一類具有變指數橢圓型方程熵解的存在性

摘要：為了研究一類具有變指數的擬線性橢圓型方程的熵解問題，在算子條件弱化后的情況下，先建立了橢圓型方程的逼近問題，然后運用Sobolev嵌入定理、Vitali定理等工具，得到了橢圓型方程熵解的存在性結果。

關鍵詞：橢圓型方程;變指數;熵解;存在性

DOI：10.15938/j.jhust.2022.03.020

中圖分類號： O175.2文獻標志碼： A文章編號： 1007-2683（2022）03-0147-10

The Existence of Entropy Solutions for an Elliptic

Problems Involving Variable Exponent

L Yue-ming，LIU Yang

（School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080，China）

Abstract：In order to study the entropy solution of a class of quasilinear elliptic equations with variable exponents， first， the approximation problem of elliptic equations is established under weak operator conditions， and then the Sobolev embedding theorem， Vitali theorem and other tools are applied. The results of the existence of entropy solutions of elliptic equations are given.

Keywords：elliptic equation; variable exponent; entropy solutions; existence

0引言

A-調和方程是非線性橢圓型方程的重要分支，隨著它在物理學、生物學、及化學等各領域的發展，對A-調和方程的弱解、很弱解及其性質研究已有很大進展。近些年來，熵解的研究也在進展中。1995年，Benilan P等[1]最先提出具有非標準增長條件的橢圓問題熵解的概念，這是對具有常指數問題的推廣，許多數學學者對這一課題進行了廣泛的研究[2-8]。特別的，Alvino A等[9]研究了一類非線性橢圓型方程在經典Sobolev空間中解的存在結果。付永強和梁妍妍[10]證明了具有p（x）增長的橢圓型方程在變指數Sobolev空間中熵解的存在性。Benboubker M[11]給出了一類在變指數Sobolev空間框架下的含測度的非線性橢圓型方程的熵解的存在性結果。

在上述研究的基礎上，本文主要在變指數函數空間中，當算子A的條件更弱時，研究一類非齊次A-調和方程熵解的存在性問題。

1預備知識

設Ω 瘙 綆 N（N≥2）為非空有界區域，本文將討論如下橢圓型方程邊值問題：

-divA（x，u，▽u）+H（x，u，▽u）=f，x∈Ω

u=0，x∈Ω（1）

其中f∈L1（Ω），算子A，H滿足如下的假設條件。

（A1）：假設A：Ω× 瘙 綆 × 瘙 綆 N→ 瘙 綆 是Carathéodory函數并且滿足以下條件：

A（x，s，ξ）·ξ≥α|ξ|p（x）（1+|s|）θ（x）（2）

|A（x，s，ξ）|≤β（F（x）+|s|p（x）-1+|ξ|p（x）-1）（3）

（A（x，s，ξ1）-A（x，s，ξ2））·（ξ1-ξ2）gt;0，ξ1≠ξ2（4）

對幾乎處處x∈Ω和（s，ξ）∈ 瘙 綆 × 瘙 綆 N成立，其中F∈Lp′（x）（Ω）是一個非負函數，θ∈C（Ω）非負且α，βgt;0。

（A2）：假設H：Ω× 瘙 綆 × 瘙 綆 N→ 瘙 綆 是Carathéodory函數并且滿足以下條件：

|H（x，s，ξ）|≤g（|s|）|ξ|p（x）（1+|s|）θ（x）+f1（x）（5）

其中g∈L1（ 瘙 綆 ）∩L∞（ 瘙 綆 ），f1∈L1（Ω）。

注1在式（2）中，當|s|足夠大和θgt;0時，有A（x，s，ξ）·ξ≥α|ξ|p（x）≥α|ξ|p（x）（1+|s|）θ（x），在文[10]中研究了算子A滿足式（2）中θ=0時，橢圓型方程邊值問題（1）熵解的存在性，故本文中算子A的條件相對于文[10]更弱。文[12]研究了當0lt;θlt;1時，橢圓型方程解的存在性、唯一性和正則性等。當θgt;1時，橢圓型方程解存在或不存在。下面給出滿足這樣算子條件橢圓型方程的例子：

例1設Ω 瘙 綆 N（N≥2）為非空有界區域，討論橢圓方程邊值問題：

-div|▽u|p（x）-2▽u（1+|u|）θ（x）=f，x∈Ω

u=0，x∈Ω

其中θ∈C（Ω），θ≥0，f是L1（Ω）中的可測函數。當α=β=1時，算子A（x，u，▽u）=|▽u|p（x）-2▽u（1+|u|）θ（x）滿足假設條件（A1）。

接下來，我們給出本文所涉及的主要定義。

定義1若可測函數u滿足Tk（u）∈W1，p（x）0（Ω）且

∫ΩA（x，u，▽u）▽Tk（u-φ）dx+∫ΩH（x，u，▽u）Tk（u-φ）dx≤∫ΩfTk（u-φ）dx（6）

其中φ∈W1，p（x）0（Ω）∩L∞（Ω），稱u為問題（1）的熵解。

取P（Ω）為Lebesgue可測函數p：Ω→[1，∞]的集合。任取p∈P（Ω），記p+=max{p（x）|x∈Ω}，p-=min{p（x）|x∈Ω}滿足1lt;p-lt;p+lt;N。另外p（x）滿足log-Hlder連續性條件，對x，y∈Ω，|x-y|lt;12，Cgt;0，有

|p（x）-p（y）|≤C|log|x-y||

定義C+（Ω）={h∈C（Ω）：minx∈Ωh（x）gt;1}。對h∈C+（Ω），記h+=supx∈Ωh（x），h-=infx∈Ωh（x）。

定義2[13]設p（x）∈C+（Ω），u：Ω→ 瘙 綆 N是可測的，則變指數Lebesgue空間Lp（x）（Ω）定義為

Lp（x）（Ω）={u|∫Ω|u（x）|p（x）dxlt;∞}

其上的范數為：

‖u‖p（x）=infλgt;0：∫Ωu（x）λp（x）dx≤1

定義3[14]設p（x）∈C+（Ω），則

ρ（u）=∫Ω|u（x）|p（x）dx

為u在空間Lp（x）（Ω）中的模，且有

min{‖u‖p-p（x），‖u‖p+p（x）}≤ρ（u）≤max{‖u‖p-p（x），‖u‖p+p（x）}

定義4[13]設p（x）∈C+（Ω），對任意的正整數k，記

W1，p（x）（Ω）={u|u∈Lp（x）（Ω）且|▽u|∈Lp（x）（Ω）}范數定義為：

‖u‖1，p（x）=‖u‖p（x）+‖▽u‖p（x）

W1，p（x）（Ω）是一個Banach空間，W1，p（x）0（Ω）表示C∞0（Ω）在W1，p（x）（Ω）中的閉包。

定義5定義Tk為高度為k的截斷函數：

Tk（s）=max（-k，min（k，s））=s，|s|lt;k

k，s≥k

-k，s≤-k

其中kgt;0。

本文所用引理如下。

引理1[9]設u是可測函數，對kgt;0，Tk（u）∈W1，p（x）0（Ω），則存在唯一的可測函數v：Ω→ 瘙 綆 N，使得

vχ{|u|lt;k}=▽Tk（u）

其中χE表示可測集E的特征函數。

引理2[14]若Ω是 瘙 綆 N中具有一致內錐性質的有界區域，p1，p2∈C+（Ω）且對x∈Ω，p1（x）≤p2（x），則存在連續嵌入Lp2（x）（Ω）→Lp1（x）（Ω）。

引理3[14-15]若Ω是 瘙 綆 N中具有一致內錐性質的有界區域，設p（x）∈C+（Ω），1lt;p-≤p+≤N，如果r∈L∞（Ω）滿足r（x）≤p*（x）=Np（x）N-p（x），r-gt;1，則存在嵌入W1，p（x）（Ω）→Lr（x）（Ω）。如果infx∈Ω（p（x）-r（x））gt;0，則嵌入是緊的。

引理4[14][16]空間Lp（x）（Ω）是可分的Banach空間，它的共軛空間為Lp′（x）（Ω），則對任意的u∈Lp（x）（Ω），v∈Lp'（x）（Ω），我們有

|∫Ωuvdx|≤1p-+1（p′）-‖u‖p（x）‖v‖p'（x）

其中1p（x）+1p′（x）=1。

引理5[17]設Ω為 瘙 綆 N中的可測開子集。取Lp（x）（Ω）中的有界序列{un}，若un（x）→u（x）a.e.于Ω，則unu于Lp（x）（Ω）中。

引理6[17]若Ω為有界區域，任取u∈W1，p（x）0（Ω），則

‖u‖p（x）≤C‖▽u‖p（x）

其中正常數C只依賴于區域Ω。

引理7[18-19]（Riesz定理） 設在E上{fn}依測度收斂于f，則存在子列{fni}在E上幾乎處處收斂于f。

引理8[18]（Fatou引理） 設E 瘙 綆 N為可測集，{fn}∞n=1為E上的一列非負可測函數，則

∫Elimn→∞fn（x）dx≤limn→∞∫Efn（x）dx

2主要結果及證明

為了證明問題（1）熵解的存在性，我們建立逼近問題：

-divA（x，un，▽un）+Hn（x，un，▽un）=fn，x∈Ω

un=0，x∈Ω（7）

這里{fn}是L∞（Ω）中的函數列且在L1（Ω）中強收斂于f，|fn|≤|f|，Hn（x，s，ξ）=Tn（H（x，s，ξ））。由文[9]和文[20]相關弱解的討論，可得逼近問題（7）弱解存在性。下面給出簡要說明：

在文[9]中，證明了橢圓型方程：

-div（A（x，u，▽u）=f

在常指數空間中弱解存在，其中算子A滿足本文中的假設條件（A1）。文[20]證明了橢圓型方程：

-divA（x，u，▽u）+H（x，u，▽u）=f

在變指數空間中弱解存在，其中算子A滿足當θ=0時的假設條件（A1）。在證明本文橢圓型方程（1）弱解存在時，只是檢驗函數選取與文[20]有所不同。第一步考慮逼近方程序列：

un∈W1，p（x）0（Ω），-divA（x，un，▽un）+H（x，un，▽un）=fn，

在P′（Ω）中（8）

這里fn是光滑函數列，在L1（Ω）中強收斂于f，則上述方程至少存在一個解。

首先定義G（b）=1α∫b0g（|τ|）dτ，其中g∈L∞（Ω），0≤G（∞）=1α∫+∞0g（|t|）dt。在式（8）中用檢驗函數Tk（un）eG（|un|）∈W1，p（x）0（Ω）∩L∞（Ω），再結合式（2）和式（5），可得α∫Ω|▽Tk（un）|p（x）dx≤（1+k）θ+k（‖fn‖1+‖f1‖1）。并且C是一個常量使‖fn‖1+‖f1‖1≤C，因此有∫Ω|▽un|p（x）dx≤C′，再根據文[9]和文[20]可知問題（1）弱解存在。故逼近問題（7）至少存在一個弱解un∈W1，p（x）0（Ω），且對任意的v∈W1，p（x）0（Ω）∩L∞（Ω），有

∫ΩA（x，un，▽un）·▽vdx+∫ΩHn（x，un，▽un）vdx=∫Ωfnvdx（9）

定理1若{un}∈W1，p（x）0是問題（7）的逼近解序列，則存在{un}的子序列仍記為{un}及可測函數u，使

un→ua.e.于Ω。（10）

證明：首先取Tk（un）eG（|un|）為式（9）的一個檢驗函數，則有

∫ΩA（x，un，▽un）▽（Tk（un）eG（|un|））dx+

∫ΩHn（x，un，▽un）Tk（un）eG（|un|）dx=

∫ΩfnTk（un）eG（|un|）dx（11）

結合式（2）可得

∫ΩA（x，un，▽un）▽（Tk（un）eG（|un|））dx=

∫ΩA（x，un，▽un）▽Tk（un）eG（|un|）dx+

1α∫ΩA（x，un，▽un）▽ung（|un|）|Tk（un）|eG（|un|）dx≥

α∫Ω|▽Tk（un）|p（x）（1+|Tk（un）|）θ（x）eG（|un|）dx+

∫Ω|▽un|p（x）（1+|un|）θ（x）g（|un|）|Tk（un）|eG（|un|）dx（12）

結合式（5）可得

∫ΩHn（x，un，▽un）Tk（un）eG（|un|）dx≤

∫Ω|▽un|p（x）（1+|un|）θ（x）g（|un|）|Tk（un）|eG（|un|）dx+

∫Ωf1（x）|Tk（un）|eG（|un|）dx（13）

綜上所述，結合式（11）～（13），且eG（|un|）≥1可得

α∫Ω|▽Tk（un）|p（x）（1+k）θ（x）dx≤

α∫Ω|▽Tk（un）|p（x）（1+|Tk（un）|）θ（x）dx≤

k（‖fn‖1+‖f1‖1）（14）

因此，當kgt;1時，有

∫Ω|▽Tk（un）|p（x）k（k+k）θ（x）dx≤1α（‖fn‖1+‖f1‖1）（15）

故有

∫Ω|▽Tk（un）|p（x）kθ++1dx≤∫Ω|▽Tk（un）|p（x）kθ（x）+1dx≤C（‖fn‖1+‖f1‖1）（16）

根據引理2，引理6和式（16），可得

‖Tk（un）‖p-≤‖Tk（un）‖p（x）≤

C‖▽Tk（un）‖p（x）≤

C（∫Ω▽Tk（un）p（x）dx）γ≤

C（（‖fn‖1+‖f1‖1）kθ++1）γ（17）

其中

γ=1p-，‖▽Tk（un）‖p（x）≥1

1p+，0≤‖▽Tk（un）‖p（x）lt;1

由已知可得{|un|≥k}={|Tk（un）|≥k}，故有

meas{|un|≥k}≤∫{|un|≥k}|Tk（un）|kdx≤

∫ΩTk（un）kp-dx≤‖Tk（un）‖p-kp-≤

C（‖fn‖1+‖f1‖1）p-·γkp-（1-（θ++1）·γ）≤

C（‖fn‖1+‖f1‖1）kp--θ+-1（18）

對εgt;0，n，m∈N，有以下集合關系

{|un-um|gt;ε}{|un|≥k}∪{|um|≥k}

∪{|Tk（un）-Tk（um）|gt;ε}

結合式（18），對σgt;0，可得

meas{|un-um|gt;ε}≤meas{|un|≥k}+meas{|um|≥k}+

meas{|Tk（un）-Tk（um）|gt;ε}≤

σ2+meas{|Tk（un）-Tk（um）|gt;ε}

根據式（16）可知，{Tk（un）}在W1，p（x）0（Ω）中有界，又W1，p（x）0（Ω）為自反空間，則{Tk（un）}在W1，p（x）0（Ω）中存在弱收斂子列仍記為{Tk（un）}，故有

Tk（un）ξ于W1，p（x）0（Ω）

根據引理3，可得

Tk（un）→ξ于Lp（x）（Ω）

從而對任意的kgt;0，{Tk（un）}依測度收斂，則有

limn→∞meas{|un-um|gt;ε}=0

由引理7可知，存在{un}的子序列仍記為{un}和一個可測函數u，使un→u a.e.于Ω上。

定理2假設（2）-（4）成立，un∈W1，p（x）0（Ω），Tk（un）Tk（u）于W1，p（x）0（Ω）中并且

∫Ω（A（x，Tk（un），▽Tk（un））-A（x，Tk（un），

▽Tk（u）））·（▽Tk（un）-▽Tk（u））dx→0

則

Tk（un）→Tk（u）于W1，p（x）0（Ω）。

證明：設

Sn=（A（x，Tk（un），▽Tk（un））-

A（x，Tk（un），T（u）））·

（▽Tk（un）-▽Tk（u））=

A（x，Tk（un），▽Tk（un））▽Tk（un）-

A（x，Tk（un），▽Tk（u））▽Tk（un）-

A（x，Tk（un），▽Tk（un））▽Tk（u）+

A（x，Tk（un），▽Tk（u））▽Tk（u）=

J1-J2-J3+J4

由已知得Sn→0于L1（Ω）中，故存在一個零測集Ω0Ω，使得Sn→0于Ω＼Ω0。由式（2），可得

J1≥α|▽Tk（un）|p（x）（1+|Tk（un）|）θ（x） ，

J4≥α|▽Tk（u）|p（x）（1+|Tk（un）|）θ（x）

根據式（3）及Young不等式，有

|J2|≤β|F（x）+|Tk（un）|p（x）-1+

|▽Tk（u）|p（x）-1|·|▽Tk（un）|≤

β（C（ε1）F（x）p′（x）+C（ε1）|Tk（un）|p（x）+

C（ε1）|▽Tk（u）|p（x）+ε1|▽Tk（un）|p（x））

|J3|≤β|F（x）+|Tk（un）|p（x）-1+

|▽Tk（un）|p（x）-1|·|▽Tk（u）|≤

β（C（ε2）F（x）p′（x）+C（ε2）|Tk（un）|p（x）+

C（ε2）|▽Tk（u）|p（x）+ε2|▽Tk（un）|p（x））

綜上所述，由ε1，ε2任意小，可得

Sn≥α|▽Tk（un）|p（x）（1+k）θ（x）-C（F（x）p′（x）+

|Tk（un）|p（x）+|▽Tk（u）|p（x））

其中1p（x）+1p′（x）=1。由此可知{▽Tk（un）}在Ω＼Ω0中有界，則{▽Tk（un）}在Ω＼Ω0中存在收斂子列仍記為{▽Tk（un）}，有▽Tk（un）→η（x）于Ω＼Ω0。根據定理1可知，Tk（un）→Tk（u）a.e.于Ω中，故有

（A（x，Tk（u），η（x））-A（x，Tk（u），▽Tk（u）））（η（x）-▽Tk（u））→0

結合式（4）可知，η（x）=▽Tk（u），則

▽Tk（un）→▽Tk（u）a.e.于Ω

從而有

A（x，Tk（un），▽Tk（un））→A（x，Tk（u），▽Tk（u））a.e.于Ω

由Tk（un）Tk（u）于W1，p（x）0（Ω），可得Tk（un）→Tk（u）于Lp（x）（Ω）中，故{|Tk（un）|p（x）}的積分具有等度絕對連續性。

結合式（3），可知{|A（x，Tk（un），▽Tk（un））-A（x，Tk（u），▽Tk（u））|p′（x）}的積分具有等度絕對連續性。根據Vitali定理，我們有

∫Ω|A（x，Tk（un），▽Tk（un））-A（x，Tk（u），

▽Tk（u））|p′（x）dx→0（19）

根據Hlder不等式，有

∫Ω[A（x，Tk（un），▽Tk（un））-A（x，Tk（u），▽Tk（u））]▽Tk（un）dx≤

（∫Ω|A（x，Tk（un），▽Tk（un））-

A（x，Tk（u），▽Tk（u））|p′（x）dx）1p′（x）·（∫Ω|▽Tk（un）|p（x）dx）1p（x）（20）

結合式（19），我們有

∫Ω|A（x，Tk（un），▽Tk（un））▽Tk（un）-

A（x，Tk（u），▽Tk（u））▽Tk（u）|dx→

0（n→∞）

由積分的絕對連續性，結合式（2），對εgt;0，δgt;0，measElt;δ，有

α∫E|▽Tk（un）|p（x）（1+k）θ（x）dx≤α∫E|▽Tk（un）|p（x）（1+|Tk（un）|）θ（x）dx≤

∫EA（x，Tk（un），▽Tk（un））▽Tk（un）dxlt;ε

故{|▽Tk（un）-▽Tk（u）|p（x）}的積分具有等度絕對連續性。由▽Tk（un）→▽Tk（u）a.e.于Ω中，結合Vitali定理，可得

‖▽Tk（un）-▽Tk（u）‖p（x）→0

因此，Tk（un）→Tk（u）于W1，p（x）0（Ω）。

定理3若{un}∈W1，p（x）0是問題（7）的逼近解序列，則對kgt;0，Tk（un）→Tk（u）于W1，p（x）0（Ω）上。

證明：設hgt;kgt;0，gk=max{g（b）：|b|≤k}，定義k（b）=b·erb2，其中r=2gkα2 ，有

′k（b）-4gkα|k（b）|≥12b∈ 瘙 綆 （21）

設j=4k+h，zn=un-Th（un）+Tk（un）-Tk（u）和ωn=T2k（zn）。則當|un|≥j時，有

|un-Th（un）+Tk（un）-Tk（u）|gt;

|un|-|Tk（un）|-|Th（un）|-|Tk（u）|gt;

j-h-2kgt;2k

故知zngt;2k，▽ωn=0。選取k（ωn）eG（|un|）為式（9）的檢驗函數，有

∫ΩA（x，un，▽un）▽（k（ωn）eG（|un|））dx+

∫ΩHn（x，un，▽un）k（ωn）eG（|un|）dx=

∫Ωfnk（ωn）eG（|un|）dx（22）

結合式（2），可得

∫ΩA（x，un，▽un）▽（k（ωn）eG（|un|））dx=

∫ΩA（x，un，▽un）▽ωn′k（ωn）eG（|un|）dx+

1α∫ΩA（x，un，▽un）▽ung（|un|）|k（ωn）|eG（|un|）dx≥

∫ΩA（x，un，▽un）▽ωn′k（ωn）eG（|un|）dx+

∫Ω|▽un|p（x）（1+|un|）θ（x）g（|un|）|k（ωn）|eG（|un|）dx（23）

結合式（5），有

∫ΩHn（x，un，▽un）k（ωn）eG（|un|）dx≤

∫Ω|f1（x）||k（ωn）|eG（|un|）dx+

∫Ω|▽un|p（x）（1+|un|）θ（x）g（|un|）|k（ωn）|eG（|un|）dx（24）

綜上所述，結合式（22）～（24），可得

∫ΩA（x，un，▽un）▽ωn′k（ωn）eG（|un|）dx≤

∫Ω（|fn|+|f1|）|k（ωn）|eG（|un|）dx（25）

由Ω={|un|≤k}∪{klt;|un|≤j}∪{|un|gt;j}，則有

∫ΩA（x，un，▽un）▽ωn′k（ωn）eG（|un|）dx=

∫{|un|≤k}A（x，un，▽un）（▽Tk（un）-

▽Tk（u））′k（ωn）eG（|un|）dx+

∫{klt;|un|≤j}A（x，un，▽un）▽ωn′k（ωn）eG（|un|）dx≥

∫{|un|≤k}A（x，Tk（un），▽Tk（un））（▽Tk（un）-

▽Tk（u））′k（ωn）eG（|un|）dx+

∫{klt;|un|≤j}A（x，Tj（un），▽Tj（un））▽ωn′k（ωn）eG（|un|）dx-

4gkα∫{|un|lt;k}A（x，un，▽un）▽un|k（ωn）|eG（|un|）dx

I1+I2-I3（26）

首先對I1進行估計。

I1=∫{|un|≤k}A（x，Tk（un），▽Tk（un））（▽Tk（un）-

▽Tk（u））′k（ωn）eG（|un|）dx=

∫Ω（A（x，Tk（un），▽Tk（un））-A（x，Tk（un），

▽Tk（u）））（▽Tk（un）-▽Tk（u））′k（ωn）eG（|un|）dx+

∫ΩA（x，Tk（un），▽Tk（u））（▽Tk（un）-

▽Tk（u））′k（ωn）eG（|un|）dx+

∫{|un|gt;k}A（x，Tk（un），▽Tk（un））▽Tk（u）′k（ωn）eG（|un|）dx（27）

根據定理1，Tk（un）→Tk（u）a.e.于Ω。由式（16）可知，{Tk（un）}在W1，p（x）0（Ω）中有界且W1，p（x）0（Ω）為自反空間，有Tk（un）Tk（u）于W1，p（x）0（Ω）中，故▽Tk（un）▽Tk（u）于（Lp（x）（Ω））N中。再根據Lebesgue控制收斂定理，Tk（un）→Tk（u）于Lp（x）（Ω）

故

|A（x，Tk（un），▽Tk（u））|→|A（x，Tk（u），▽Tk（u））|于Lp′（x）（Ω）

接下來用Xi（n）代表不同的函數序列，limn→∞Xi（n）=0，則

X1（n）=∫ΩA（x，Tk（un），▽Tk（u））（▽Tk（un）-▽Tk（u））′k（ωn）eG（|un|）dx→0（28）

結合式（3），有

∫Ω|A（x，Tk（un），▽Tk（un）|p′（x）dx≤

∫Ω（|F（x）|+|Tk（un）|p（x）-1+

|▽Tk（un）|p（x）-1）p′（x）dx≤

C∫Ω|F（x）|p′（x）+|Tk（un）|p（x）+

|▽Tk（un）|p（x）dx

由于Tk（un）→Tk（u）于Lp（x）（Ω），結合式（16），可得（|A（x，Tk（un），▽Tk（un））|）n在Lp′（x）（Ω）中有界，故存在ξ∈Lp′（x）（Ω）使得

|A（x，Tk（un），▽Tk（un））|ξ于Lp′（x）（Ω）（29）

則

∫{|un|gt;k}|A（x，Tk（un），▽Tk（un）||▽Tk（u）|dx→

∫{|u|gt;k}ξ|▽Tk（u）|dx=0

故有

X2（n）=∫{|un|gt;k}A（x，Tk（un），▽Tk（un））▽Tk（u）′k（ωn）eG（|un|）dx→0（30）

結合式（27），式（28）和式（30），可得

∫Ω（A（x，Tk（un），▽Tk（un））-A（x，Tk（un），▽Tk（u）））×

（▽Tk（un）-▽Tk（u））′k（ωn）eG（|un|）dx=

∫{|un|≤k}A（x，Tk（un），▽Tk（un））（▽Tk（un）-

▽Tk（u））′k（ωn）eG（|un|）dx+X3（n）（31）

下面對I2進行估計。

I2=∫{klt;|un|≤j}A（x，Tj（un），▽Tj（un））▽ωn′k（ωn）eG（|un|）dx=

∫{klt;|un|≤j}∩{|zn|≤2k}A（x，Tj（un），▽Tj（un））▽（un-Th（un）+

Tk（un）-Tk（u））′k（ωn）eG（|un|）dx≥

-eG（∞）′k（2k）∫{k≤|un|≤j}|A（x，Tj（un），▽Tj（un）||▽Tk（u）|dx（32）

與式（29）同理，（|A（x，Tj（un），▽Tj（un））|）n在Lp′（x）（Ω）中有界，故存在，使

|A（x，Tj（un），▽Tj（un））|于Lp′（x）（Ω）

則

∫{klt;|un|≤j}|A（x，Tj（un），▽Tj（un）||▽Tk（u）|dx→

∫{klt;|u|≤j}|▽Tk（u）|dx=0

故有

X4（n）=∫{klt;|un|≤j}A（x，Tj（un），▽Tj（un））▽ωn′k（ωn）eG（|un|）dx→0（33）

接下來對I3進行估計。

I3=4gkα∫{|un|lt;k}A（x，un，▽un）▽un|k（ωn）|×

eG（|un|）dx=

4gkα∫Ω（A（x，Tk（un），▽Tk（un））-A（x，Tk（un），

▽Tk（u）））（▽Tk（un）-▽Tk（u））|k（ωn）|×

eG（|un|）dx+

4gkα∫ΩA（x，Tk（un），▽Tk（u））（▽Tk（un）-

▽Tk（u））|k（ωn）|eG（|un|）dx+

4gkα∫ΩA（x，Tk（un），▽Tk（un））▽Tk（u）|×

k（ωn）|eG（|un|）dx（34）

與式（28）同理，可得

X5（n）=4gkα∫ΩA（x，Tk（un），▽Tk（u））×

（▽Tk（un）-▽Tk（u））|k（ωn）|eG（|un|）dx→0（35）

其中▽Tk（u）|k（ωn）|→▽Tk（u）|k（T2k（u-Th（u）））|于（Lp（x）（Ω））N中，設0lt;hlt;k，結合式（29），可得

X6（n）=∫ΩA（x，Tk（un），▽Tk（un））▽Tk（u）×|k（ωn）|dx→

∫Ωξ·▽Tk（u）|k（T2k（u-Th（u））|dx=0（36）

綜上所述，結合式（34）～（36），可得

4gkα∫Ω（A（x，Tk（un），▽Tk（un））-A（x，Tk（un），▽Tk（u）））（▽Tk（un）-▽Tk（u））×|k（ωn）|eG（|un|）dx=

4gkα∫{|un|lt;k}A（x，un，▽un）▽un|k（ωn）|×eG（|un|）dx+X7（n）（37）

設eG（|un|）≥1，結合式（25），式（26），式（31），式（33），式（37）和′k（b）-4gkα|k（b）|≥12，可得

12∫Ω（A（x，Tk（un），▽Tk（un））-A（x，Tk（un），▽Tk（u）））（▽Tk（un）-▽Tk（u））dx≤

eG（∞）∫Ω（|fn|+|f1|）|k（ωn）|dx+X7（n）（38）

由于{fn}是L∞（Ω）中的函數序列且在L1（Ω）中強收斂于f，k（ωn）0于L∞（Ω），則

X8（n）=∫Ω（|fn|+|f1|）|k（ωn）|dx→0，（n→∞）（39）

結合式（38）和式（39），可得

∫Ω（A（x，Tk（un），▽Tk（un））-A（x，Tk（un），▽Tk（u）））（▽Tk（un）-▽Tk（u））dx→0（40）

根據定理2，可得Tk（un）→Tk（u）于W1，p（x）0（Ω）上。

定理4若{un}∈W1，p（x）0是問題（7）的逼近解序列，則{Hn（x，un，▽un）}在Ω中等度可積且在L1（Ω）中強收斂。

證明：首先，定義Q（m）=2α∫m0q（|τ|）dτ，其中q∈L∞（Ω），0≤Q（∞）=2α∫+∞0q（|t|）dt。然后，選取T1（un-Th（un））eQ（|un|）作為式（9）的檢驗函數，其中

▽T1（un-Th（un））=0，|un|≤h

▽un，hlt;|un|lt;h+1

0，|un|≥h+1

則有

∫ΩA（x，un，▽un）▽（T1（un-Th（un））eQ（|un|））dx+

∫ΩHn（x，un，▽un）T1（un-Th（un））eQ（|un|）dx=

∫ΩfnT1（un-Th（un））eQ（|un|）dx （41）

結合式（2），可得

∫ΩA（x，un，▽un）▽（T1（un-Th（un））eQ（|un|））dx=

∫ΩA（x，un，▽un）▽T1（un-Th（un））eQ（|un|）dx+

2α∫ΩA（x，un，▽un）▽unq（|un|）|T1（un-Th（un））|eQ（|un|）dx≥

α∫{hlt;|un|lt;h+1}|▽un|p（x）（1+|un|）θ（x）eQ（|un|）dx+

2∫{|un|gt;h}|▽un|p（x）（1+|un|）θ（x）q（|un|）|T1（un-Th（un））|eQ（|un|）dx（42）

結合式（5），可得

∫ΩHn（x，un，▽un）T1（un-Th（un））eQ（|un|）dx≤

∫{|un|gt;h}|▽un|p（x）（1+|un|）θ（x）q（|un|）|T1（un-Th（un））|eQ（|un|）dx+

∫Ωf1（x）|T1（un-Th（un））|eQ（|un|）dx（43）

結合式（41）～（43）及eQ（|un|）≥1，可得

α∫{hlt;|un|lt;h+1}|▽un|p（x）（1+|un|）θ（x）dx+

∫{|un|gt;h+1}|▽un|p（x）（1+|un|）θ（x）q（|un|）dx≤

eQ（∞）∫{|un|gt;h}（|fn|+|f1|）dx（44）

其中q∈L∞（ 瘙 綆 ），因此ζgt;0，h（ζ）gt;0，有

∫{|un|gt;h（ζ）}|▽un|p（x）（1+|un|）θ（x）q（|un|）dx≤ζ2（45）

以及

∫{|un|lt;h（ζ）}|▽un|p（x）（1+|un|）θ（x）q（|un|）dx≤

∫{|un|lt;h（ζ）}q（|Th（ζ）（un）|）|▽Th（ζ）（un）|p（x）dx≤ζ2 （46）

結合式（45）和式（46），設E為Ω上任意可測集，σ（ζ）gt;0，meas（E）≤σ（ζ），使得

∫E|▽un|p（x）（1+|un|）θ（x）q（|un|）dx≤

∫E∩{|un|gt;h（ζ）}|▽un|p（x）（1+|un|）θ（x）q（|un|）dx+

∫E∩{|un|lt;h（ζ）}|▽un|p（x）（1+|un|）θ（x）q（|un|）dx≤

ζ2+ζ2=ζ（47）

故有{Hn（x，un，▽un）}是等度可積的，由于{Hn（x，un，▽un）}滿足Carathéodory條件及un→ua.e.于Ω上，則

Hn（x，un，▽un）→H（x，u，▽u）a.e.于Ω

根據Vitali定理，有

Hn（x，un，▽un）→H（x，u，▽u）于L1（Ω）

成立。

定理5假設（A1）和（A2）成立，f∈L1（Ω），那么問題（1）至少存在一個熵解。

證明：選取Tk（un-v）作為式（9）的檢驗函數，其中v∈W1，p（x）0（Ω）∩L∞（Ω），有

∫ΩA（x，un，▽un）▽Tk（un-v）dx+

∫ΩHn（x，un，▽un）Tk（un-v）dx=

∫ΩfnTk（un-v）dx（48）

記L=k+‖v‖L∞（Ω）且當|un|gt;L時，有▽Tk（un-v）=0

由定理1可得，

Tk（un-v）→Tk（u-v）a.e.于Ω上（49）

則

H（x，u，▽u）Tk（un-v）→H（x，u，▽u）Tk（u-v）a.e.于Ω（50）

且

|H（x，u，▽u）Tk（un-v）-H（x，u，▽u）Tk（u-v）|≤2k|H（x，u，▽u）|（51）

由Lebesgue控制收斂定理可知

∫ΩH（x，u，▽u）（Tk（un-v）-Tk（u-v））dx→0，（n→∞） （52）

又由于H（x，un，▽un）→H（x，u，▽u）于L1（Ω）中，故有

∫Ω|（Hn（x，un，▽un）-H（x，u，▽u））Tk（un-v）dx≤

k‖Hn（x，un，▽un）-H（x，u，▽u）‖L1（Ω）lt;ε（53）

結合式（52）和式（53），可得

∫ΩHn（x，un，▽un）Tk（un-v）dx→

∫ΩH（x，u，▽u）Tk（u-v）dx（54）

同理

∫ΩfnTk（un-v）dx→∫ΩfTk（u-v）dx（55）

此外

∫ΩA（x，un，▽un）▽Tk（un-v）dx=

∫{|un-v|≤k}A（x，TL（un），▽TL（un））（▽TL（un）-▽v）dx=

∫{|un-v|≤k}（A（x，TL（un），▽TL（un））-A（x，TL（un），▽v））（▽TL（un）-▽v）dx+

∫{|un-v|≤k}A（x，TL（un），▽v）（▽TL（un）-▽v）dx（56）

其中A（x，TL（un），▽v）→A（x，TL（u），▽v）于Lp′（x）（Ω）。

根據引理8，可得

lim infn→∞∫ΩA（x，un，▽un）▽Tk（un-v）dx≥

∫Ωliminfn→∞A（x，un，▽un）▽Tk（un-v）dx=

∫{|un-v|≤k}liminfn→∞[（A（x，TL（un），▽TL（un））-

A（x，TL（un），▽v））（▽TL（un）-▽v）+

A（x，TL（un），▽v）（▽TL（un）-▽v）]dx=

∫{|un-v|≤k}（A（x，TL（u），▽TL（u））-

A（x，TL（u），▽v））（▽TL（u）-▽v）dx+

∫{|un-v|≤k}A（x，TL（u），▽v）（▽TL（u）-▽v）dx=

∫{|un-v|≤k}A（x，TL（u），▽TL（u））（▽TL（u）-▽v）dx=

∫ΩA（x，u，▽u）▽Tk（u-v）dx（57）

結合式（48），式（54），式（55）和式（57），對kgt;0，有

∫ΩA（x，u，▽u）▽Tk（u-v）dx+

∫ΩH（x，u，▽u）Tk（u-v）dx≤

∫ΩfTk（u-v）dx（58）

成立，其中v∈W1，p（x）0（Ω）∩L∞（Ω）。證畢。

參 考 文 獻：

[1]BENILAN P， BOCCARDO L， GALLOUET T， et al. An Theory of Existence and Uniqueness of Nonlinear EllipticEquations[J]. Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci，1995，22（1）：241.

[2]CAVALHEIRO A C. Existence ofEntropy Solutions for Degenerate Quasilinear Elliptic Equations[J]. Complex Variables and Elliptic Equations，2008， 53（10）：945.

[3]ELEMINE VALL M， AHMED A， TOUZANI A， et al. Existence of Entropy Solutions for Nonlinear Elliptic Equations in Musielak Framework with L1 Data [J]. Boletim da Sociedade Paranaense de Matematica， 2018，36（1）：125.

[4]AZROUL E， BARBARA A， BENBOUBKER M， et al. Existence of Entropy Solutions for Degenerate Elliptic Unilateral Problems with Variable Exponents [J]. Boletim da Sociedade Paranaense de Matematica， 2018，36（1）：79.

[5]AHMEDATT T， AZROUL E， HJIAJ H， et al. Existence of Entropy Solutions for Some Nonlinear Elliptic Problems Involving Variable Exponent and Measure Data[J]. Boletim da Sociedade Paranaense de Matematica， 2018， 36（2）： 33.

[6]OUEDRAOGO A. Existence and Uniqueness of Entropy Solution for an Elliptic Problem with Nonlinear Boundary Conditions and Measure-data[J]. American Journal of Applied Mathematics， 2019， 7（4）：114.

[7]代麗麗.一類具有退化強制的橢圓方程熵解的存在性[J].華東師范大學學報（自然科學版），2019，7（4）：52.

DAILili. Existence of Entropy Solutions for an Elliptic Equation with Degenerate Coercivity[J]. Journal of East China Normal University（Natural Science），2019，7（4）：52.

[8]BOURAHMA M， BENKIRANE A， BENNOUNA J. An Existence Result of Entropy Solutions to Elliptic Problems in Generalized Orlicz–Sobolev Spaces[J]. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo， 2020， 70（4）：1.

[9]ALVINO A， BOCCARDO L， FERONE V， et al. Existence Results for Nonlinear Elliptic Equations with Degenerate Coercivity[J]. Annali Di Matematica Pura Ed Applicata，2003，182（1）：53.

[10]付永強，梁妍妍. 具p（x）增長的橢圓型方程熵解的存在性[J].黑龍江大學自然科學學報，2011，28（5）：649.

FUYongqiang， LIANG Yanyan. Existence of Entropy Solutions to Elliptic Equations with p（x）Growth[J]. Journal of Natural Science of Heiliongjiang University，2011，28（5）：649.

[11]BENBOUBKER M B. Entropy and Renormalized Solutions for Nonlinear Elliptic Problem Involving Variable Exponent and MeasureData[J]. Acta Mathematica Sinica English Series，2015，31（1）：151.

[12]Boccardo L， Croce G. Elliptic Partial Differential Equations[M]. Berlin ：Springer New York， 2016.

[13]HST P. On the Density of Continuous Functions in Variable Exponent Sobolev Space[J]. Revista Matemática Iberoamericana，2007， 23（1）： 213.

[14]FAN Xianling， ZHAO DUN. On the Spaces Lp（x）（Ω）and Wm，p（x）（Ω）[J]. Journal of Mathematical Analysis amp; Applications，2001，263（2）： 424.

[15]EDMUNDS D， RKOSNIK J. Sobolev Embeddings with Variable Exponent[J]. Mathematische Nachrichten， 2002，246-247（3）：53.

[16]KOVCIK O， RKOSNIK J. On Spaces Lp（x） and Wk，p（x）[J]. Czechoslovak Mathematical Journal， 1991，41（4）：592.

[17]付永強，張夏，郭立豐等. 變指數函數空間及應用（第二版）[M]. 北京：科學出版社，2019：7.

[18]程其襄，張奠宙，魏國強等. 實變函數與泛函分析基礎[M]. 北京：高等教育出版社，2010：89.

[19]魏勇，張步林.Riese 定理之逆定理及其應用[J].內蒙古師范大學學報（自然科學漢文版）， 2011，40（5）：477.

WEI Yong， ZHANG Bulin. Inverse Theorem of Riesz's Theorem and It's Application[J]. Journal of Inner Mongolia Normal University （Natural Science Edition）， 2011，40（5）：477.

[20]孟晨輝，付永強. 非線性橢圓型偏微分方程弱解的存在性[J]. 應用泛函分析學報，2006，8（1）：21.

MENGChenhui， FU Yongqiang. The Existence of Weak Solutions for Nonlinear Elliptic Partial Differential Equations[J]. Acta Analysis Function Alis Applicata，2006，8（1）：21.

（編輯：溫澤宇）