高等數(shù)學(xué)創(chuàng)設(shè) 初等數(shù)學(xué)解決

摘要：基于高考命題中經(jīng)常出現(xiàn)一些與高等數(shù)學(xué)知識(shí)接軌的相關(guān)問(wèn)題，利用創(chuàng)新定義、公式應(yīng)用、步驟分解等幾個(gè)比較常見(jiàn)的方式創(chuàng)設(shè)情境，結(jié)合實(shí)例剖析高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間的巧妙過(guò)渡與鏈接，創(chuàng)新情境與創(chuàng)新應(yīng)用，引領(lǐng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考．

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；初等數(shù)學(xué)；創(chuàng)新定義；公式應(yīng)用；步驟分解

在一些高考數(shù)學(xué)試題或模擬題的設(shè)置中，以創(chuàng)新情境等方式來(lái)巧妙設(shè)置，利用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)來(lái)創(chuàng)設(shè)或應(yīng)用，是新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)命題的一常見(jiàn)命題方式與創(chuàng)新亮點(diǎn)，倍受各方關(guān)注．此類(lèi)創(chuàng)新應(yīng)用問(wèn)題，合理滲透初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)中等教育與高等教育之間的合理有機(jī)過(guò)渡與無(wú)縫銜接．

1 創(chuàng)新定義類(lèi)問(wèn)題

利用高等數(shù)學(xué)中一些概念、名稱(chēng)、相關(guān)知識(shí)等的初等數(shù)學(xué)化創(chuàng)新定義，通過(guò)初等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)重新簡(jiǎn)單定義高等數(shù)學(xué)問(wèn)題，結(jié)合合理推理論證或數(shù)學(xué)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)用初等數(shù)學(xué)知識(shí)解決創(chuàng)新問(wèn)題的目的．

例1［2022屆山東省臨沂市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷·8］設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為g（x），若在區(qū)間D上，g（x）＜0恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”．已知實(shí)數(shù)m為常數(shù)，f（x）=x412－mx36－3x2，若對(duì)滿(mǎn)足|m|≤1的任何一個(gè)實(shí)數(shù)m，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上都為“凸函數(shù)”，則b－a的最大值為（）.

A．4B．3C．2D．1

分析：根據(jù)題目條件中給出的“凸函數(shù)”的創(chuàng)新定義，通過(guò)對(duì)給定的函數(shù)f（x）進(jìn)行二次求導(dǎo)，結(jié)合二階導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間上的不等式恒成立進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，變換主元，將二次不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次不等式恒成立問(wèn)題，結(jié)合一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)確定變量的取值范圍，進(jìn)而確定區(qū)間“寬度”的最大值．

解析：由f（x）=x412－mx36－3x2，求導(dǎo)得f′（x）=x33－mx22－6x，二次求導(dǎo)得f″（x）=x2－mx－6.

根據(jù)“凸函數(shù)”的定義，當(dāng)|m|≤1時(shí)，f″（x）=x2－mx－6＜0恒成立，等價(jià)于當(dāng)|m|≤1時(shí)，關(guān)于m的一次函數(shù)h（m）=x2－mx－6＜0恒成立.

所以有h（－1）=x2+x－6lt;0，

h（1）=x2－x－6lt;0，解得－2＜x＜2.

從而b－a的最大值為2－（－2）=4.

故選擇答案：A．

點(diǎn)評(píng)：借助高等數(shù)學(xué)中的“凸函數(shù)”進(jìn)行創(chuàng)新定義，結(jié)合初等數(shù)學(xué)中一些基本初等函數(shù)的求導(dǎo)與運(yùn)算，綜合函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破與解決．以創(chuàng)新定義的形式來(lái)實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)知識(shí)與高中基本初等函數(shù)之間的鏈接．

2 公式應(yīng)用類(lèi)問(wèn)題

利用高等數(shù)學(xué)中一些定理、性質(zhì)、公式等的初等數(shù)學(xué)化表示，結(jié)合初等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)展開(kāi)與構(gòu)建，合理利用推理論證或數(shù)學(xué)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)借助高等數(shù)學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)單快捷解決一些初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的．

例2［2022屆陜西省渭南市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（Ⅰ）數(shù)學(xué)理科試卷·12］設(shè)a=10.99，b=e0.01，c=1.02，則（ ）.

A．a(chǎn)gt;bgt;cB．bgt;cgt;a

C．bgt;agt;cD．cgt;bgt;a

分析：根據(jù)題目條件，合理聯(lián)系條件中分式、指數(shù)式、根式等對(duì)應(yīng)的泰勒公式，利用泰勒公式的展開(kāi)式所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，快捷解決對(duì)應(yīng)代數(shù)式的大小比較問(wèn)題．

解析：根據(jù)泰勒公式，得

ex=1+x+x22！+x33！+……

11－x=1+x+x2+x3+……

1+2x=1+121！×2x+1212－12！×4x2+1212－112－23！×8x3+……=1+x－12x2+12x3－……

故a=10.99=11－0.01=1+0.01+0.012+……

b=e0.01=1+0.01+12×0.012+……

c=1.02=1+0.01－12×0.012+……

由上各展開(kāi)式的關(guān)系，可知agt;bgt;c.

故選擇答案：A．

點(diǎn)評(píng)：借助高等數(shù)學(xué)中的泰勒公式，利用泰勒公式的展開(kāi)，并結(jié)合三個(gè)代數(shù)式在泰勒公式條件下的進(jìn)一步轉(zhuǎn)化以及相應(yīng)的結(jié)構(gòu)特征，可以簡(jiǎn)單快捷地比較大小．泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的拓展與課外提升部分，是高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的知識(shí)點(diǎn)．

3 步驟分解類(lèi)問(wèn)題

利用高等數(shù)學(xué)中一些解題步驟、技巧策略等的初等數(shù)學(xué)化分解，在初等數(shù)學(xué)背景下按部就班，通過(guò)初等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)合理推理論證或數(shù)學(xué)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)用初等數(shù)學(xué)知識(shí)解決高等數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的．

例3（福建省莆田市2022屆高中畢業(yè)班第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷·12）（多選題）意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（Cardano. Girolamo，1501—1576）發(fā)明了三次方程的代數(shù)解法．17世紀(jì)人們把卡爾達(dá)諾的解法推廣并整理為四個(gè)步驟：

第一步，把方程x3+a2x2+a1x+a0=0中的x用x－a23來(lái)替換，得到方程x3+px+q=0；

第二步，利用公式x3+y3+z3－3xyz=（x+y+z）（x+ωy+ω2z）（x+ω2y+ωz）將x3+px+q因式分解；

第三步，求得y，z的一組值，得到方程x3+px+q=0的三個(gè)根：－y－z，－ωy－ω2z， －ω2y－ωz（其中ω=－1+3i2，i為虛數(shù)單位）；

第四步，寫(xiě)出方程x3+a2x2+a1x+a0=0的根：x1=－a23－y－z，x2=－a23－ωy－ω2z，x3=－a23－ω2y－ωz．

某同學(xué)利用上述方法解方程8x3－12x2－42x+55=0時(shí)，得到y(tǒng)的一個(gè)值：－1+i，則下列說(shuō)法正確的是（）.

A．a(chǎn)2=－32 B．yz=2

C．x2=－12+3 D．x3=－1－3

分析：根據(jù)題目條件，結(jié)合卡爾達(dá)諾的三次方程代數(shù)解法的四個(gè)步驟的說(shuō)明與理解，按部就班，逐一展開(kāi)與分析，綜合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算加以計(jì)算與處理，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)說(shuō)法的正確性．

解析：第一步，由8x3－12x2－42x+55=0，可得x3－32x2－214x+558=0，則有a2=－32，用x+12替換x，則有x+123－32x+122－214x+12+558=0，即x3－6x+4=0；

第二步，根據(jù)公式，有－3xyz=－6x，y3+z3=4，則有yz=2，由y=－1+i，可得z=2－1+i=－1－i；

第三步，方程x3－6x+4=0的三個(gè)根為－（－1+i）－（－1－i），－ω（－1+i）－ω2（－1－i）， －ω25（－1+i）－ω（－1－i）（其中ω=－1+3i2，i為虛數(shù)單位）；

第四步，方程8x3－12x2－42x+55=0的三個(gè)根為x1=12－（－1+i）－（－1－i），x2=12－ω（－1+i）－ω2（－1－i），x3=12－ω2（－1+i）－ω（－1－i）（其中ω=－1+3i2，i為虛數(shù)單位），計(jì)算可得x1=52，x2=－12+3，x3=－12－3.

綜上分析，故選擇答案：ABC．

點(diǎn)評(píng)：借助高等數(shù)學(xué)中卡爾達(dá)諾的三次方程代數(shù)解法的步驟分解，結(jié)合數(shù)學(xué)運(yùn)算、代數(shù)式的變形、因式分解以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算等的綜合應(yīng)用．此類(lèi)問(wèn)題涉及高等數(shù)學(xué)中的一些解題步驟的初等數(shù)學(xué)分解，關(guān)鍵就是按照說(shuō)明按部就班，綜合推理論證或數(shù)學(xué)運(yùn)算加以解決．

通過(guò)高等數(shù)學(xué)中的某個(gè)數(shù)學(xué)概念的初等化定義或初等化應(yīng)用、某個(gè)定理公式的展開(kāi)與應(yīng)用、某個(gè)解題步驟過(guò)程的初等化分解等創(chuàng)新設(shè)置，實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)知識(shí)初等化，借助定義的理解、公式的應(yīng)用、步驟的分析等加以拓展，從而實(shí)現(xiàn)相關(guān)知識(shí)在內(nèi)涵與外延上的突破，考查學(xué)生的閱讀理解能力、推理論證能力等，也對(duì)學(xué)生后續(xù)進(jìn)入高校學(xué)習(xí)所具備的基本能力加以合理區(qū)分與選拔．