圓錐曲線對稱問題“轉化法”

摘要：圓錐曲線的對稱問題是高中解析幾何中的重要內容，歷年來一直是高考的常考熱點，同時也是高考備考的重點與難點.本文中通過對典型例題的解析，探索了如何運用“轉化法”解決與圓錐曲線對稱相關的問題.

關鍵詞：方法與規律；轉化中點法；等價轉化法；可行性與實用性

“圓錐曲線與方程”是湘教版選修（一）第2章的內容，雖然是選修內容，但其重要性卻不容忽視.近幾年來，“圓錐曲線對稱問題”已成為高考中頻繁出現的一個熱點和難點問題.因此，熟悉這類問題的常見題型，掌握和運用“轉化法”解題的方法與技巧也就顯得十分重要[1].

圓錐曲線對稱問題通常包括中心對稱和軸對稱兩大類.對于中心對稱類問題，一般采用“轉化中點法”，利用中點坐標公式進行求解；對于軸對稱類問題，一般采用“等價轉化法”，將原問題轉化為它的等價問題進行求解[2].

下面通過對典型例題的解析，來了解和掌握運用“轉化”法來解決問題的方法與技巧.

1 轉化中點法

一般情況下，對于中心對稱類問題，主要根據“兩對稱點連線段被對稱中心平分”這一性質，將其轉化為中點問題進行解決.

例1求橢圓C：（x－1）216+（y－2）29=1關于點A（－2，1）對稱的橢圓C′的方程.

解：設已知橢圓C上任意一點P′（x′，y′）與橢圓C′上的點P（x，y）關于點A（－2，1）對稱，則x′+x2=－2，y′+y2=1，得

x′=－4－x，y′=2－y①

因為P′（x′，y′）在橢圓C上，所以

（x′－1）216+（y′－2）29=1②

將①式代入②式，得（－x－5）216+（－y）29=1.

所以（x+5）216+y29=1為橢圓C′的方程.

方法與技巧：本題屬于曲線f（x，y）=0關于點Q（m，n）的對稱曲線類典型問題.解決這類問題，首先將坐標平移，使原點移到對稱中心Q，在新坐標系下原曲線為f（x′+m，y′+n）=0，其對稱曲線為f（－x′+m，－y′+n）=0，然后再依據x′=x－m，y′=y－n將坐標系平移回原坐標系，可得到對稱曲線的新方程f（2m－x，2n－y）=0，最后再把已知曲線方程中的x換成2m－x，y換成2n－y即可.

例2已知橢圓x2b2+y2a2=1（agt;bgt;0），求出與該橢圓有公共焦點的雙曲線，使得以它們的交點為頂點的四邊形面積最大，并求出相應四邊形的頂點坐標.

解：設所求雙曲線的方程為x2b21－y2a21=－1，它與橢圓在第一象限的交點C的坐標為（x0，y0）" ，則c2=a2－b2=b21+a21.

由x2b2+y2a2=1，

x2b21－y2a21=－1， 解得

Cbb1c，a1－b21c2.

所以S矩形ABCD=4x0y0=45bb1c5a1－b21c2=4abb21c21－b21c2.

因為b21c2gt;0，1－b21c2gt;0，且b21c2+1－b21c2=1（定值），所以當且僅當b21c2=12時，S矩形ABCD取得最大值2ab.

此時b21=12c2=12（a2－b2），a21=12（a2－b2），所求雙曲線方程為y212（a2－b2）－x212（a2－b2）=1（agt;bgt;0），相應四個頂點的坐標分別為22b，22a，－22b，22a，－22b，－22a，22b，－22a.

方法與技巧：在本題中，由于雙曲線與橢圓有公共焦點，且有相同的對稱軸，其四個交點組成以坐標軸為對稱軸的矩形，我們只要研究在第一象限的情況即可解決問題.由此可見，對于一般的二次曲線問題，利用它轉化為標準形式后的對稱軸和對稱中心來解決較為便捷[3].

2 等價轉化法

對于求橢圓上存在兩點關于某一條直線l對稱類問題，我們可以化繁為簡，將其轉化為等價問題來解決.

例3已知橢圓C的直角坐標方程為x24+y23=1，試求出m的取值范圍，使對于直線y=4x+m，橢圓C上有不同的兩點關于該直線對稱.

解：設l′：y=－14x+n（n為實數）為已知直線y=4x+m的垂線，與橢圓C的方程聯立，得方程組x24+y23=1，

y=－x4+n，消去y，可得

13x2－8nx+16n2－48=0③

設l′與橢圓C的兩個交點P（x1，y1），Q（x2，y2），顯然x1≠x2.

由Δ=64n2－4×13（16n2－48）gt;0，即n2lt;134，得－132lt;nlt;132.

又因為PQ的中點x1+x22，y1+y22在直線y=4x+m上，且由③知x1+x2=8n13，從而

y1+y2=－14（x1+x2）+2n=24n13，

代入12（y1+y2）=4×12（x1+x2）+m，得m=－4n13.

綜上可得－21313lt;mlt;21313.

方法與技巧：本題是利用對稱軸l：y=4x+m將問題轉化為它的等價問題，即求直線l的垂線l′：y=－14x+n（其中n為待定常數），讓l′與橢圓C有兩個不同的交點P，Q，并且線段PQ的中點在直線l上.這種“化m為n”的等價巧妙轉化法，充分展示了解題的便捷性與優越性.

例4如圖2，已知橢圓E經過點A（2，3），對稱軸就是坐標軸，焦點F1，F2在x軸上，離心率e=12.試證明：在橢圓E上不存在關于直線l：2x－y－1=0對稱的相異兩點.

證法1：設橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）.

由e=ca=12，可知a=2c，則b2=3c2.

將A（2，3）代入x24c2+y23c2=1，得c=2.

所以橢圓E的方程為x216+y212=1.

假設在E上存在關于直線l對稱的兩個不同的點B（x1，y1）和C（x2，y2）.

因為BC⊥l，所以kBC=y2－y1x2－x1=－12 .

設BC的中點為M（x0，y0），則

x0=x1+x22，y0=y1+y22.

因為點M在直線l上，所以

2x0－y0－1=0④

又因為點B，C在橢圓上，所以由x2116+y2112=1與x2216+y2212=1 兩式相減，得x22－x2116+y22－y2112=0，即

（x1+x2）（x2－x1）16+（y1+y2）（y2－y1）12=0.

整理為185x1+x22+y2－y1x2－x15165y1+y22=0.

將直線BC的斜率kBC和線段BC的中點M（x0，y0）代入上式，可得18x0－112y0=0，即

3x0－2y0=0⑤

④×2-⑤，得x0=2.這表明BC的中點就是點A，當然這是不可能的.也就是說，橢圓E上不存在關于直線l對稱的相異兩點.

證法2：假設橢圓E上存在B（x1，y1），C（x2，y2）兩點關于直線l對稱，則l⊥BC，所以kBC=－12.

假設直線BC的方程為y=－12x+m，將其代入橢圓方程x216+y212=1，化簡后得到一個一元二次方程x2－mx+m2－12=0.因為x1與x2是該方程的兩個根，根據根與系數的關系可知x1+x2=m，所以有y1+y2=－12（x1+x2）+2m=3m2.所以線段BC的中點坐標為m2，3m4.又因為線段BC的中點在直線y=2x－1上，所以3m4=m－1，得m=4.所以線段BC的中點坐標為（2，3），與點A重合，與假設相矛盾.所以，橢圓E上不存在關于直線l對稱的相異兩點.

方法與技巧：本題仍然是采用將待證點B，C等價轉換為已知點A的間接證明思路.在具體證明過程中，首先根據已知條件求出橢圓方程，然后利用橢圓的方程、性質和已知直線的斜率得出假設的BC中點的坐標與橢圓E上的點A重合的反面結論，從而使原題得證.

從上述典型例題的方法與技巧的總結中，我們可以看出，運用“轉化法”解決圓錐曲線對稱問題具有較強的可行性與實用性，關鍵是要充分、靈活地利用好橢圓、直線與點的相關性質.

參考文獻：

[1]宮正升.運用轉化法解題[J].數學大世界（小學三四年級適用），2010（Z2）：89.

[2]郭天平，李作濱.條件轉化法在數學解題中的運用舉隅[J].中學數學研究，2021（8）：56-57.

[3]楊金軍.例談圓錐曲線中的中點和對稱問題[J].中學生數理化（高考數學），2021（4）：27-30.