運用化歸思想求函數最值的策略

摘要：新課程標準提倡教學應該回歸到教材，這就使得我們要追根溯源，回歸本真.本真課堂以培養學生核心素養為目標，通過真實情境下的課堂教學互動，并以豐富的變式訓練和真實的課堂活動開展教學，是一種過程性和生成性學習.函數的最值問題是中學數學課程的一項重要內容，無論是教學還是研究，都應該關注對數學本質的理解.本文中主要結合函數最值問題，對運用化歸思想求解函數最值的策略進行了探究，為學生在本真課堂中獲得學科知識技能和關鍵能力提供助力.

關鍵詞：化歸思想；函數最值

在教學過程中，教師應尊重教育規律，努力把學生培養為學習的主人，使學生的學習真正發生.但是教師要問自己：教室里大多數的學生，學習真的發生了嗎？有的教師無視學生的自主學習動機，剝奪學生做事情的權利，省略與學生的有效對話，抑制學生探索的欲望.為了學生的長遠發展，教師應該把課堂學習的主動權還給學生，課堂應該充滿更真實的對話、認真的意見和真正的引導，展示“真正的學習”是什么樣子的.

1 運用化歸思想解決問題的一般模式及基本觀點在問題解決的過程中，將待解問題不斷變形、轉化，直至把它歸結為已經解決的或容易解決的問題，最終得到原問題的解答.這就是化歸思想[1].

1.1 運用化歸思想實現問題解決的一般模式

化歸思想一般模式如圖1所示.

1.2 基本觀點

（1）運動與變化的觀點

事物不是靜止的，它是在不斷地變化著的．解決數學問題時，把靜止變成運動，把常量變成變量，利用運動與變化的方法解決問題．

（2）聯系與轉化的觀點

事物不是獨立存在的，是相互聯系并能夠轉化的．在解決數學問題時，要不斷地找出問題之間的聯系和轉化的方法，來解決數學中的問題.

（3）優選化歸的觀點

一般的數學問題可以分為兩種，一種是創造新方法解決問題，一種是與以前所學的知識相結合共同來解決問題.同時，后一種方法在實際中最常用，并且在解決問題中常常利用化歸的方法.所以，在面對數學問題時，我們通常優先考慮化歸方法[2].

2 運用化歸思想求解函數最值的策略

2.1 等價轉化法求最值

兩個命題A和B，若AB，則稱A與B邏輯等價.等價轉化法是把待解命題A通過某種方法轉化與其同真同假的等價命題B，通過轉換的方法解決命題B得出結果，就意味著解決了命題A的問題.

例1已知拋物線y2=4（x－1），試在這個拋物線上找一點P，使點P到焦點與到點（4，1）的距離之和最小.

解：拋物線y2=4（x－1）的準線是x=0，拋物線上的點P到焦點的距離與點P到準線的距離相等.待解命題等價于命題“已知拋物線y2=4（x－1），試在這個拋物線上找一點P，使點P到準線x=0的距離與到點（4，1）的距離之和為最小”.如圖2所示，過點（4，1）作準線x=0的垂線，該垂線交拋物線與一點，據平面幾何有關知識易知，該交點即為所求之點P，其坐標為54，1.

2.2 數與形的轉化求最值

通過數與形之間的轉化，不僅可以把數量關系的問題轉變成圖形分析的問題，還可以利用圖形關系的分析，在圖中直接看出變量之間的關系，從而解決問題，節省時間，開發思維能力.

數與形之間的轉換，通常有以下幾種情形：（1）實數與數軸上的點的對應關系；（2）函數與圖象的對應關系；（3）曲線與方程的對應關系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念；（5）所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義.

（1）用數與形的轉化解平面幾何的最值問題

平面幾何中與三角形、圓等有關的問題，可以利用建立坐標系的方法，把圖形問題轉化為代數式的運算問題來解決.

例2已知△ABC中，AB=2，AC=2BC，則△ABC面積的最大值是．

解：由于AB為定長，因此△ABC的面積由AB邊上的高決定.而動點C滿足AC=2BC，所以可以建立坐標系，求出點C的坐標滿足的方程.如圖3所示，以線段AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A（－1，0），B（1，0）.

設C（x，y）.由|AC|=2|BC|可得（x+1）2+y2=2·（x－1）2+y2.

化簡，得

（x－3）2+y2=8（y≠0）.

所以，點C在以（3，0）為圓心，半徑為22的圓（點（3±22，0）除外）上運動.

因此S△ABC=12·AB·yc=yc≤22.

故△ABC面積的最大值為22.

（2）用數與形的轉化解圓錐曲線問題

解析幾何中求代數式的最值問題常常可以聯系代數式中各量的的幾何意義，轉化為斜率、截距、距離等模型去解決.與圓錐曲線有關的最值問題，合理應用圓錐曲線的定義是解決此類問題的有效途徑.

例3已知A（1，1）為橢圓x29+y25=1內一點，F1為橢圓左焦點，P為橢圓上一動點，求PF1+PA的最大值和最小值.

解：由x29+y25=1，可知a=3，b=5，c=2，左焦點F1（-2，0），右焦點F2（2，0）.

由橢圓定義，可知PF1=2a-PF2=6-PF2.

所以PF1+PA

=6-PF2+PA

=6+PA-PF2.

由PA-PF2≤AF2=（2-1）2+（0-1）2=2，得

-2≤PA-PF2≤2.

如圖4，當點P在AF2的延長線上的點P2處時，｜PA｜-｜PF2｜=2;

當點P在AF2的反向延長線上的點P1處時，｜PA｜-|PF2|=-2;

所以PA-PF2的最大值、最小值分別為2，－2.

故PF1+PA的最大值為6+2，最小值為6-2.

2.3 利用基本不等式化歸轉化求最值

利用不等式求最值主要是指運用基本不等式或它的一些變形式求代數式的最值.這種方法主要適用于和為定值或積為定值（或可轉化為和或積為定值）時的最值求解問題.

（1）直接應用基本不等式化歸轉化求最值

若待求式的和或積為定值，則可以直接應用基本不等式求解.使用公式時應注意基本不等式成立的條件.

例4已知xgt;0，ygt;0，且滿足3x+2y=12，求lg x+lg y的最大值.

解：因為xgt;0，ygt;0，所以lg x+lg y=lg3x52y6≤lg163x+2y22=lg16×1222=lg 6，當且僅當3x=2y，且3x+2y=12，即x=2，y=3時，等號成立.

所以lg x+lg y的最大值是lg 6.

（2）應用不等式化歸轉化的技巧

基本不等式的一個主要功能就是求兩個正變量和與積的最值，即所謂“和定積最大，積定和最小”.但有的題目需要利用基本不等式的變形求最值，有的需要對待求式作適當變形后才可求最值.

（ⅰ）加上一個數或減去一個數使和或積為定值.

例5函數f（x）=3x-4+x（xlt;3）的最大值是（）.

A.-4B．1C．5D．-1

解：由xlt;3，得3-xgt;0，所以

f（x）=-43-x+（3-x）+3≤-24+3=-1，當且僅當43-x=3-x，即x=1時，等號成立.

所以f（x）的最大值-1．故選：D.

（ⅱ）平方后再使用基本不等式.

例6若xgt;0，ygt;0，且2x2+y23=8，求x6+2y2的最大值.

解：（x6+2y2）2=x2（6+2y2）=3×2x21+y23≤32x2+1+13y222=3×814=2434.

當且僅當2x2=1+y23，且2x2+y23=8，即x=32，y=422時，等號成立．故x6+2y2的最大值為923.

（ⅲ）用“１”的代換法化歸轉化求最值.

例7 已知1x+2y=1，且xgt;0，ygt;0，求x+y的最小值.

解：因為xgt;0，ygt;0，所以

x+y=（x+y）·1=（x+y）·1x+2y=3+yx+2xy≥3+22.

當且僅當yx=2xy，且1x+2y=1，即x=2+1，y=2+2時，上式等號成立.

故x+y的的最小值是3+22.

3 結語

本文中基于本真課堂系統研究了如何運用化歸思想方法求解最值問題，同時將最值問題通過相互轉化的方法使解題思路變得簡單易懂.通過研究可以得出，最值問題解題思想方法的學習，不僅可以積累解題經驗，還可以鍛煉思考能力和開拓創新能力.因此，最值問題是極其具有研究意義的，也是非常重要的.

參考文獻：

[1]俆漢文.中學數學課程標準與教材分析［M］.北京：科學出版社，2014：31.

[2]陳慶洪.淺析高考數學中的最值問題［J］.福建中學數學，2012（1）：44-46.