深度理解促思維靈活

摘要：在2022年全國高考乙卷理科第17題的多維度探究過程中，體會包括正余弦定理、內角和定理、大邊對大角、和差角公式、倍半角公式、和差化積、積化和差等解三角形相關知識的本質，厘清這些重要知識之間的結構和內在聯系.闡明在教學中，只有引導學生深度理解知識所蘊含的策略、方法和思想，領會知識背后問題求解的一般原則，才能有效增強學生思維的批判性和靈活性.

關鍵詞：多維探究；深度理解；靈活思維

解三角形是高中數學的重要知識點，是高考考查的常見問題類型.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中，解三角形位于必修課程主題三，幾何與代數，第一單元，平面向量及應用.要求借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正弦定理；能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.角和邊是三角形中的兩類基本量，它們之間的關聯由內角和定理、兩邊之和大于第三邊、大邊對大角、正余弦定理等構建.問題求解過程中還會涉及和差角、倍半角、和差化積、積化和差公式等三角變換工具.這些定理、公式的本質是什么？知識的背后又蘊含著怎樣的策略、方法和思想？

筆者以一道高考試題為例，帶著上述問題思考與探究，建議教師在教學中要讓學生養成從基本概念和原理出發思考問題、解決問題的習慣，深度理解概念和原理的實質性聯系，才能有效增強學生思維的靈活性、深刻性和反思性.

1 試題呈現

（2022年全國高考乙卷理科第17題）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin C＼5sin（A－B）=sin Bsin（C－A）.

（1）證明：2a2=b2+c2；

（2）若a=5，cos A=2531，求△ABC的周長.

2 解法探究及教學建議

2.1 第（1）問解法探究及教學建議

證法一：由sin Csin（A－B）=sin Bsin（C－A）及和差角公式，得

sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B=sin Bsin C＼5cos A－sin Bcos Csin A.

由正弦定理，得

accos B－bccos A=bccos A－accos C.

由余弦定理，得

ac·a2+c2－b22ac－bc·b2+c2－a22bc=bc·b2+c2－a22bc－ab·a2+b2－c22ab.

整理得a2=b2+c2－a2，故2a2=b2+c2成立.

教學建議：已知角的關系，證明邊的關系，是這個問題的本質.正弦定理、余弦定理、大邊對大角是三角形中最基本的邊角關系，這些關系背后蘊含的基本策略，是把三角形中邊與角的關系相互轉化.正余弦定理教學時，應通過實例呈現兩個定理的發生、發展和應用過程，讓學生感受到兩個定理在“邊角互化”中的強大功能.

證法二：由sin Csin（A－B）=sin Bsin（C－A），結合內角和定理、誘導公式，得

sin（A+B）sin（A－B）=sin（C+A）sin（C－A）.

由和差角公式，得sin2Acos2B－cos2Asin2B=sin2Ccos2A－cos2Csin2A.

由同角三角函數基本關系式，得

sin2A（1－sin2B）－cos2Asin2B=sin2C（1－sin2A）－cos2Csin2A.

整理，得2sin2A=sin2B+sin2C.

由正弦定理得2a2=b2+c2成立.

教學建議：三角形內角和定理是小學內容，學生特別熟悉，但在解三角形問題中最容易被忽視，它是特別重要的角與角之間的關系，是角之間建立聯系的有效途徑.而和差角公式、誘導公式、同角三角函數基本關系式則是解三角形的必備工具.由2sin2A=sin2B+sin2C獲得2a2=b2+c2的過程，背后蘊含著正弦定理“邊角”互化的轉化思想及形式“統一”的思維.

證法三：由sin Csin（A－B）=sin Bsin（C－A），結合內角和定理、誘導公式，得

sin（A+B）sin（A－B）=sin（C+A）sin（C－A）.

由積化和差公式，得

12（cos 2B－cos 2A）=12（cos 2A－cos 2C）.

即cos 2B+cos 2C=2cos 2A.

由余弦的二倍角公式，得

1－2sin2B+1－2sin2C=2（1－2sin2A）.

即2sin2A=sin2B+sin2C.

由正弦定理得2a2=b2+c2成立.

教學建議：“和差化積”與“積化和差”公式常被教師們認為“無需掌握”，筆者認為它們本質上是“和差角”公式的外延，有必要讓學生在實際問題的解決過程中體會其功能.實際上，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確要求學生能夠推導出兩組公式，但不要求記憶，2019年版北師大教材中，單獨列出一節講述這部分內容.

證法四：由sin Csin（A－B）=sin Bsin（C－A）及差角公式，得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B=sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A.

整理，得

sin A（sin Ccos B+cos Csin B）=2sin B＼5sin Ccos A.

逆用正弦的和角公式，得

sin Asin（B+C）=2sin Bsin Ccos A.

由內角和定理及誘導公式，得

sin2A=2sin Bsin Ccos A.

由正弦定理，得a2=2bccos A.

由余弦定理，得a2=2bc×b2+c2－a22bc.

所以2a2=b2+c2成立.

教學建議：相較于證法一，證法四用差角公式展開后并沒有直接利用正弦定理把獲得的式子轉化為邊角混合式，而是冷靜觀察代數式的結構，將其轉化為sin A（sin Ccos B+cos Csin B）=2sin Bsin Ccos A，體現出對結構式的整體把握，以及對正弦和角公式的深度理解.三角變換涉及到和差角公式、誘導公式、同角三角函數基本關系式、倍半角公式等.公式教學不能“一個公式、三點注意”就草草了事，應在公式為什么會有？怎樣來？結構是怎樣的？與其他公式有何關系？有什么核心功能？等這些核心問題上下功夫.能夠準確回答上述問題，應用時才能得心應手.

證法五：在△ABC中，sin Csin（A－B）=sin B＼5sin（C－A），sin C≠0且sin B≠0.

若sin（A－B）=0，則sin（C－A）=0，有A=B且C=A成立，即A=B=C，所以a=b=c.

此時2a2=b2+c2成立.

若sin（A－B）≠0，則sin（C－A）≠0，由sin C＼5sin（A－B）=sin Bsin（C－A），得

sin（C－A）sin（A－B）=sin Csin B.

由差角公式，得sin Ccos A－cos Csin Asin Acos B－cos Asin B=sin Csin B.

由正弦定理，得ccos A－acos Cacos B－bcos A=cb.

整理，得

2bccos A=a（ccos B+bcos C）.

由余弦定理，得

2bc×b2+c2－a22bc=a（c×a2+c2－b22ac+b×a2+b2－c22ab）.

所以2a2=b2+c2成立.

教學建議：三角形中內角對應的三角函數值除具有一般三角函數的性質，還具有其特殊性，如sin C≠0且sin B≠0正是基于三角形的特征獲得，要適時讓學生認清“特殊”和“一般”的關系.這種證法看似冗雜，且最后又回到正余弦定理的應用上去，但學生在實際探究中，常會出現這種想法，教師應鼓勵學生多角度思考問題.方法的多樣性能夠增強學生對問題認識的深刻性，更能有效增強學生思維的靈活性.

2.2 第（2）問解法探究及教學建義

解法一：由⑴知2a2=b2+c2，又a=5，所以

b2+c2=50.

由cos A=2531，結合a2=b2+c2－2bccos A，得25=b2+c2－2bc×2531，則2bc=31.

所以（b+c）2=b2+c2+2bc=81，故b+c=9.

所以△ABC的周長為a+b+c=14.

教學建議：“整體”觀是此法和下述兩種方法中的一種最基本的觀念，這種觀念源于對余弦定理結構式的整體把握和深度理解，有了這種觀念才能把思維聚焦在b+c的求解上.學生對運算表達式整體結構的認識，是明晰運算對象、探究運算思路、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果的前提.實際教學中教師應教會學生如何有效把握運算表達式的整體結構.

解法二：由a2=b2+c2－2bccos A及2a2=b2+c2，得a2=2a2－2bccos A，即a2=2bccos A.

結合a=5，cos A=2531，得2bc=31.

又2a2=b2+c2=（b+c）2－2bc，所以（b+c）2=81，即b+c=9.

故△ABC的周長為a+b+c=14.

教學建議：“元”在數學中是一個廣義的概念，二元一次函數、一元二次方程、一元二次不等式、二元一次方程組、多元函數等，均涉及到“元”的問題.在解三角形問題中，用“元”的視角理解問題、解決問題也不可或缺.從大視角看，三角形中“元”有兩類，“角”和“邊”，邊和角內部又有各自不同的三個“元”，所以解三角形中所謂“邊角互化”“角的統一”“邊的統一”本質上是消元、換元思想在解三角形中的體現.解法二中由2a2=b2+c2，a=5，cos A=2531，獲得（b+c）2=81即是由消元思想得到的.所以，在解三角形教學中，教師應適時培養學生“元”的觀念.

解法三：由題設知cos A=2531，A∈（0，π），所以sin A=1－cos2A=42131.

故tan A=sin Acos A=42125.

△ABC的面積S=12bcsin A=14（2bccos A）＼5tan A=14（b2+c2－a2）tan A=14（2a2－a2）tan A=14a2tan A=14×52×42125=21，所以bc=312.

由a2=（b+c）2－2bc－2bccos A，得52=（b+c）2－31－31×2531，所以b+c=9.

故△ABC的周長為14.

教學建議：已知cos A=2531，a=5，注意到余弦定理得a2=（b+c）2－2bc－2bccos A，所以要解決問題，只需解決bc的問題.在方程思想引領下，構建關于bc的方程，角A正弦值、正切值的求解，面積公式的參與，建立方程，求得bc.關注解題后數學思想和一般觀念的反思是解題教學的關鍵，“題目”是載體，思想的凝練、一般觀念的升華才解題的真正目的.3 反思

“新”高考特別強調考查基礎.要求學生深刻理解高中數學基本概念、基本思想方法以及數學問題的本質，重視數學知識的內在聯系.教師應在高中數學教學中多設置一些富有探究性的數學教學活動，引導學生深化數學概念，內化數學方法；在拓展學生的數學知識視野上下功夫，著力提升學生應用數學知識的靈活性和創造性及關鍵能力.

“新”高考強化對思維方法的考查.體現在以引導學生深度理解數學概念和深刻認識數學思想方法為載體提升學生思維的靈活性，指向思維的靈活性以深化基礎性的考查.要求學生具有較強的空間想象能力和分析問題的能力，能在抽象的情境中發現解決問題的關鍵.同時要求學生具備直觀想象、靈活運算、猜想與證明等方面的能力.

“新”高考對中學數學教學的引領性告訴我們，數學教學的核心任務之一是要培養學生的思維能力，使學生在掌握數學基礎知識的過程中，學會感知、觀察、歸納、類比、想象、抽象、概括、推理、證明和反思等邏輯思考的基本方法.教師在教學中要引導學生重視數學知識的發生發展過程，多設置一些可以對學生進行思維訓練的教學活動，通過多舉措給學生提供思維訓練的機會給學生，鍛煉學生的思維能力，引導學生學會用數學的眼光觀察世界、數學的思維思考世界、數學的語言表達世界.