同構(gòu)法在解析幾何中的應(yīng)用舉例

摘要：解析幾何是數(shù)學(xué)中的一大重要數(shù)學(xué)分支，使用代數(shù)方法解決幾何問題開創(chuàng)了數(shù)學(xué)研究的新時代.很多幾何問題在幾何情境當中讓人難以捉摸，但在代數(shù)的表達下卻變得非常具體，很多結(jié)論更容易讓人接受，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的精妙所在.高考中，通過一定的幾何設(shè)問考查學(xué)生對坐標法的掌握程度的試題屢見不鮮，學(xué)生能夠熟練使用坐標法體現(xiàn)了他們用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言描述世界的數(shù)學(xué)素養(yǎng).解析幾何中所涉及的運算之難不僅僅體現(xiàn)在數(shù)量的復(fù)雜上，還涉及眾多的變量處理，多個方程的轉(zhuǎn)化統(tǒng)一，幾何的代數(shù)表達程度，等等.而在處理多變量的運算時，因一些幾何元素的地位相同可能會出現(xiàn)相同的表達式，對待這些“相同”，我們應(yīng)該將函數(shù)與方程結(jié)合起來，利用同構(gòu)思想，巧妙地進行轉(zhuǎn)化與化歸，往往會有更大的“驚喜”.本文中選取了幾個典型使用同構(gòu)思想解決的解析幾何的相關(guān)問題，結(jié)合案例分析闡明了在處理復(fù)雜運算時需多關(guān)注內(nèi)在規(guī)律，從辯證統(tǒng)一的角度更好地理解數(shù)學(xué)，體會數(shù)學(xué)思想.

關(guān)鍵詞：同構(gòu)思想；解析幾何；辯證統(tǒng)一；化繁為簡

在解析幾何的相關(guān)問題的解決過程中，我們經(jīng)常會遇到多個形式類似、變量不同的方程，如果只關(guān)注單一方程的求解，運算將會變得較為冗長而復(fù)雜，這時我們不妨采用同構(gòu)的思想，將形式相同的方程統(tǒng)一起來，從整體上分析他們所體現(xiàn)的規(guī)律，再根據(jù)其規(guī)律尋找運算結(jié)果，化繁為簡，獲得較為簡潔的代數(shù)結(jié)果，對應(yīng)更為直接的幾何規(guī)律.

當今的教育改革之下，教育的目標直指素養(yǎng)的形成，需學(xué)生明確重要的基礎(chǔ)知識，理解最簡潔核心的數(shù)學(xué)原理，形成最切實有效的數(shù)學(xué)思想.這就需要教育者引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在驅(qū)動力，透過現(xiàn)象探求本質(zhì)，學(xué)會思考和分析.

1 利用同構(gòu)解決圓錐曲線的切線的相關(guān)問題

例1（2019全國卷Ⅲ第21題節(jié)選）已知曲線C：y=x22，D為直線y=－12上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B．證明：直線AB過定點.

分析：題目中給出的條件為過D作C的兩條切線，解決問題的一條思維路徑是設(shè)出過點D的直線方程，利用直線和拋物線相切的位置關(guān)系，得到A，B兩個點坐標的表示，然后獲得直線AB的方程，這樣就能夠根據(jù)方程的形式得出所過定點的坐標.但是直接表示出來還是較為復(fù)雜的，所以應(yīng)當注意變量之間的關(guān)系，利用同構(gòu)形式巧妙解決問題.第二條思維路徑是從切點入手，表示出該點處的切線的方程，兩條切線都過同一個點D，則點D的坐標適合兩條直線的方程，利用解與方程關(guān)系的轉(zhuǎn)化獲取直線AB的方程，進而得到定點坐標.

解析1：設(shè)A（x1，y1），過點D的直線DA的方程為y+12=k1（x－t），該直線與拋物線相切，將兩方程聯(lián)立消y得x21－2k1x1+1+2k1t=0，此方程僅有一實根，所以判別式4k21－4（1+2k1t）=0，即k21－2tk1－1=0（從該式中可以解出k1的值，但我們一般都是“設(shè)而不求”，尋找變量滿足的共同規(guī)律），繼續(xù)考慮另一條切線DB，其斜率為k2，設(shè)B（x2，y2），那么我們也能最終得到一個方程k22－2tk2－1=0，兩個方程形式相同，只是對應(yīng)的變量不同，而一元二次方程最多只有兩個實數(shù)根，則可知方程k2－2tk－1=0的兩根即為k1和k2.根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系則有k1+k2=2t，

k1k2=－1，分別代回聯(lián)立得到的方程，可得x1=k1，

x2=k2.所以直線AB的斜率為k1+k22，方程為y－k212=k1+k22（x－k1），即y=k1+k22x－k1k22.利用上面得到的結(jié)果可得y=tx+12，則知直線AB恒過定點0，12［1］.

解析1側(cè)重使用切線的斜率進行運算，找出斜率滿足的方程，“設(shè)而不求”，從同構(gòu)的角度，獲得了兩斜率滿足的關(guān)系式，表示出目標直線的方程，進而得到直線所過的定點坐標.該題中由于此拋物線可看作函數(shù)的圖象，所以可借助于函數(shù)求導(dǎo)來解決相關(guān)切線的問題，再利用同構(gòu)即可解決問題．

解析2：設(shè)A（x1，y1），則滿足x21=2y1.設(shè)Dt，－12，由于y′=x，所以有y1+12x1－t=x1，整理可得2tx1－2y1+1=0.由方程與解的關(guān)系可知坐標為（x1，y1）的點A在方程2tx－2y+1=0所表示的曲線上.設(shè)B（x2，y2），同理可得2tx2－2y2+1=0，則知坐標為（x2，y2）的點B也在方程2tx－2y+1=0所表示的曲線上.二元一次方程對應(yīng)的是直線，A，B兩點都在其上，而兩點確定一條直線，則知直線AB的方程為2tx－2y+1=0，所以直線AB過定點0，12．

解析2也可以從切點入手，先利用導(dǎo)數(shù)得到曲線在點A和B處的切線方程，然后將點D代入兩切線方程之中，得到上面的兩個式子，再利用方程與解的關(guān)系轉(zhuǎn)換為直線AB的方程形式.利用這種同構(gòu)的想法，可以快速得到曲線的切割線方程，解法簡潔明了．

規(guī)律總結(jié)：根據(jù)上面同構(gòu)的想法，可以總結(jié)出圓錐曲線的切割線的統(tǒng)一結(jié)論，它們都是數(shù)學(xué)中形式對稱而優(yōu)美的式子，比如對于拋物線y2=2px（pgt;0），過點（x0，y0）作它的兩條切線，切點所在直線的方程即為y0y=px+px0，可以看作把點的坐標融入拋物線的標準方程從而得到切割線的方程，給人以美的感受.當然，對于橢圓和雙曲線，也有對應(yīng)的結(jié)論，這里就不再贅述了．

熟練應(yīng)用：

練習(xí)1（2014廣東卷理第20題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的一個焦點為（5，0），離心率為53．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）若動點P（x0，y0）為橢圓外一點，且過點P的橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程．

分析：本題也涉及到圓錐曲線的切線問題，且需由切線垂直推導(dǎo)動點P的軌跡方程，解題思路和上題類似，先探尋切線斜率滿足的關(guān)系式，再根據(jù)垂直關(guān)系獲得動點坐標滿足的方程．

解析：（Ⅰ）求得橢圓C的方程為x29+y24=1.

（Ⅱ）①先考慮特殊位置，即兩切線一條斜率為0，另一條斜率不存在時，P的坐標為（±3，±2）.

②一般情形下，切線斜率都存在，設(shè)過點P（x0，y0）的直線方程為y－y0=k（x－x0），與橢圓方程聯(lián)立消y，得（9k2+4）x2+18（y0－kx0）kx+9（y0－kx0）2－36=0.

因為直線與橢圓相切，所以判別式Δ=0，即9（y0－kx0）2k2－（9k2+4）［（y0－kx0）2－4］=0，整理可得（x20－9）k2－2x0y0k+y20－4=0.設(shè)兩切線的斜率為k1和k2，則知k1和k2即為該方程的兩個實根，由根與系數(shù)關(guān)系可得k1k2=y20－4x20－9.又兩切線垂直，則有k1k2=－1，即y20－4x20－9=－1，所以x20+y20=13.

綜上可知，動點P的軌跡方程為x2+y2=13．

一般結(jié)論：過橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）外一點作橢圓的兩條切線，若切線互相垂直，則動點的軌跡方程為x2+y2=a2+b2，即軌跡是一個圓（通常被稱為“蒙日圓”）.有興趣的讀者可以繼續(xù)深入研究．

2 利用同構(gòu)解決圓錐曲線的內(nèi)接三角形相關(guān)問題例2（2021全國甲卷理第20題）拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x=1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ．已知點M（2，0），且⊙M與l相切．

（Ⅰ）求C，⊙M的方程；

（Ⅱ）設(shè)A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切．判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由．

分析：本題中涉及到拋物線內(nèi)接三角形共內(nèi)切圓的證明，由于在拋物線上取了三個點，所以涉及到的變量比較多，此時一定要抓住主變量和從變量，利用地位平等的變量滿足關(guān)系的同構(gòu)形式去解決問題．

解析：（Ⅰ）拋物線C的方程為y2=x；⊙M的方程為（x－2）2+y2=1.

（Ⅱ）考慮到要根據(jù)圓與直線A1A2，A1A3相切來判斷圓和直線A2A3的位置關(guān)系，可以把A1當作主動點，另外兩個點作為從動點，進而可以利用點的坐標表示出各條直線的方程.拋物線上的兩點所在的直線的方程有著完美的對稱形式，可以利用向量共線來輔助表達，目的是省去特殊位置下的討論.設(shè)A1（a2，a），A2（y22，y2），A3（y23，y3），設(shè)直線A1A2上任意一點T的坐標為（x，y）.根據(jù)A1T與A1A2共線可得（y22－a2）（y－a）=（y2－a）（x－a2），整理可得x－（a+y2）y+ay2=0（即知拋物線上兩點連線的方程可用這兩點縱坐標的和與積表示），⊙M與該直線相切，則有|2+ay2|1+（a+y2）2=1（也用和、積表示），即（a2－1）y22+2ay2+3－a2=0，再由圓與直線A1A3相切，按同樣過程可得（a2－1）y23+2ay3+3－a2=0，這兩個方程具有相同的形式，放在一起來看即可說明y2，y3為方程（a2－1）y2+2ay+3－a2=0的兩個實根，則可知y2+y3=－2aa2－1，

y2y3=3－a2a2－1，這樣就可以不用具體表示出y2，y3的值了.同時，直線A2A3的方程為x－（y2+y3）y+y2y3=0，圓心到該直線的距離為|2+y2y3|1+（y2+y3）2，將上面和與積的表達式代入即可得到結(jié)果為1，等于圓的半徑，所以直線A2A3與圓相切．

在本題的解決過程中，抓住坐標與直線方程的關(guān)系，注重運算過程中出現(xiàn)的同構(gòu)形式，充分利用同構(gòu)，將解與方程進行一定的轉(zhuǎn)化利用，最終比較簡潔地處理了問題，又能夠給人以對稱整齊的感受，可謂數(shù)學(xué)的精妙所在.所以，在學(xué)習(xí)的過程中一定要注意觀察，總結(jié)規(guī)律，不可一味地陷入盲目的復(fù)雜運算中無法自拔，一定要多從思維的深刻性上下功夫，才能達到學(xué)精的目的．

熟練應(yīng)用：

練習(xí)2如圖1，已知圓G：（x－2）2+y2=r2是橢圓x216+y2=1的內(nèi)接三角形ABC的內(nèi)切圓，其中A為橢圓的左頂點.

（Ⅰ）求圓G的半徑r；

（Ⅱ）過點M（0，1）作圓G的兩條切線交橢圓于E，F(xiàn)兩點，證明：直線EF與圓G相切．

分析：與例2類似，圓固定，點動，證明相切的位置關(guān)系，但是情境由拋物線變?yōu)闄E圓之后，運算上會稍復(fù)雜，可以嘗試完成該題．

3 利用同構(gòu)解決圓錐曲線有關(guān)參數(shù)的問題

例3如圖2所示，在平面直角坐標系xOy中，圓O1、圓O2都與直線l：y=kx及x軸正半軸相切，若兩圓的半徑之積為2，兩圓的一個交點為P（2，2），求直線l的方程.

分析：題中給出兩個圓的半徑之積，參考韋達定理，考慮半徑之和，則需構(gòu)造兩半徑滿足的方程，即找出r1與r2的某種統(tǒng)一之處，體現(xiàn)圖形的對稱性與方程形式上的統(tǒng)一．

解析1：由題知，O1，O2均在l與x軸夾角為θ的一條角平分線上.設(shè)兩圓的半徑分別為r1，r2，設(shè)O1（tr1，r1），O2（tr2，r2），圓O1方程為（x-tr1）2+（y-r1）2=r21.點P在圓O1上，所以有（2-tr1）2+（2-r1）2=r21，整理得t2r21-（4t+4）r1+8=0，即r1是方程t2x2-（4t+4）x+8=0的一個根.同理，r2也是該方程的根.所以r1r2=8t2=2，即t=2.而tanθ2=1t=12，所以k=tan θ=43.

解析2：以兩圓圓心的橫坐標為自變量，得到自變量之積，再結(jié)合半徑與橫坐標之間的關(guān)系，得出參數(shù)值.設(shè)O1（x1，tx1），O2（x2，tx2），圓O1方程為（x-x1）2+（y-tx1）2=（tx1）2，P在其上，所以（2-x1）2+（2-tx1）2=（tx1）2，整理得x2-（4t+4）5x1+8=0，即x1是方程x2-（4t+4）x1+8=0的一個根.同理x2也是該方程的根.所以x1x2=8.而r1r2=（tx1）（tx2）=2，所以t=12，即tanθ2=12，所以k=tan θ=43.

反思：兩圓交于同一定點，且結(jié)構(gòu)相似，圓的方程是二次結(jié)構(gòu)，將定點坐標分別代入兩圓的方程，統(tǒng)一起來即得同一方程的兩根即為兩個變量，也就是這其中蘊含著兩個變量間完整的關(guān)系.若作差得到兩圓公共弦所在的直線方程，則破壞了圓方程的結(jié)構(gòu)，將定點坐標代入直線方程也只是得到一個孤立的式子，不能全面反映所需信息，導(dǎo)致此題無法繼續(xù)求解，而利用同構(gòu)式則可柳暗花明.

同構(gòu)的思想是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種參考和媒介，學(xué)生對同構(gòu)的認知與應(yīng)用反應(yīng)出學(xué)生能否用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界，能否用數(shù)學(xué)的方法去解決遇到的問題，是素養(yǎng)的體現(xiàn).當然本文只是同構(gòu)法在一個方面的呈現(xiàn)，更多同構(gòu)的應(yīng)用還有待挖掘.

參考文獻：

[1]胡清林.同構(gòu)法在解答解析幾何問題中的應(yīng)用[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版下旬），2021（3）：44.