螺栓連接的板類結構固有特性分析

摘要：以螺栓連接的板類結構為研究對象，基于ANSYS有限元分析軟件，建立了螺栓連接板類結構的有限元模型，采用基于接觸的預應力模態法分析系統的固有特性，并通過與文獻模態實驗結果以及沖擊激勵下系統自由振動響應對比，驗證了所獲得固有頻率的準確性;進而分析了不同預緊力下板厚、螺栓尺寸、連接板的搭接長度對系統固有特性的影響;最后探究了采用區域粘結法（在接觸區域內接觸面和目標面采用共節點處理）和預應力模態法求解系統固有特性之間的關系。研究結果表明：板厚及螺栓尺寸均對系統的彎曲和扭轉頻率影響較大，連接件搭接長度增加，系統的固有頻率增大;在大預緊力情況下，可通過靜接觸分析求得接觸半徑，采用區域粘結法對接觸半徑區域內對應的節點進行共節點處理，計算得到的系統固有頻率與預應力模態法得到的結果吻合較好。

關鍵詞：螺栓連接;板類結構;固有特性;有限元;預緊力

DOI：10.15938/j.jhust.2022.03.002

中圖分類號： TP391文獻標志碼： A文章編號： 1007-2683（2022）03-0013-09

Analysis of the Natural Characteristics of the

Plate Type Structure with Bolt Connection

DAI Ri-hui1，LIU Lin-hui2，MA Hui3，XU Zhi-qiang2，ZHAO Song-tao2

（1.No.3 Military Office of Navy Armaments Department in Harbin District， Harbin 150078，China;

2.No.703 Research Institute of China State Shipbuilding Company Limited， Harbin 150078， China;

3.School of Mechanical Engineering amp; Automation， Northeastern University， Shenyang 110819， China）

Abstract：In this paper， the finite element （FE） model of the plate-type structure with bolt connection is established based on ANSYS finite element analysis software. The prestressed modal method （PMM） is used to analyze the inherent characteristics of the system， and the accuracy of the obtained inherent frequencies is verified by comparing with the experimental results of the literature modal and the free vibration response of the system under impact excitation. Then， the effects of plate thickness， bolt size， and lap length of connection plate on the natural characteristics of the system under different preload forces were analyzed. Finally， the relationship between the system natural properties by the region bonding method （RBM） and the PMM is investigated. The results show that both plate thickness and bolt size have a large effect on the bending and torsion frequencies of the system， and the natural frequency of the system increases when the lap length of the connection increases. In the case of large preload force， the contact radius can be obtained by static contact analysis， and the corresponding nodes in the contact radius area are treated by the RBM with common nodes， and the calculated natural frequency of the system agrees well with the results obtained by the PMM.

Keywords：bolt connection; plate-type structure; natural characteristics; finite element; preload force

0引言

螺栓連接是一種常見的機械連接形式，其結構簡單可靠，成本較低，因此被廣泛用于不同的工程領域[1-2]。在工程實際中，為改善螺栓連接結構的剛度、提高連接精度、防止松動的發生，多數情況下需要對裝配螺栓進行適當預緊[3]，且預緊力和連接面的接觸狀態對連接結構的固有特性影響較大。

Maio等[4]將螺栓連接簡化為剛性連接，但這種分析方法很難考慮連接件間的接觸特性，會導致整個連接結構的振動模態計算結果偏大。因此，在研究螺栓連接結構的固有特性時，一些學者提出使用薄層單元來模擬連接結構中結合面的接觸特性[5-7]。但薄層單元的參數一般需要通過有限元方法優化求得，且優化過程復雜，計算效率低，適用范圍窄。

在工程實際中，螺栓連接件在預緊力的作用下，連接接觸面并不是完全接觸的。文[8-10]認為螺栓連接結構的預緊力夾緊區域為類圓錐形，但各學者定義的夾緊區域包絡角度α的范圍不盡相同，文[8]指出α=45°，文[9]指出α=30°，而文[10]則指出α∈[25°，33°]。

此外，在對螺栓連接結構的固有特性進行研究時，Wei等[11]研究了螺栓數目及螺栓位置對系統固有頻率的影響，指出隨著螺栓數目的增加，系統固有頻率增加，且螺栓間距越大，螺栓數量對固有頻率的影響越明顯。文[5，12]分析了螺栓連接結構在不同預緊力下的固有特性，結果表明，預緊力對系統的振動特性影響較大，且預緊力越大，系統的固有頻率越大。文[13-14]分析了螺栓連接的“L”型直板結構在不同擰緊力矩下的模態結果，且與實驗所得結果吻合較好，進而得出了擰緊力矩大小對結構的模態頻率值有較大影響。

由上述文獻可知，在對螺栓連接結構的固有特性進行分析時，多數學者將連接面的接觸非線性問題轉化為線性問題[9-10]。文[10]指出在大預緊力情況下可以采用區域粘結法進行模態求解，但夾緊區域包絡角度范圍較大，此外對于小預緊力情況未給出求解方法;考慮螺栓連接界面接觸的影響[13-14]，也有一些學者采用預應力模態法，該方法具有較高的準確性，但計算效率低。兩種方法各有優缺點，如何結合各自的優勢，給出二者之間的關聯以及適用范圍，是一個值得關注的問題。

基于這一點，本文首先通過仿真對比，驗證了基于接觸的預應力模態法求解系統固有頻率的有效性;其次在文[10]的基礎上研究了板厚、螺栓尺寸和連接件搭接長度在不同預緊力下對連接結構固有特性的影響;最后通過靜接觸分析獲得接觸半徑，由接觸半徑確定了準確的包絡角度α，從而運用區域粘結法求解系統的固有頻率，并將上述兩種方法所求得的系統固有頻率進行了對比，給出了兩種方法的適用范圍。

1基于接觸理論的螺栓連接板類結構的動力學模型

1.1接觸力學模型

在螺栓連接結構中，接觸區域的接觸狀態與載荷、材料、邊界條件等因素相關，且對結構動力特性影響較大[15]。因此，需要采用合理的接觸算法來描述螺栓連接件間的接觸問題。常見的接觸算法包括罰函數法、拉格朗日乘子法和增廣的拉格朗日乘子法[16]。罰函數法在求解復雜接觸問題時容易導致收斂困難，拉格朗日乘子法則會導致迭代次數的增加，而增廣拉格朗日乘子法通過將罰函數中的罰項加入到拉格朗日乘子法中，提高了計算精度，改善了收斂性。所以本文采用增廣拉格朗日乘子法來處理連接件間的接觸問題。根據Hamilton原理得到系統的總能量泛函式：

Π（u）=Π1+Π2+Γc12α（gkNt）2+λkNtgkNtdsdt（1）

λkNt=λk-1Nt，|gk-1Nt|lt;ε

λk-1Nt+αgk-1Nt，|gk-1Nt|≥ε（2）

式中：Π（u）為系統總能量;Π1為系統動能;Π2為系統應變能;Γc為接觸邊界;α為罰因子;λkNt、λk-1Nt分別為t時刻第k次迭代和第k-1次迭代的拉格朗日乘子;gkNt、gk-1Nt為t時刻第k次迭代和第k-1次迭代的接觸間隙;ε為穿透公差。

將增廣拉格朗日法得到的無約束泛函極值問題離散化，得到接觸問題的動力學控制方程：

Mu¨kt+Cu·kt+Kktukt-BkctλkNt=F（3）

Kkt=Ket+Kkst（4）

式中：M、C、F分別為質量矩陣、阻尼矩陣、預緊力向量;ukt、u·kt、u¨kt、Bkct分別為t時刻，第k次迭代的位移、速度、加速度及接觸約束矩陣。Kkt、Ket、Kkst分別為t時刻系統的總剛度矩陣，結構剛度矩陣，迭代k次后由預緊力導致的剛化矩陣。

對于本文所處理的為靜接觸問題即u·kt=0、u¨kt=0，式（4）可以寫為

Kkukt-BkctλkNt=F（5）

由式（5）可求得接觸面的最終接觸狀態，通過系統的M、Kk矩陣可求得預應力狀態下系統的固有頻率和振型。

1.2基于接觸的預應力模態方法驗證

本文采用文[10]的模型，其結構尺寸和實體有限元模型，如圖1所示，圖中板1和板2具有相同的幾何尺寸，螺栓尺寸為M10。L1為連接板未搭接部分長度，L2為搭接部分長度，W為板的寬度，H為板的厚度。

文[10]將預緊力產生的接觸壓力的作用區域粘結在一起，對系統進行了模態分析。本文則采用基于接觸的預應力模態法求解系統的固有特性。表1給出了預緊力為20000N，即螺栓處于擰緊狀態時[17]，基于預應力模態法所求得的系統在自由狀態下的固有頻率，并和文獻結果進行了對比驗證。

由表1可知，本文的仿真結果與文獻實驗結果基本吻合，最大誤差約為2.4%。為了進一步驗證基于接觸的預應力模態法求解系統固有頻率的正確性，本文采用沖擊方法得到的自由振動響應開展進一步對比驗證，其中沖擊位置為自由端平板中間節點，沖擊方向為z向，沖擊頻率為100Hz，沖擊力為100N的矩形波，沖擊時間為1ms，提取連接板最右端中間節點的x、y和z向的加速度響應，并對加速度響應進行FFT變換，具體結果見圖2。

通過對比分析表1和圖2可知，除了第2階固有頻率未激發之外，其余基于沖擊響應得到的固有頻率與實驗和仿真結果吻合，這也再次驗證了基于接觸的預應力模態方法可用于板類連接結構的模態求解。

2參數影響分析

本節研究連接結構左端固支邊界下（板1左端固支），預緊力從1000N變化到20000N時，螺栓連接結構的參數即板厚、螺栓尺寸、搭接長度對系統固有頻率的影響，并提取了系統的前6階振型圖（見圖3）。

2.1板厚對板類連接結構固有特性的影響

為研究板厚對系統固有頻率的影響，本文考察了兩等厚度板厚度（H）變化的情況，板厚的變化范圍為5.46mm到8.46mm，每次增量為1mm，計算得到的不同厚度下隨預緊力變化的各階固有頻率，如圖4所示。

由圖4可以看出，隨著板厚的增大，除了小預緊力情況下擺動固有頻率外，系統其余階固有頻率均增大，且板厚對彎曲和扭轉頻率影響較大，對擺動頻率影響較小;預緊力則對擺動頻率影響較大，需要指出的是對于系統第4階固有頻率，由于螺栓連接處于節點位置，所以預緊力對其固有頻率幾乎沒影響。

2.2螺栓尺寸對板類連接結構固有特性的影響

固定連接板的厚度（H=8.46mm），分析螺栓尺寸分別為M6、M8、M10、M12時，板類結構的固有頻率隨預緊力的變化，如圖5所示。

2.3兩板搭接長度對板類連接結構固有特性的影響

固定板的厚度（H=8.46mm）及螺栓尺寸（M10），研究兩板搭接長度L2對系統固有頻率的影響，見圖6。

由圖6可以看出，隨著兩板間搭接長度的增大，系統固有頻率增大;隨著預緊力的增大，系統固有頻率也增大，且預緊力對擺動固有頻率（fn5）的影響較大。

3預緊力夾緊區域確定

隨著預緊力的增大，系統的固有頻率增大，但是當螺栓連接結構處于大預緊力狀態時，系統的固有頻率基本保持不變（見圖5）。此時，可以將預緊力夾緊區域進行共節點處理，將接觸非線性轉化為線性，進行系統的固有頻率求解。由于文[8-10]預緊力夾緊區域各不相同，相互之間沒有對比。因此，本節主要研究在大預緊力狀態下，接觸壓力分布半徑（接觸半徑）和區域包絡角度α的確定方法。

3.1預緊力夾緊區域驗證

圖7為螺栓連接接觸壓力區域示意圖，其中b表示螺母半徑，α表示包絡角度，r1表示螺栓孔的半徑，r表示接觸半徑，H表示連接件的厚度。

基于本文研究的連接結構，當預緊力大于15000N時，系統的固有頻率基本不變。因此，本節選用預緊力15000N，探究包絡角度α與接觸半徑r之間的關系。首先，采用靜接觸分析對文[10]中螺栓連接的板類結構進行靜力學求解，提取連接面的接觸狀態云圖（見圖8），通過測量邊界點A、B及C、D之間的距離AB、CD，并將其帶入公式r=AB+CD4-r1，求得接觸半徑r=12.686mm;其次，將r帶入公式r=b+H×（tanα），得到包絡角度α=31.51°，這與文[10]給出的α∈[25°，33°]相一致，但本文給出了更為精確的計算結果;最后，將應力作用區域采用共節點處理，進行模態分析。表2為區域粘結法求得的系統固有頻率，并與文[10]中的實驗結果進行了對比驗證。

由表2可知，在大預緊力情況下，可以采用區域粘結法求得系統固有頻率，并且所得頻率與實驗對比誤差較小。因此，可以得出由接觸半徑求解夾緊區域包絡角度α的正確性。

3.2不同幾何參數下兩種方法的對比驗證

本節在預緊力為15000N，板厚和螺栓尺寸分別變化情況下，將區域粘結法和基于接觸的預應力模態方法進行了對比分析。

圖9為L2=40mm，螺栓尺寸為M10，不同板厚下，連接件接觸面的接觸狀態云圖;表3為其對應的固有頻率對比結果。圖10為H=8.46mm，L2=40mm，不同螺栓尺寸下，連接件接觸面的接觸狀態云圖;表4為其對應的固有頻率對比結果。圖9不同板厚下接觸狀態云圖

由圖9和圖10，表3和表4可以看出：隨著板厚、螺栓尺寸的增大，接觸區域增大;大預緊力情況下，板厚及螺栓尺寸變化時，基于接觸的預應力模態法和區域粘結法得到的系統固有頻率誤差不大，最多誤差僅為2.16%，出現于擺動固有頻率。

4結論

1）在對板類連接結構進行模態求解時，基于接觸的預應力模態法適用于小預緊力和大預緊力兩種情況，計算精度較高，但計算效率較低;區域粘結法僅適用于大預緊力情況，但計算效率高。在大預緊力情況下，這兩種方法對于模態的求解相對誤差較小。在大預緊力情況下，可通過預應力模態法求得接觸半徑，由接觸半徑推導包絡角度α，進而采用區域粘結法求解系統的固有特性。

2）幾何參數對板類連接結構的固有特性有明顯的影響，其中板厚、連接件搭接長度越大，系統固有頻率越大;螺栓尺寸越大，系統固有頻率越小;板厚及螺栓尺寸對系統的彎曲和扭轉頻率影響較大，對擺動頻率影響較小。隨著板厚、螺栓尺寸的增大，接觸粘結區域增大，即接觸半徑增大。

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（編輯：溫澤宇）