高考數(shù)學(xué)對(duì)球體考查的新動(dòng)向

摘要：高考數(shù)學(xué)學(xué)科中以球體為背景的試題常涉及錐體、柱體、臺(tái)體的內(nèi)切、外接問題，關(guān)于球體體積和表面積的考查常以選擇、填空題的形式出現(xiàn).本文中結(jié)合2022年高考試題，例析并歸納與球體有關(guān)的交匯知識(shí)，呈現(xiàn)高考命題的新特點(diǎn)與新方向.

關(guān)鍵詞：高考；球體；知識(shí)交匯

2022年高考數(shù)學(xué)學(xué)科的命題在踐行立德樹人為根本教育任務(wù)的同時(shí)，新情境、數(shù)學(xué)文化、知識(shí)交匯等成為一道亮麗的風(fēng)景線.高考試題情境緊密聯(lián)系生活實(shí)際，突出數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)作用，不同模塊的知識(shí)交匯成為新的命題動(dòng)向.

以往高考中與球體有關(guān)的考查，主要以確定球心位置和球半徑為背景，以球體的體積和表面積計(jì)算為主要考查內(nèi)容，涉及柱體、椎體的切、接問題，考查方式以選擇、填空題為主.隨著新高考的改革，球體與臺(tái)體的切、接問題已成為基礎(chǔ)考點(diǎn)，在考查球體基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，又出現(xiàn)了結(jié)合學(xué)科內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，側(cè)重于知識(shí)交匯的命題設(shè)計(jì)[1].既對(duì)球體基礎(chǔ)知識(shí)的考查達(dá)到必要的深度，又把不同模塊的數(shù)學(xué)知識(shí)交匯融合，通過數(shù)學(xué)知識(shí)的類比、聯(lián)想、遷移和應(yīng)用，體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)整體性的綜合理解與靈活應(yīng)用.

1 球體與集合的交匯

例1（2022·北京卷·9）已知正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6，S是△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合T=Q∈SPQ≤5，則T表示的區(qū)域的面積為（）.

A.3π4B.πC.2πD.3π

分析：本題考查以P為球心，5為半徑的球被底面ABC所截，求得截面圓的半徑后再求區(qū)域的面積.

解：如圖1，設(shè)頂點(diǎn)P在底面上的投影為點(diǎn)O.連接BO，則O為三角形ABC的中心，BO=23×6×32=23，故PO=36－12=26.因?yàn)镻Q=5，所以O(shè)Q=1.故Q的軌跡為以O(shè)為圓心，1為半徑的圓面.而△ABC的內(nèi)切圓圓心為O，半徑為2×34×363×6=3gt;1，故Q的軌跡圓面在三角形ABC內(nèi)部，故其面積為π.

故選：B.

2 球體與不等式的交匯

例2（2022·全國(guó)乙卷·文12理9）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）.

A.13B.12C.33D.22

分析：先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為2r2，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理求四棱錐體積的最大值.“若a1，a2，……，an均為正數(shù)，則a1+a2+……+ann≥na1a2……an，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=……=an（n≥2，n∈N）時(shí)等號(hào)成立.”求“積”的最值，湊“和”為定值，因此首先配變量的次數(shù)相同，把變量放到根號(hào)內(nèi)使次數(shù)升高，再配“和”為定值，且取到等號(hào)，從而得到該四棱錐的體積最大時(shí)高的值.

解：設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，且四邊形ABCD的對(duì)角線夾角為α，則四邊形ABCD的面積SABCD=12AC·BDsin α≤12AC·BD=2r2，當(dāng)α=π2時(shí)SABCD=2r2，即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面所在圓的距離一定時(shí)，亦即底面四邊形ABCD為正方形時(shí)有最大面積（SABCD）max=2r2.又球的半徑、正方形ABCD所在圓的半徑r與四棱錐的高h(yuǎn)滿足r2+h2=1，由此可得VO-ABCD=13Sh=13×2r2h=23r2·r2·2h2≤23r2+r2+2h233=4327，當(dāng)且僅當(dāng)r2=2h2，即h=33時(shí)，等號(hào)成立.

故選：C.

3 球體與旋轉(zhuǎn)體的結(jié)合

例3（2020·新課標(biāo)Ⅲ·文16理15）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.

分析：將原問題轉(zhuǎn)化為求圓錐內(nèi)切球體積的問題，結(jié)合軸截面為三角形，利用解三角形知識(shí)確定球的半徑即可.設(shè)圓錐的底面圓半徑為R，軸截面等腰三角形的周長(zhǎng)為C，高為h，則內(nèi)切球半徑r滿足Rh=12rC，即r=2RhC.

解：易知半徑最大的球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖2所示，其中BC=2，AB=AC=3，且M為BC邊上的中點(diǎn).設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，半徑為r.由于AM=22，則S△ABC=12×2×22=22.由S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12（AB+BC+AC）r=22，可得r=22.

所以，內(nèi)切球的體積V=43πr3=23π.

故答案為：23π.

4 球體與多面體的結(jié)合

例4（2022·新高考Ⅱ卷·7）已知正三棱臺(tái)的高為1，上下底面邊長(zhǎng)分別為33和43，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）.

A.100πB.128π

C.144πD.192π

分析：本題考查球的表面積計(jì)算公式.根據(jù)題意可以利用正三角形性質(zhì)求出正三棱臺(tái)上下底面外接圓的的半徑，根據(jù)球心距、底面外接圓的半徑以及球的半徑之間的關(guān)系建立等式，可以求出正三棱臺(tái)外接球的半徑，從而求得球的表面積.

解：設(shè)正三棱臺(tái)外接球的半徑為R，上下底面所在圓的的半徑分別為r1，r2.根據(jù)正三角形外接圓半徑計(jì)算公式，可得r1=23×32×33=3，r2=23×32×43=4.設(shè)球心到棱臺(tái)上下底面的距離分別為d1，d2，則d1=R2－9，d2=R2－16.因?yàn)榍蛐奈恢貌淮_定，所以有兩種情況.①球心在上下圓心連線內(nèi)部，則d1+d2=1；②球心在上下圓心連線延長(zhǎng)線上，則d1－d2=1.由此解得R=5，所以球的表面積為S=4πR2=100π.

故選：A.

高中數(shù)學(xué)課程知識(shí)以單元或模塊的形式呈現(xiàn)，兩個(gè)（或多個(gè)）知識(shí)為什么會(huì)產(chǎn)生交匯，關(guān)鍵是要理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突破知識(shí)界限，活躍思維方式，感受數(shù)學(xué)是一個(gè)整體.

那么引起知識(shí)交匯的原因又有哪些呢？筆者從以下幾個(gè)方面進(jìn)行分析.

①數(shù)學(xué)文化的滲透，可以從不同的角度拓展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，開闊學(xué)生思維，促使學(xué)生去創(chuàng)新，去思考，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)人文精神，繼承傳統(tǒng).因此，數(shù)學(xué)文化成為多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)交匯融合的一種載體.

②核心知識(shí)如集合、函數(shù)、不等式等在各自的發(fā)展過程中相互聯(lián)系，始終是貫穿高中數(shù)學(xué)知識(shí)的主線，揭示了知識(shí)與知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，這種聯(lián)系能使我們運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)解決同一個(gè)問題.因此，核心知識(shí)的應(yīng)用是眾多知識(shí)交匯的焦點(diǎn).

③思維導(dǎo)圖，可讓各模塊之間的聯(lián)系更加緊密，焦點(diǎn)集中，層次分明，節(jié)點(diǎn)相連，把零散的知識(shí)有機(jī)整合，形成系統(tǒng).因此，思維導(dǎo)圖為眾多知識(shí)交匯牽線搭橋.

④思維方式的不同，解題時(shí)捕捉到的題目信息與大腦中原有的信息有效結(jié)合方式不同，所產(chǎn)生的的解題思想就不同.把握數(shù)學(xué)解題中的通性通法，科學(xué)有效地構(gòu)建解題思維鏈，數(shù)學(xué)思維方法的應(yīng)用是眾多知識(shí)交匯的核心.

總之，2022年高考數(shù)學(xué)對(duì)球體知識(shí)的考查多以球體為背景，創(chuàng)設(shè)命題情境，突破知識(shí)界限，更巧妙、更新穎地交匯命題，是2022年高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)新動(dòng)向.一線數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)予以重視.

參考文獻(xiàn)：

[1]虞關(guān)壽.引起數(shù)學(xué)知識(shí)交匯的幾個(gè)“關(guān)鍵詞”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2007（2）：16-18.