高中數學“兩個過程”合理性的教學設計

2019人教A版高中數學教材將“雙曲線及其標準方程”設置在選擇性必修第一冊第三章“圓錐曲線的方程”第二節的第1課時。教材在第一節系統介紹了橢圓的標準方程和幾何性質，用代數的方式進行推演，著重讓學生體驗用坐標法解決幾何問題，建立起平面內點與有序數組之間的一一對應關系，增強將幾何問題歸結為代數問題的意識，也在部分例題中涉及了利用信息技術驗證相關結果。第二節伊始，按教材描述，教師直接利用信息技術讓學生去探索雙曲線，利用動態幾何軟件，向學生展示動點的運動變化規律，建立幾何直觀，然后用代數方法予以表達。這說明教學不只是要讓學生學習雙曲線標準方程，還要使用學習素材讓學生體驗解析幾何是數形結合的產物，提升學生數學建模、數學抽象、邏輯推理以及數學運算的素養，引導學生基于“幾何眼光觀察”來進行代數表達、運算與推理，進而突破解析幾何學習中運算、代數化與推理等難點。

一、問題引入

根據教材的邏輯，先用技術驗證橢圓的軌跡，然后用同樣的方法來探究雙曲線的軌跡。類比遷移是本節課的研究途徑。由橢圓到雙曲線，數學課堂教學如何既使數學知識發生、發展的過程合理，也使學生在學習過程中認知的過程、思維的過程（簡稱“兩個過程”）合理[1]是本節課設計的關鍵。為此，筆者合理使用信息技術，讓學生感知雙曲線就是橢圓的同構內容，將數學知識發生和發展的過程充分暴露在學生面前，吸引學生積極參與知識的再創造和發展的過程[2]。以下是學生剛剛探究過的橢圓問題：已知動點P （x，y）到兩個定點F1 （-5，0），F2 （5，0）的距離和等于26，求動點P的軌跡方程。

學生利用橢圓的定義，易得軌跡方程為

=1。接下來，教師帶領學生利用信息技術將抽象的方程變成可視的方程（如圖1）：取線段AB的長度為26;在線段AB上取一點M;分別以F1為圓心、AM為半徑和F2為圓心、BM為半徑作圓;取兩圓的交點為P和P';追蹤交點，形成軌跡。

【設計意圖】教師從一個具體問題出發，讓學生回顧橢圓的定義、標準方程的求法，利用信息技術使方程可視化。同時，著眼于學生的最近發展區，從學生已有的知識結構入手，為他們進一步學習雙曲線提供認知和學習心理的準備。這是學生數學知識發生和發展的起點。

教師改變引例中的條件，引出新問題：已知動點P （x，y）到兩個定點F1 （-5，0），F2 （5，0）的距離差的絕對值等于6，求動點P的軌跡方程。

學生梳理這個問題后，發現此時2a lt; 2c，軌跡滿足的幾何條件變成丨丨PF1丨-丨PF2丨丨=2a，這顯然和已知的橢圓的定義不相符合。為此，教師先帶領學生用軟件作圖（如圖2）：取線段AB的長度為6，在線段AB的延長線上取一點M，分別以F1為圓心、AM為半徑和F2 為圓心、BM為半徑作圓;取兩圓的交點為P和P'，追蹤交點，形成右半支軌跡;在線段AB的反向延長線上取一點M'，重復以上操作，獲得左半支軌跡，形成最終軌跡。

【設計意圖】教師用一個具體的問題引發認知沖突，然后利用信息技術和學生一起進行數學實驗，驗證其可行性。教師借助信息技術將抽象內容可視化、靜態內容動態化，有效幫助學生學。這是學生數學思維發生和發展的起點。

二、探究新知

為引導學生研究剛才借助信息技術得到的感性結果，教師給出下面的問題鏈。

問題1：你能描述剛才得到的是什么曲線嗎？（雙曲線）

問題2：能否用建立橢圓的標準方程的方法建立這類曲線的方程？（出示圖3，作示范）

此時，學生很容易類比應用橢圓標準方程建立的策略，設F1 （-c，0），F2 （c，0），P （x，y），化簡 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " [記為方程①]。接下來的過程，學生可以對比橢圓，利用圖形計算器中的計算機代數系統（Computer Algebra System，簡稱CAS，計算機代數系統的標志為能夠以字符串作為運算單位）推導公式（如圖4）。

接下來，繼續仿照橢圓，令c2-a2=b2，得到方程為 " " " " " " =1（a>0，b>0）[記為方程②]。從上述過程可以看到，雙曲線上任意一點的坐標（x，y）都是方程②的解;以方程②的解為坐標的點（x，y）與雙曲線的兩個焦點F1 （-c，0），F2 （c，0）的距離之差的絕對值都為2a，即以方程②的解為坐標的點都在雙曲線上。人們稱方程②是雙曲線方程，這個方程為雙曲線的標準方程。它表示焦點在x軸上，焦點分別是F1 （-c，0），F2 （c，0）的雙曲線，這里c2=b2+a2。同理可得，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為 " " " " " " =1。

【設計意圖】教師讓學生基于先前的經驗，由特殊到一般，提升學生對數學內容認識的同時，也提升學生的數學運算和邏輯推理以及數學抽象的能力;將繁雜但沒有數學思維含金量的事情讓信息技術幫忙做[3]，對比橢圓標準方程的推導過程，將雙曲線的標準方程的推導用信息技術實現，也增強了學生的算法意識;結合化簡過程，對雙曲線與方程之間的關系進行了論證，讓學生繼橢圓后再次體驗這種討論的必要性。這使學生的數學思維再次得以發生和發展。

三、鞏固落實

為鞏固探究成果，教師出示以下兩個例題。

例1：已知動點P （x，y）到兩個定點F1 （-5，0），F2 （5，0）的距離差的絕對值等于6，求動點P的軌跡方程。

【設計意圖】回答開始進行數學實驗的那個具體問題。學生經歷這個過程有利于鞏固新知（雙曲線標準方程）。

例2：已知動點A、B兩地相距800 m，人在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，已知聲速為340 m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程。

要解決這個問題，學生要先將實際問題抽象成數學模型，結合剛剛學習的雙曲線的定義得到軌跡方程，再根據具體情境去掉不符合的部分。

【設計意圖】學生在例1的基礎上進一步熟悉雙曲線的定義，把握實際問題解決的過程。學生通過解決這個問題，提高了數學抽象和數學建模能力，體驗了從特殊到一般的數學抽象過程，體驗了知識的發展和再創造的過程。

四、探究發現

在鞏固探究成果后，教師再布置一個新的探究任務。

探究：點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，兩直線斜率之積是 " "，試求點M的軌跡方程，并由點M的軌跡方程判斷軌跡的形狀。

學生設點，列式，去雜，得到

（y≠0），然后用信息技術動態演示這個結果（如圖5），與之前在橢圓中的同構問題（斜率之積是- " "，如圖6）進行對比。

【設計意圖】這組結論可以看成是平面幾何中“直徑所對的圓周角是直角”的推廣。教師將已有的幾何元素、幾何關系代數化，引導學生通過代數運算發現幾何結論，深化理解新知，體驗解析幾何中數與形的內在統一，以此提高學生邏輯推理和數學抽象能力。

五、課后作業

教師應該用好教材的訓練系統，設計與學生的認知水平匹配的作業。筆者用以下4道練習題，讓學生課后作答。

1.求適合下列條件的雙曲線的標準方程：

（1）焦點在x軸上，a=4，b=3;

（2）焦點在x軸上，經過點（- "2，- "3），（ " " ， "2 ）;

（3）焦點為（0，-6），（0，6），且經過點（2，-5）。

2.求證：雙曲線x2-15y2=15與橢圓

=1的焦點相同。

3.已知方程 " " " " " " " " " "= 1表示雙曲線，求m的取值范圍。

4.雙曲線 " " " " " "=1（agt;0）的兩個焦點分別是F1與F2 ，焦距為8;M是雙曲線上的一點，且丨MF1丨=5，求丨MF2丨的值。

【設計意圖】這是教材第121頁的練習，教師用這一素材讓學生再次理解雙曲線的定義，掌握雙曲線的標準方程，以達到鞏固本節課學習成果的目的。

六、教學總結

本節課，教師充分利用信息技術，通過幾何直觀的建立，指引學生用代數方法研究幾何問題，同時基于橢圓的研究思路和策略，引導學生展開結構化的系統學習，建立清晰、穩定和可以利用的“曲線方程”的認知結構。教師優化整個課程的設計，在信息技術的支撐下，以數學的方式循序漸進的實踐，讓學生感受解析幾何是數形結合的內容，領悟雙曲線與橢圓同宗同源的本質。通過整個課程的系統學習，學生從已有的認知基礎去建構新的認知結構，學會遷移并進行新的詮釋，使數學思維的發生和發展過程充分暴露，提高了他們參與知識的發展和再創造的積極性。教師應科學應用信息技術，為學生數學思維的養成而教，讓學生學會用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界，最終學會系統地思考問題，從而提高數學抽象、邏輯推理以及數學運算的素養。正文

參考文獻

[1] 章建躍.核心素養導向的高中數學教材變革（續1）——《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫[J].中學數學教學參考，2019（7）：10.

[2] 王凱，蘇有生.基于“兩個過程”合理性思考下的課堂教學設計——以“空間向量的正交分解及其坐標表示”為例[J].中學數學教學參考，2018（6）：38-40.

[3] 中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書教師教學用書數學選擇性必修第一冊（A版）[M].北京：人民教育出版社，2020.

（作者系浙江省杭州市源清中學教師）

責任編輯：祝元志

gt;gt;拓展材料

雙曲線的現實應用

光學應用：從雙曲線一個焦點發出的光經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上。因此，可以利用雙曲線的這一性質來制作雙曲面鏡，用于照明。生物學領域常用的光學顯微鏡的反光鏡鏡面就是雙曲面，這樣的鏡面可以使光斑分布更加均勻，使目鏡的觀測更加清楚。除此之外，聲波、電磁波也可以利用此原理來傳播。

軍事應用：雙曲線在通信定位上也有廣泛應用。雙曲線上的點到兩個點的距離為定值，因此人們根據兩條雙曲線的交點可以準確定位。例如，第二次世界大戰期間，有的國家設計監聽站根據槍響的時間差確定敵人所在位置。同時，雙曲線也被應用于雷達和導航中，Loran（Long Range Navigation）系統就是利用雙曲線的定義來測定船的位置。

（王凱整理）