例談遞推公式an+1+an=f(n)中不同類型的f(n)問題

摘要：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)課程的主要內(nèi)容，其中數(shù)列涉及到的主要題型包括求解數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的前n項(xiàng)和等.常見的形如an+1－an=f（n）的遞推公式問題可以利用累加法求解對應(yīng)的通項(xiàng)公式，但若遞推公式為an+1+an=f（n）時(shí)又該如何求解呢？本文中結(jié)合具體案例，針對遞推關(guān)系an+1+an=f（n）中f（n）為不同類型式子的問題進(jìn)行了分析，并給出了相應(yīng)的解題思路和方法.

關(guān)鍵詞：遞推公式；數(shù)列通項(xiàng)；解題思路

1 f（n）為一次函數(shù)型

當(dāng)遞推關(guān)系an+1+an=f（n）中f（n）為一次函數(shù)形式時(shí)，利用分組求通項(xiàng)公式再求和的方法求解.一般根據(jù)題目條件分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)分別求通項(xiàng)公式，再將其合并整理得對應(yīng)的數(shù)列通項(xiàng)公式.利用此方法求解通項(xiàng)公式的解題步驟為：①根據(jù)實(shí)際條件，確定所求數(shù)列的類型，并求其首項(xiàng)和公差（或公比）；②利用已知的首項(xiàng)，公差（或公比）的值，分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)討論并求得對應(yīng)的通項(xiàng)公式；③將上述所得結(jié)果合并整理，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例1已知數(shù)列an滿足a1=2，an+1+an=4n+3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

分析：首先利用an+1+an=4n+3表示出an+1+an+2=4n+7，確定數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，再由此分析n分為奇偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式，即an=2n和an=2n+1，最后整合得數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解： 由題意可得

an+1+an=4n+3①

an+1+an+2=4n+7②

②－①，可得an+2-an=4.

所以，數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，且a2=5.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=2+n+12－1×4=2n；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=5+n2－1×4=2n+1.

因此，an=2n+121+（－1）n.

變式1已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1+an=－4n+1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式［1］.

分析：該變式與例1略微不同，即f（n）=－4n+1，但解題思路仍與例1一致.

解： 由題意可得

an+1+an=－4n+1 ③

an+1+an+2=－4n－3④

②－①，可得an+2-an=－4.

所以，數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差為－4的等差數(shù)列，且a2=－4.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=1－n+12－1×4=－2n+3；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=－4-n2－1×4=－2n.

綜上所述，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=－2n－32（－1）n－1.

2 f（n）為指數(shù)型

當(dāng)遞推關(guān)系an+1+an=f（n）中f（n）為指數(shù)型時(shí)，求其通項(xiàng)公式可以利用分解變量構(gòu)造等比數(shù)列，將已知的遞推關(guān)系an+1+an=f（n）分離變量，得到an+1－k·fn+1=－［an－k·f（n）］（k為常數(shù)），再利用等比數(shù)列an－k·f（n）的通項(xiàng)公式求解.利用此方法求解通項(xiàng)公式，解題步驟為：①結(jié)合實(shí)際問題，將已知式子分離變量得到an+1－k·fn+1=－［an－k·f（n）］；②根據(jù)上述等式確定等比數(shù)列an－k·f（n）的通項(xiàng)公式；③利用等比數(shù)列an－k·f（n）的通項(xiàng)公式求解數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

例2在數(shù)列an中，a1=1，an+1+an=2n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

分析：解答本例首先對數(shù)列進(jìn)行假設(shè)，令an+1－k·2n+1=－an－k·2n，并與條件an+1+an=2n進(jìn)行比較，解得k=13，由此求得等比數(shù)列an－13·2n的公比和首項(xiàng)，從而求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式，即an=2n+（－1）n－13.

解析：令an+1－k·2n+1=－an－k·2n，則整理為an+1+an=3k·2n.

根據(jù)條件an+1+an=2n，可得k=13.

故an+1－13·2n+1=－an－13·2n.

由a1=1，可得a1－13×2=13.

所以，數(shù)列an－13·2n是一個(gè)首項(xiàng)為13，公比為－1的等比數(shù)列.

因此an－13·2n=13·（－1）n－1.

故an=2n+（－1）n－13.

變式2在數(shù)列an中，a1=1，an+1+an=13n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

分析： 解答該題首先對數(shù)列進(jìn)行假設(shè)，令an+1－k·13n+1=－an－k·13n，則an+1+an=4k313n，結(jié)合條件得到常數(shù)k=34，由此引入新等比數(shù)列bn=an－32·13n，并求出其對應(yīng)的公比和首項(xiàng)，從而得到數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：令an+1－k·13n+1=－an－k·13n，整理為an+1+an=4k313n.

結(jié)合條件an+1+an=13n，可得k=34.

故an+1－34·13n+1=－an－34·13n.

而a1－34×13=34，令bn=an－34·13n，則數(shù)列｛bn｝是首項(xiàng)為34，公比為－1的等比數(shù)列.

所以an－34·13n=34·（－1）n－1.

因此an=34（－1）n+13n.

3 f（n）為分式型

求解f（n）為分式型的遞推關(guān)系an+1+an=f（n）對應(yīng)的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)并構(gòu)造是解題的有 效手段.裂項(xiàng)并構(gòu)造，指的是將遞推關(guān)系an+1+an=f（n）中的分式f（n）進(jìn)行裂項(xiàng)，并以此構(gòu)造數(shù)列求解.利用此方法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般的解題步驟為：①根據(jù)實(shí)際問題中的f（n）的特點(diǎn)進(jìn)行裂項(xiàng)，變?yōu)間（n）－h(huán)（n）的形式；②利用裂項(xiàng)所得的式子構(gòu)造新數(shù)列并求解［2］.

例3已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1+an=2n2+2n，則a10=.

分析：已知分式2n2+2n可裂項(xiàng)為1n－1n+2，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式可以用an=Sn－Sn－1（n≥2）表示，當(dāng)n=10時(shí)，則有a10=S10－S9，利用1n－1n+2裂項(xiàng)相消的特點(diǎn)，可求出a10.

解：設(shè)Sn為｛an｝的前n項(xiàng)和.由題意，得

an+1+an=2n2+2n=1n－1n+2.

所以a10=S10－S9=a1+a2+a3+a4+……+a9+a10－a1－［（a2+a3）+……+（a8+a9）］=1－13+13－15+……+19-111-1－12－14+……+18－110=1－111-1－12－110=-2755.

因此，a10=-2755.

變式3已知數(shù)列an，a1=1，an+1+an=1n2+2n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

分析：與例題3解題思路大致相同，將遞推關(guān)系式右邊分式1n2+2n裂項(xiàng)為121n－1n+2，所以數(shù)列的通項(xiàng)an可以用an=Sn－Sn－1（n≥2）表示.根據(jù)裂項(xiàng)表達(dá)式的特點(diǎn)變?yōu)間（n）－h(huán)（n），即可得到該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解析：由題意，得an+1+an=121n－1n+2.

當(dāng)n=2k（k∈N*）時(shí)，

Sn=a1+a2+……+an－1+an

=a1+a2+a3+a4+……+an－1+an

=121－13+13－15+……+1n－1－1n+1

=121－1n+1=n2n+1;

當(dāng)n=2k+1（k∈N*）時(shí)，

Sn=a1+a2+……+an－1+an

=a1+a2+a3+a4+a5+……+（an－1+an）

=1+1212－14+14－16+……+1n－1－1n+1

=1+1212－1n+1=5n+34n+1.

所以，當(dāng)n=2k時(shí)，

an=Sn－Sn－1=n2n+1－5n－24n

=-3n2-3n+24n（n+1）;

當(dāng)n=2k+1時(shí)，

an=5n+34n+1－n－12n=3n2+3n+24nn+1.

綜上，可得an=（－1）n+13n（n+1）+24nn+1.

求解an+1+an=f（n）型的數(shù)列的通項(xiàng)公式，具體運(yùn)用哪種方法求解要根據(jù)f（n）的形式確定.總之，與an+1+an=f（n）有關(guān)的遞推關(guān)系中，f（n）涉及的類型主要為本文中所介紹的一次函數(shù)型、指數(shù)型和分式型，其中一次函數(shù)型和指數(shù)型都可以利用分組求通項(xiàng)然后合并的方式求解，視實(shí)際情況而定.解題時(shí)，不僅要掌握形如an+1+an=f（n）求通項(xiàng)公式這一類問題的答題思路，還要做到靈活變通，對不同的遞推公式采取不同的解題策略.

參考文獻(xiàn)：

［1］袁勝藍(lán)，袁野.高中數(shù)學(xué)數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種求法[J].六盤水師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2019（3）：117-120.

［2］王福水.一類遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019（5）：56-57.