知識交匯 思維多樣

摘要：涉及三角形面積的最值問題，切入思維多樣，破解技巧多變，是高考中一類具有創新情境的綜合應用問題，極受命題者青睞．結合實例，就一道三角形面積最值的多視角探究與應用加以展示，歸納總結解決問題的規律與技巧，引領并指導解題研究與復習備考．

關鍵詞：三角形；面積；最值；基本不等式；余弦定理

涉及三角形面積的最值問題，是解三角形問題中的一類基本綜合應用問題．此類問題巧妙融入解三角形問題、最值應用問題等，交匯平面幾何、三角函數、函數與方程、不等式等相關知識，是新高考數學試卷中比較常見的一類綜合應用性問題，充分體現高考“在知識交匯處命題”的指導精神，倍受各方關注．

1 問題呈現

問題［2022屆河南省新鄉市高三第二次模擬考試數學（理科）試卷（二模）·11］△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若AB·AC+a2=6，則△ABC面積的最大值為（）.

A．2 B．3 C．22 D．23

此題以三角形為幾何背景，結合平面向量的數量積、解三角形等知識來確定三角形面積的最值．題目簡單明了，可以從問題背景出發，利用解三角形思維從平面幾何來直觀切入；也可以從平面向量知識出發，利用平面向量的坐標運算或對應公式等思維視角來切入．視角不同，解題思路與過程以及涉及到的知識點也各不相同，各有各的精彩．

2 問題解決

方法1：解三角形法.

解析：由AB·AC+a2=6，可得bccos A+a2=6；再結合余弦定理，可得a2+b2+c2=12.

由△ABC的面積S=12bcsin A，可得

S2=14b2c2（1－cos2A）

=14b2c21－6－a2bc2

=14b2c2－14（6－a2）2.

利用基本不等式，可得

b2c2≤b2+c222=12－a222.

所以S2≤14×12－a222－14（6－a2）2

=116（－3a4+24a2）

=－316（a2－4）2+3.

所以，當a2=4，即a=2，b=c=2，亦即△ABC為邊長為2的正三角形時，S2取得最大值3.

故△ABC面積的最大值為3，應選擇答案：B．

點評：通過解三角形思維來解決三角形中的面積問題，是解決此類問題最常用的一種技巧方法．在具體解析過程中，綜合了平面向量的數量積、解三角形的余弦定理與三角形面積公式、三角公式、基本不等式以及二次函數的圖象與性質等眾多知識，實現多知識交匯與融合的完美統一．

方法2：平面幾何法.

解析：由AB·AC+a2=6，得bccos A+a2=6;再結合余弦定理，可得a2+b2+c2=12.

如圖1所示，設h為BC邊上的高，對應的垂足為點D.設|BD|=x，則|CD|=a－x.

結合勾股定理，有a2+b2+c2=a2+x2+h2+（a－x）2+h2=12.整理可得

x2－ax+a2+h2－6=0①

由于關于x的二次方程①有解，則

Δ=a2－4（a2+h2－6）≥0.

整理，可得3a2+4h2≤24.

利用基本不等式，可得24≥3a2+4h2≥23a2×4h2=43ah，當且僅當3a2=4h2，即h=32a時，等號成立，可得ah≤23.

而△ABC的面積S=12ah≤12×23=3，當且僅當h=32a，即AD⊥BC，亦即△ABC為邊長為2的正三角形時等號成立.

所以△ABC面積的最大值為3，故選擇答案：B．

點評：根據條件，借助平面向量的數量積公式與余弦定理，得到三角形的三邊的平方和的值，巧妙構建平面幾何圖形，利用三角形的直觀性，結合勾股定理的應用，綜合二次方程有根的條件，并利用基本不等式來轉化與應用．數形結合，直觀有效．

方法3：建系法.

解析：如圖2所示，以點B為坐標原點，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系xBy，則B（0，0），C（a，0）.設A（x，y），由AB·AC+a2=6，可得（－x，－y）·（a－x，－y）+a2=6.

所以x2－ax+y2+a2=6，配方可得x－12a2+y2=6－34a2，則有

y2≤6－34a2.

因為△ABC的面積S=12a|y|，所以

S2=14a2y2≤14a26－34a2=116（－3a4+24a2）=－316（a2－4）2+3.

所以，當a2=4，即a=2，b=c=2，亦即△ABC為邊長為2的正三角形時，S2取得最大值3.

故△ABC面積的最大值為3，應選擇答案：B．

點評：通過建立平面直角坐標系，結合點的坐標，解決平面向量的數量積以及三角形的面積等相關問題，也是解決解三角形問題的一種基本技巧方法．通過配方處理，利用參數的取值限制并借助二次函數的圖象與性質來確定最值，思路清晰，方法常規，運算量合適．

方法4：極化恒等式法.

解析：取BC的中點D，則有AB+AC=2AD.

由極化恒等式，得AB·AC=14[（AB+AC）2－（AB－AC）2]=14（4AD2－CB2）=|AD|2－14a2.

由AB·AC+a2=6，可得|AD|2+34a2=6.

利用基本不等式，可得6=|AD|2+34a2≥2|AD|2·34a2=3|AD|a，當且僅當|AD|=32a時，等號成立，可得|AD|a≤23.

而△ABC的面積S=12ah≤12a|AD|≤12×23=3，其中h為BC邊上的高，當且僅當h=|AD|，即AD⊥BC，亦即△ABC為邊長為2的正三角形時等號成立.

所以△ABC面積的最大值為3，故選擇答案：B．

點評：利用平面向量中的極化恒等式將平面向量的數量積關系轉化為對應邊長的關系，為進一步解三角形指明方向．利用平面向量的極化恒等式可以快速對平面向量的數量積進行化歸與轉化，體現了平面向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體且含有線段中點的平面向量問題．

方法5：外森比克不等式法.

解析：由AB·AC+a2=6，得bccos A+a2=6；再由余弦定理，可得a2+b2+c2=12.

利用加權外森比克不等式，可得△ABC的面積S≤1241×1+1×1+1×1=3，當且僅當a=b=c=2，即△ABC為邊長為2的正三角形時，等號成立.

所以△ABC面積的最大值為3，故選擇答案：B．

點評：利用加權外森比克不等式“若△ABC的三邊a，b，c滿足xa2+yb2+zc2=k，則有△ABC面積S≤k4xy+yz+zx”，通過條件的轉化，可以非?？旖莸靥幚韱栴}．其實這里也有一個涉及三角形面積不等式的結論“△ABC的三邊a，b，c，面積為S，則有xa2+yb2+zc2≥4Sxy+yz+zx，當且僅當a∶b∶c=y+z∶z+x∶x+y時，等號成立”．此類不等式屬于課外知識，一般參加競賽或學有余力的同學會有所涉獵，這里只是提供一個課外閱讀與拓展的“場所”．

3 變式拓展

探究：根據以上問題中方法1（或其他方法）的解析過程，改變問題條件的視角，從三角形三邊的平方和的值所提供的信息入手，進而確定對應三角形面積的最值，從而得到以下對應的變式問題．

變式△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2+b2+c2=12，則△ABC面積的最大值為（）.

A．2 B．3 C．22 D．23

解析：由a2+b2+c2=12，結合余弦定理可得bccos A+a2=6.

以下部分同原問題的方法1，可得△ABC面積的最大值為3，故選擇答案：B．

當然，利用變式1中的條件，解決問題的思路更加活躍，方法更多，這里就不多加敘述．

4 教學啟示

（1）面積應用，最值綜合

借助三角形面積這一基本要素，可以巧妙利用三角形面積的夾角公式、高線公式、圓的半徑公式以及海倫公式等的應用，合理構建三角形中相關邊、角等元素之間的關系，巧妙滲入函數與方程、基本不等式、函數與方程、平面幾何等相關知識，通過代數運算、邏輯推理、幾何直觀等，實現最值的確定與求解．

（2）一題多解，一題多悟

結合實例，針對具體問題從多個不同思維角度來切入與處理，巧妙把對應問題的底蘊充分挖掘出來，多角度出發，多方法求解，從而真正體現對數學知識的融會貫通，展現數學基礎知識之間的交匯與融合，全面提升能力，拓展思維．巧妙借助一題多解，真正達到在學中“悟”、在“悟”中不斷提升解題技能，進而達到一題多悟的良好效果．