復(fù)合函數(shù)巧求導(dǎo) 精設(shè)結(jié)構(gòu)妙成章

摘要：高中數(shù)學(xué)中，對(duì)二次曲線切線方程的考查熱度有所提升，經(jīng)常遇到求切線的問(wèn)題，一般采用解方程組法，運(yùn)算量大，過(guò)程繁瑣，為了解決這個(gè)問(wèn)題，特此找到了與求圓的切線方程的統(tǒng)一方法.本文中通過(guò)梳理解決求二次曲線切線及切點(diǎn)弦方程的問(wèn)題，由淺入深，通過(guò)原創(chuàng)性方法引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用過(guò)程，以期能夠進(jìn)一步提高學(xué)生的解題能力以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：切線；切點(diǎn)弦；原創(chuàng)性

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)點(diǎn)Px0，y0在直線Ax+By+C=0上，則有Ax0+By0+C=0.將C=－Ax0－By0代入直線方程，得Ax+By－Ax0－By0=0，即Ax－x0+By－y0=0.這個(gè)式子的幾何意義為n→·m→=0，其中n→=A，B，m→為直線l的一個(gè)方向向量x－x0，y－y0.

如圖1，m→=PM，n→=A，B，n→為直線l的法向量.

2 關(guān)于圓的切線方程

（1）過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程

已知圓C方程為x－a2+y－b2=r2，若Px0，y0在圓上，則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為x0－ax－a+y0－by－b=r2；若Px0，y0在圓外，過(guò)P作圓的兩條切線PA，PB，則切點(diǎn)弦AB所在直線的方程為x0－ax－a+y0－by－b=r2.

如圖2，Px0，y0為圓C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的切線為l，則CP⊥l.

故CP=x0－a，y0－b為直線l的法向量.

設(shè)直線l：x0－ax－a+y0－by－b+c=0，又l過(guò)點(diǎn)Px0，y0，且點(diǎn)Px0，y0在圓C上，則x0－a2+y0－b2+c=0，所以c=－r2.

故過(guò)圓上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線l的方程為x0－ax－a+y0－by－b=r2.

（2）過(guò)圓外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程

如圖3，Px0，y0為圓C外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線PA，PB，其中Ax1，y1，Bx2，y2，可知直線PA，PB的方程分別為

x1－ax－a+（y1－b）（y－b）=r2；

（x2－a）（x－a）+y2－by－b=r2.

又因?yàn)辄c(diǎn)Px0，y0在直線PA，PB上，所以，

x1－ax－a+y1－by－b=r2，

x2－ax－a+y2－by－b=r2.

由此可知點(diǎn)A，B均在直線x－ax0－a+y－by0－b=r2上.

所以切點(diǎn)弦AB所在直線的方程為

x－ax0－a+y－by0－b=r2.

特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)，圓C的方程為x2+y2=r2時(shí)，有以下兩個(gè)結(jié)論：

①若點(diǎn)Px0，y0在圓C上時(shí)，則過(guò)Px0，y0的切線方程為xx0+yy0=r2；

②若點(diǎn)Px0，y0在圓C外時(shí)，過(guò)P可作兩條切線PA，PB，則切點(diǎn)弦AB所在直線的方程為xx0+yy0=r2.

3 關(guān)于橢圓的切線及切點(diǎn)弦所在直線方程

（1）過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程

受過(guò)圓上一點(diǎn)切線方程推導(dǎo)的啟發(fā)，可以先通過(guò)求導(dǎo)求切線的斜率，進(jìn)而得到切線的法向量，切線方程設(shè)出精巧結(jié)構(gòu)，便于后面代點(diǎn).

設(shè)P（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，由已知得y2b2=1－x2a2，兩邊求導(dǎo)得2yb2·y′=－2xa2.

所以y′x=x0=－b2x0a2y0.

故直線的法向量可取為（x0a2，y0b2），可設(shè)切線方程為xx0a2+yy0b2=m，其中m待定.

由點(diǎn)（x0，y0）在切線上，可得m=1.

因此，過(guò)橢圓上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為

xx0a2+yy0b2=1 .

如果點(diǎn)P（x0，y0）在坐標(biāo)軸上，很容易檢驗(yàn)符合上式.

（2）過(guò)橢圓外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程

設(shè)P（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）外一點(diǎn)，則與點(diǎn)P相應(yīng)的切點(diǎn)弦所在直線方程仿圓的切點(diǎn)弦方程一樣可以證得為xx0a2+yy0b2=1 .

4 關(guān)于雙曲線的切線及切點(diǎn)弦所在直線方程

已知P（x0，y0） 為雙曲線x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）上（外）一點(diǎn)，同理可得過(guò)P點(diǎn)的切線（或相應(yīng)的切點(diǎn)弦所在直線）方程為xx0a2－yy0b2=1.

5 關(guān)于拋物線的切線及切點(diǎn)弦所在直線方程

設(shè)P（x0，y0）為拋物線y2=2px（pgt;0）上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，兩邊求導(dǎo)得2y·y′=2p，則y′|x=x0=py0.

所以可取切線的法向量為（p，－y0），切線方程可設(shè)為px－y0y+c=0.

又P（x0，y0）既在拋物線上又在切線上，所以有y20=2px0，

px0－y20+c=0，故c=px0.

所以，過(guò)拋物線上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為

y0y=p（x+x0）.

若P為頂點(diǎn)（0，0），切線符合上式.同理可以推證拋物線切點(diǎn)弦所在直線方程為y0y=p（x+x0） .

從上面的推導(dǎo)過(guò)程可得，若點(diǎn)在二次曲線上只要將x2，y2，x，y，（x－a）2，（y－b）2換成相應(yīng)的xx0，yy0，x+x02，y+y02，（x－a）（x0－a），（y－b）（y0－b），即可得到相應(yīng)的切線或切點(diǎn)弦所在直線方程.

例1過(guò)點(diǎn)P（1，-2）作圓C：x2+y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（）.

A．x+2y-1＝0B．y=－12

C．y=－32D．x-2y-1＝0

解析：切點(diǎn)弦AB所在直線的方程為 x·1+y·（－2）=1，即x-2y-1=0.故選：D.

變式（2021秋5開福區(qū)校級(jí)月考）已知圓x2+y2＝25，則過(guò)圓上一點(diǎn)A（3，4）的切線方程為（）.

A．3x+4y-25＝0B．4x+3y-24＝0

C．3x-4y+7＝0D．4x-3y＝0

解析： 切線方程為x·3+y·4=25，即3x+4y-25=0.故選：A.

例2（2019年全國(guó)卷Ⅲ）已知曲線C：y=x22，D為直線y=－12上的動(dòng)點(diǎn)， 過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.

（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；

（2）若以E0，52為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.

解：（1）設(shè)Dt，－12，則切點(diǎn)弦AB所在直線的方程為y－122=xt2，即2tx-2y+1=0.

所以直線AB過(guò)定點(diǎn)0，12.

第（2）問(wèn)略.

以二次曲線為背景，通過(guò)深入研究切線及切點(diǎn)弦問(wèn)題[1]，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.根據(jù)上述幾點(diǎn)結(jié)論，讓學(xué)生感受切線及切點(diǎn)弦問(wèn)題[2]的豐富內(nèi)涵以及突破高中數(shù)學(xué)中切線及切點(diǎn)弦問(wèn)題的多種途徑.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉佐． 二次曲線的切點(diǎn)弦的性質(zhì)［J］．考試周刊，2013（25）：58-59.

[2]張潤(rùn)澤． 橢圓、雙曲線切點(diǎn)弦的幾個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用［J］． 福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（10）：4-6.