關于平均非擴張映射的兩個不動點性質

摘要：首先將文獻[1]中的定理5.10的結果推廣到一種更一般的映射形式，即映射T滿足：supy∈E‖Tx-Ty‖≤supy∈E（a‖x-y‖+b‖x-Tx‖+c‖x-Ty‖），x∈K，a，b，c≥0，a+b+c≤1，證明了定義在自反的Banach空間中的具有正規結構的有界閉凸集K到其自身的該種映射存在不動點。然后在b-凸度量空間中，利用Mann迭代生成的序列，證明了平均非擴張映射在一定條件下存在唯一的不動點。

關鍵詞：平均非擴張映射;不動點;b-度量空間;Mann迭代

DOI：10.15938/j.jhust.2022.03.021

中圖分類號： O177. 3文獻標志碼： A文章編號： 1007-2683（2022）03-0157-06

On Two Fixed Point Properties of Mean Non-expansive Mappings

ZUO Ming-xia，ZHOU Xia

（School of Sciences，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）

Abstract：Firstly， the result of theorem 5.10 in reference [1] is extended to a more general form of mapping， namely： supy∈E‖Tx-Ty‖≤supy∈E（a‖x-y‖+b‖x-Tx‖+c‖x-Ty‖），x∈K，a，b，c≥0，a+b+c≤1， and it is proved that there are fixed points for this kind of mapping which is from bounded closed convex subset K with normal structure of a reflexive Banach space into itself. Moreover， in convex b-metric space， it is proved that there is a unique fixed point for the mean non-expansive mapping under certain conditions by utilizing the sequence which is generated by Mann iteration.

Keywords：mean non-expansive mapping; fixed point; b-metric space; Mann iteration

0引言

不動點問題是數學學科研究中的一個重要的問題。1922年，著名的波蘭數學家Banach證明了壓縮映像原理[2]。20世紀70年代，Banach壓縮映射的自然推廣非擴張映射被提出，這種映射在近代數學分支中有很多應用。1965年，W. A. Kirk證明了定義在自反的Banach空間中具有正規結構的非空有界閉凸集到自身的非擴張映射存在不動點[3]。1975年張石生將W. A. Kirk的結果推廣到平均非擴張映射中，證明了定義在自反的Banach空間中的具有正規結構的非空有界閉凸集到自身的平均非擴張映射存在不動點[4]。文[1]中的定理5.10將W.A.Kirk的結果推廣到另一種形式的映射，得到了類似的結果。近幾年，崔云安、陳麗麗、張少勇、朱鵬等對平均非擴張映射的不動點性質進行了深入的研究，得到一些很好的結果[5-11]。本文在此基礎上繼續對文[1]中的結果進行推廣，將其中的映射推廣到更一般的形式，證明了該映射在一定條件下存在不動點。

隨著不動點理論的發展，1970年，Takahashi提出了凸結構的概念，并且定義了凸度量空間，證明了非擴張映射在凸度量空間中存在不動點[12]。1993年，Czerwik[13]通過減弱度量空間的第3個條件提出了b-度量空間的概念，并且推廣了Banach壓縮映像原理，證出了壓縮映射在該空間中存在不動點。2020年，陳麗麗等[14]利用凸結構引入Mann迭代算法，證明了在一定條件下壓縮映射和Kannan型映射在完備的b-凸度量空間中存在不動點[14]。本文在完備的b-凸度量空間中討論平均非擴張映射的不動點的存在唯一性問題。

1預備知識

定義1[15]設X是一個Banach空間，T：X→X是一個映射，若存在x*∈X，使得

x*=Tx*

則稱x*為映射T的不動點。

定義2[3]設X是一個Banach空間，C是X中一個非空有界閉凸集，稱映射T：C→C為非擴張映射，如果對任意的x，y∈C，有

‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖。

定義3[16]設K是Banach空間X中非空有界閉凸集，稱映射T：K→K為平均非擴張映射，是指如果存在a，b，c≥0，a+b+c≤1，對任意的x，y∈K，有

‖Tx-Ty‖≤a‖x-y‖+b‖x-Tx‖+c‖x-Ty‖。

定義4[17設X是一個Banach空間，C是X的非空有界閉凸集，稱C具有正規結構，是指如果對C的任意包含不只一點的閉凸集K，必存在一點xk∈K，使得

supy∈K‖xk-y‖lt;δ（K）=supx∈Ky∈K‖x-y‖。

定義5[12]設（X，d）為度量空間，W：X×X×[0，1]→X是一個連續映射，如果對任意的x，y，u∈X，α∈[0，1]，有

d（u，W（x，y;α））≤αd（u，x）+（1-α）d（u，y）

則稱W為X上的一個凸結構，稱（X，d，W）為一個凸度量空間。

定義6[13]設X是一個非空集合，d：X×X→[0，+∞）是一個映射，滿足對任意x，y，u∈X，有

1）d（x，y）=0當且僅當x=y

2）d（x，y）=d（y，x）

3）d（x，y）≤s[d（x，u）+d（u，y）]

其中s為一個常數且s≥1，則稱d為X上的一個b-度量，稱（X，d）為一個系數為s≥1的b-度量空間。顯然，當s=1時，d就是通常意義的度量。

定義7[14]設（X，d）為系數為s≥1的b-度量空間，W：X×X×[0，1]→X是一個連續映射，若對于任意的x，y，u∈X，α∈[0，1]，有

d（u，W（x，y，α））≤αd（u，x）+（1-α）d（u，y）

則稱（X，d，W）為一個系數為s≥1的一個b-凸度量空間。

定義8[18]設（X，d）是系數為s≥1的b-度量空間，{xn}是X中的序列，如果存在一點x*∈X，使得對任意的εgt;0，存在正整數n0，當n≥n0時，有

d（xn，x*）lt;ε

則稱序列{xn}收斂于x*，記作

limn→∞xn=x*或xn→x*（n→∞）

如果對任意的εgt;0，存在正整數n0，當n，m≥n0時，有

d（xn，xm）lt;ε

則稱序列{xn}為X中的Cauchy列。如果X中的所有的Cauchy列都收斂，則稱（X，d）為系數為s≥1的完備的b-度量空間。

引理1[19]X是自反的Banach空間的充分必要條件是X的非空有界閉凸集的每一個遞減序列有非空的交。

引理2[20]設X是一個半序集，若X的每一個全序子集都有上界，則X必有一個極大元。

2主要結果及證明

定理1設X是一個自反的Banach空間，K是X的非空的有界閉凸集，且K具有正規結構。設T：K→K是一個映射，滿足K中每一個對T不變的非空閉凸非單點集E，有

supy∈E‖Tx-Ty‖≤supy∈E（a‖x-y‖+b‖x-Tx‖+c‖x-Ty‖）x∈K，其中a，b，c≥0，a+b+c≤1，則T在K中存在不動點。

證明：取Γ為K中一切對T不變的非空有界閉凸集族，則顯然Γ非空。在Γ中按集合包含關系引入半序，則由引理1及引理2知Γ有極小元，即存在一個極小的對T不變的非空有界閉凸子集S。

若S為單點集，該點就是T的不動點。

若S為非單點集，由于K具有正規結構，則存在一點xs∈S滿足

α=supy∈S‖xs-y‖lt;δ（S）

于是對任意的y∈S，有

supy∈S‖Txs-Ty‖≤

supy∈S（a‖xs-y‖+b‖xs-Txs‖+c‖xs-Ty‖）≤

（a+b+c）supy∈S‖xs-y‖≤

supy∈S‖xs-y‖=α

由y∈S的任意性，故TS包含在以Txs為中心，α為半徑的閉球B（Txs，α）中。

令G=S∩B（Txs，α），故G為對T不變的非空有界閉凸集。由于S為極小元，故G=S，即有

S=S∩B（Txs，α）SB（Txs，α）

故有supy∈S‖Txs-y‖≤α。令

S′={z∈S：supy∈s‖z-y‖≤α}

則由TxsS′知S′是非空的有界閉凸集。

下證S′對T不變，即TS′S′。設z∈S′，則z∈S，故Tz∈S。由于S為極小元，易證S=co（TS）（TS的閉凸包）。于是對任意的y∈S，有

supy∈S‖Tz-Ty‖≤

supy∈S（a‖z-y‖+b‖z-Tz‖+c‖z-Ty‖）≤

（a+b+c）supy∈S‖z-y‖≤

（a+b+c）α≤α

由y的任意性，從而TS包含在以Tz為中心，α為半徑的閉球B（Tz，α）中。由于S=co（TS），所以

S=co（TS）B（Tz，α）

從而supy∈S‖Tz-y‖≤α，因此Tz∈S′，故TS′S′。

因為S′是對T不變的非空有界閉凸集，所以S′在Γ中。但由S′的定義知

δ（S′）=supx∈S′y∈S′‖x-y‖≤supx∈S′y∈S‖x-y‖≤αlt;δ（S）

故S′是S的真子集，這與S為極小元矛盾。因此S為單點集，該點就是T在K中的不動點。

下面給出了一個是滿足上述廣義平均非擴張映射的例子，表明廣義平均非擴張映射不一定是平均非擴張映射。

例1設E=（0，m]，（mgt;3），映射T：E→E的定義如下：

Tx=0，x∈（0，1）

1，x=[1，m]

若滿足2m-1≤a≤1，則T為廣義平均非擴張映射，而不是平均非擴張映射。

證明：當x=12，y=1時，

|Tx-Ty|=1

（a|x-y|+b|x-Tx|+c|x-Ty|）=

12a+12b+12c≤12lt;1

因此T不是平均非擴張映射。為了證明T是上述廣義平均非擴張映射，考慮以下情形：

1）當x∈（0，1）時，則有

supy∈E|Tx-Ty|=1

supy∈E（a|x-y|+b|x-Tx|+c|x-Ty|）≥

supy∈Ea|x-y|gt;a（m-1）≥1

即

supy∈E|Tx-Ty|lt;supy∈E（a|x-y|+b|x-Tx|+c|x-Ty|）。

2）當x∈[1，m]時，則有

supy∈E|Tx-Ty|=1

supy∈E（a|x-y|+b|x-Tx|+c|x-Ty|）≥

supy∈Ea|x-y|≥am-12≥1

即

supy∈E|Tx-Ty|≤supy∈E（a|x-y|+b|x-Tx|+c|x-Ty|）。

綜上所述，當2m-1≤alt;1時，滿足

supy∈E|Tx-Ty|≤supy∈E（a|x-y|+b|x-Tx|+c|x-Ty|）

因此T是廣義平均非擴張映射。

接下來討論在b-凸度量空間中，平均非擴張映射關于Mann迭代的不動點問題。

定理2設（X，d，W）為系數為sgt;1的完備的b-凸度量空間，T：X→X是一個映射，滿足下列不等式

d（Tx，Ty）≤ad（x，y）+bd（x，Tx）+cd（x，Ty）

x，y∈X，其中a，b，c≥0，a+b+clt;1。任取x0∈X，d（x0，Tx0）=Mlt;∞，定義

xn+1=W（xn，Txn;αn）

其中αn∈（0，1），n∈N。如果0lt;αn≤17s4（n∈N），并且0≤a，b，≤14s3，0≤c≤12s4，則T在X中存在唯一的不動點。

證明：若存在n0∈N，使xn0=xn0+1，則有

d（xn0，Txn0）=d（W（xn0，Txn0;αn0），Txn0）≤αn0d（xn0，Txn0）

因為αn0∈[0，17s4]，所以d（xn0，Txn0）=0，故Txn0=xn0，即xn0是T的不動點。

不失一般性，假設對任意的n∈N，xn≠xn+1，則有

d（xn，xn+1）=d（xn，W（xn，Txn;αn））≤

（1-αn）d（xn，Txn）

且

d（xn，Txn）=

d（W（xn-1，Txn-1;αn-1），Txn）≤

αn-1d（xn-1，Txn）+（1-αn-1）d（Txn-1，Txn）≤

αn-1d（xn-1，Txn）+d（Txn-1，Txn）≤

αn-1s[d（xn-1，xn）+d（xn，Txn）]+

d（Txn，Txn-1）≤

αn-1s[d（xn-1，xn）+d（xn，Txn）]+

ad（xn，xn-1）+bd（xn，Txn）+cd（xn，Txn-1）=

αn-1sd（xn-1，W（xn-1，Txn-1;αn-1））+

αn-1sd（xn，Txn）+ad（W（xn-1，Txn-1;αn-1），xn-1）+

bd（xn，Txn）+cd（W（xn-1，Txn-1;αn-1），Txn-1）≤

αn-1s（1-αn-1）d（xn-1，Txn-1）+

αn-1sd（xn，Txn）+a（1-αn-1）d（xn-1，Txn-1）+

bd（xn，Txn）+cαn-1d（xn-1，Txn-1）≤

αn-1sd（xn-1，Txn-1）+αn-1sd（xn，Txn）+

ad（xn-1，Txn-1）+bd（xn，Txn）+

cαn-1d（xn-1，Txn-1）≤

[αn-1s+a+cαn-1]d（xn-1，Txn-1）+

（αn-1s+b）d（xn，Txn）

于是

d（xn，Txn）≤αn-1s+a+cαn-11-（αn-1s+b）d（xn-1，Txn-1）

因為

αn-1s+a+cαn-11-（αn-1s+b）lt;1317s3lt;1s3lt;1

所以{d（xn，Txn）}是一個單調遞減數列，故一定存在數d≥0，使得

limn→∞d（xn，Txn）=d

假設dgt;0，則利用

d（xn，Txn）lt;1s3d（xn-1，Txn-1）

當n→∞時，有

d≤1s3·dlt;d

得出矛盾，因此假設不成立，故d=0，即limn→∞d（xn，Txn）=0。又由

d（xn，xn+1）≤（1-αn）d（xn，Txn）

可得limn→∞d（xn，xn+1）=0。

下證{xn}為柯西列，假設{xn}不是柯西列，則存在ε0gt;0和子列{xnk}{xn}，{xmk}{xn}，使得對任意的正整數k，存在最小的正整數nkgt;mkgt;k，有

d（xnk，xmk）≥ε0

和

d（xnk-1，xmk）lt;ε0

因此有

ε0≤d（xnk，xmk）≤s[d（xnk，xmk+1）+d（xmk+1，xmk）]（1）

再由limn→∞d（xn，xn+1）=0，可知

limk→∞d（xmk+1，xmk）=0

從而對式（1）取上極限，可得

ε0s≤limk→∞d（xnk，xmk+1）

由于

d（xnk，xmk+1）=

d（W（xnk-1，Txnk-1;αnk-1），xmk+1）≤

αnk-1d（xnk-1，xmk+1）+

（1-αnk-1）d（Txnk-1，xmk+1）≤

αnk-1d（xnk-1，xmk+1）+

（1-αnk-1）s[d（Txnk-1，Txmk+1）+

d（Txmk+1，xmk+1）]≤

αnk-1d（xnk-1，xmk+1）+

（1-αnk-1）s[ad（xnk-1，xmk+1）+

bd（xnk-1，Txnk-1）+cd（xnk-1，Txmk+1）]+

（1-αnk-1）sd（Txmk+1，xmk+1）≤

αnk-1d（xnk-1，xmk+1）+

（1-αnk-1）sad（xnk-1，xmk+1）+

（1-αnk-1）sbd（xnk-1，Txnk-1）+

（1-αnk-1）sd（Txmk+1，xmk+1）+

（1-αnk-1）cs2d（xnk-1，xmk+1）+

（1-αnk-1）cs2d（xmk+1，Txmk+1）≤

[αnk-1+（1-αnk-1）sa+

（1-αnk-1）cs2]d（xnk-1，xmk+1）+

（1-αnk-1）sbd（xnk-1，Txnk-1）+

[（1-αnk-1）s+（1-αnk-1）cs2]d（Txmk+1，xmk+1）≤

[αnk-1+（1-αnk-1）sa+

（1-αnk-1）cs2]sd（xnk-1，xmk）+

[αnk-1+（1-αnk-1）sa+

（1-αnk-1）cs2]sd（xmk，xmk+1）+

（1-αnk-1）sbd（xnk-1，Txnk-1）+

[（1-αnk-1）s+（1-αnk-1）cs2]d（Txmk+1，xmk+1）

故

ε0s≤limk→∞d（xnk，xmk+1）≤2528sε0lt;ε0s

矛盾。故{xn}是X中的一個柯西列。

由空間X的完備性，存在x*∈X，使得limn→∞d（xn，x*）=0。

下面證明x*是T的一個不動點。注意到

d（x*，Tx*）≤s[d（x*，xn）+d（xn，Tx*）]≤

sd（x*，xn）+s2[d（xn，Txn）+d（Txn，Tx*）]≤

sd（x*，xn）+s2d（xn，Txn）+s2ad（xn，x*）+

s2bd（xn，Txn）+s2cd（xn，Tx*）≤

（s+s2a）d（xn，x*）+

（s2+s2b）d（xn，Txn）+s2cd（xn，Tx*）≤

（s+s2a）d（xn，x*）+（s2+s2b）d（xn，Txn）+

s3cd（xn，x*）+s3cd（x*，Tx*）

故

d（x*，Tx*）≤

s+s2a+s3c1-s3cd（xn，x*）+s2+s2b1-s3cd（xn，Txn）

從而令n→∞，可得d（x*，Tx*）=0。于是Tx*=x*，即x*是T在X中的一個不動點。

最后證明不動點的唯一性。假設T在X中不動點不唯一，則存在y*∈X，使得y*≠x*，滿足Ty*=y*。于是

d（x*，y*）=d（Tx*，Ty*）≤

ad（x*，y*）+bd（x*，Tx*）+cd（x*，Ty*）

即

d（x*，y*）≤（a+c）d（x*，y*）

故有

[1-（a+c）]d（x*，y*）≤0

因為0lt;（a+c）lt;1，所以d（x*，y*）≤0。又d（x*，y*）≥0，所以d（x*，y*）=0。于是x*=y*，這與x*≠y*矛盾。所以T在X中存在唯一的不動點。

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（編輯：溫澤宇）