "（B） 2ln2+1." " " " "（C）" ." " " " "（D）" .

解 因為 =1，則點A（a，b）在函數f（x）=lnx上; =1，點B（c，d）在直線y=2x+1上，所以（a-c）2+（b-d）2=|AB|2

則過點A的切線和直線y=2x+1平行時|AB|2的值最小.則 （x）= =2，解得x= ，所以A（ ，-ln2），則點A到直線y=2x+1的距離d= = ，所以 ，選擇D項.

解題點評 乍一看該題無從下手.但只要認真分析給出的等式關系，通過巧妙轉化構造兩個新的函數，借助函數切線將問題轉化為求解兩條平行直線之間的距離問題，問題便迎刃而解.

例2 已知y=kx+b是函數f（x）=lnx+x的切線，則2k+b的最小值為（）

（A） 2." " " " " "（B） .ln2." " " " " " " " " （C） 2+ln2." " " " " " " "（D）1+ln2.

解 因為y=kx+b是函數f（x）=lnx+x的切線，設切點為（m，lnm+m）（m>0），因為 （x）=1+ ，則 （m）=1+

所以過切點的直線方程為y-（lnm+m）=（1+ ）（x-m），整理得到：y=（1+ ）x+lnm-1，所以k=1+ ，b=lnm-1，則2k+b=2+ +lnm-1=lnm+ +1.

令g（m）=lnm+ +1，則 （m）= - = ，令 （m）=0得m=2，則當02時， （m）>0，g（m）單調遞增;則g（m）min=g（2）=2+ln2，所以2k+b的最小值為2+ln2，選擇C項.

解題點評 該習題難度不大，根據題干描述設出直線與函數的切點，運用導數知識寫出過切點的直線方程，通過對比兩條直線方程構造相關參數之間的內在聯系.結合要求解的問題，構造新的函數運用導數知識研究新函數的最值即可.

例3 若曲線f（x）= 在點P（x1，f（x1））處的切線在y軸上的截距為b，則當x （1，+∞）時，b的最小值為（）

（A）e." " " " " （B） ." " " " " " " （C） ." " " " " " " "（D） .

解" 因為f（x）= ，所以 （x）= = ，所以k= ，則過點P的切線方程為：y- = （x-x1），令x=0，則b= ·（-x1）+ = .

令g（x1）= ，則 （x1）= = ，令 （x1）=0，解得x1=e2，所以當1e2時， （x1）>0，g（x1）單調遞增，所以當x1=e2時，b取得最小值 ，選擇D項.

解題點評 該題難度不大，運用導數知識求出過曲線上已知點切線的斜率，求出對應的切線，而后令x=0時y的值就是b的值.因整理后y的表達式不屬于基本函數，因此需要運用導數研究其單調性，找到其取得最小值時x1的值，代入到b的表達式中即可.

例4 若存在實數a，b使不等式2elnx≤ax+b≤ x2+e對一切正數x都成立（e為自然對數的底數），則a的最大值為（）

（A） ." " " " " （B）2e." " " " " " "（C）2 ." " " " " " （D） 2.

解 題干中不等式成立的臨界條件為y=ax+b剛好為f（x）=2elnx，g（x）= x2+e的公切線.設在f（x）=2elnx上的切點為（x1，y1）（x1>0），則 （x）= ，所以 =a;在g（x）= x2+e上的切點為（x2，y2）（x2>0）， （x）=x，所以x2=a，所以 =x2，x1x2=2e.

因為 =a=x2，所以2lnx1+ -3=0，令h（x1）=2lnx1+ -3（x1>0），則 （x1）= - = ，則當 （x1）=0時，x1= .當0 時， （x1）>0，h（x1）單調遞增;因為h（ ）=1+2-3=0，當x1→+∞時，h（x1）>0，所以方程的另一個零點一定大于 ，因此，方程的最小零點為 ，所以amax=2e/ =2 ，選擇C項.

解題點評 該題難度較大，一般是選擇題或填空題的壓軸題.解答該題不僅需要對給出的不等式進行合理的抽象尋找到不等式成立的臨界條件，將其中一條直線看成是其他兩個函數的切線，而且需要進行大量的運算，求解出相關參數之間的等量關系，最終通過構造新的方程，運用導數研究方程零點與a的值之間的關系.

綜上所述，能夠運用切線求解最值問題的情境較多[1].為提高學習者運用切線解題的意識，使其能夠針對不同的習題，采取不同的解題思路，進一步增強其解題能力，現對相關的適用情境進行總結：

情境1" 題干中給出的等式中相關參數數目成對出現時，常將其轉化為函數問題.將參數看成函數圖象上的點，借助導數分析函數圖象特點，而后從平面幾何視角進行分析[2].如例1就是這種情況.

情境2" 導數與切線有著密切聯系.部分習題會直接給出切線，要求學習者求解相關問題[3].解答該類問題應在充分理解題意的基礎上，將問題轉化求函數最值問題.針對基本函數可直接運用性質求解，針對特殊函數運用導數進行分析，如例2.

情境3" 題干中給出的是特殊函數，求特殊函數切線相關參數的最值.解答該類問題需要通過求導表示出切線，而后在轉化為函數問題求解，如例題3.

情境4" 題干中涉及單個或多個不等式時通過對不等式合理的拆分構建不同的函數，而后通過分析找到函數之間的特殊關系，通過構造新的函數求出最終結果，如例4.

總之，針對不同的問題情境采用切線問題進行求解時，應具備靈活思維，將問題進行等價轉化，化陌生為熟悉，才能盡快地加以突破.

參考文獻：

[1]武強.關于函數切線問題的解題思考[J].數理化解題研究，2021，No.509（16）：56-57.

[2]周煒波.高中數學中導數解題教學策略[J].數學學習與研究，2021（22）：18-19.

[3]夏利祥.摭談導數在高中數學解題教學中的應用[J].中學數學，2021，No.629（07）：78-79.