單元教學(xué)模式下“點(diǎn)到直線的距離”的新課教學(xué)探究

本節(jié)課是普通高中教科書(shū)蘇教版選擇性必修一第一章第五節(jié)第二課時(shí)，它是平面解析幾何“直線”這一章內(nèi)容的最后一節(jié).主要內(nèi)容就是點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)及應(yīng)用.為了讓學(xué)生將本章知識(shí)熟悉地帶到這節(jié)新課的公式推導(dǎo)中，筆者采用了單元教學(xué)的模式來(lái)設(shè)計(jì)本節(jié)課.以下是本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程及設(shè)計(jì)思路.

活動(dòng)一：實(shí)例引入.

如圖1，某漁排M的施工船P正在海中進(jìn)行施工作業(yè)，接到臺(tái)風(fēng)預(yù)警通知：某臺(tái)風(fēng)在海洋中成型，其中心為T(mén)，已知臺(tái)風(fēng)的影響范圍是半徑為r的圓形，運(yùn)行軌跡為與漁排一邊平行的直線.請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合圖2用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，來(lái)說(shuō)說(shuō)由此實(shí)例，能提出哪些問(wèn)題？

設(shè)計(jì)思路：用了常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題引入，但又用了不常規(guī)的開(kāi)放性式提問(wèn)，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)審視這個(gè)世界，充分調(diào)動(dòng)他們的積極性，讓他們發(fā)散性地去思索這個(gè)實(shí)例能帶來(lái)的問(wèn)題，并且用數(shù)學(xué)的思維來(lái)思考解決所提出的問(wèn)題.讓他們體會(huì)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的轉(zhuǎn)化過(guò)程以及用數(shù)學(xué)的思維來(lái)反饋解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

活動(dòng)二：提煉思維，引出課題（如圖3）.設(shè)計(jì)思路：對(duì)前面學(xué)生所提出的三個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用單元教學(xué)模式的思想，提煉成三個(gè)距離問(wèn)題.（1）兩點(diǎn)之間距離（已學(xué)知識(shí)）；（2）點(diǎn)到直線距離（本課所學(xué)）；（3）直線到直線之間的距離（本課知識(shí)擴(kuò)充）.再借助兩點(diǎn)之間距離公式的推導(dǎo)方法進(jìn)而衍生點(diǎn)到直線距離的推導(dǎo)方法，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化出兩平行直線之間的距離公式的推導(dǎo)方法.

活動(dòng)三：深入探究，推導(dǎo)公式（如圖4）.組織學(xué)生分組討論，把推導(dǎo)點(diǎn)到直線距離公式的三種方法具體化，讓學(xué)生對(duì)具體的思維明朗化.接下去，學(xué)生分組推導(dǎo)公式并上臺(tái)展示.

生甲：法一.由l：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0），PQ⊥l，得直線PQ：y-y0=BA（x-x0）.聯(lián)立解得x=B2x0-ABy0-ACA2+B2，

y=A2y0-ABx0-BCA2+B2.

則｜PQ｜=B2x0-ABy0-ACA2+B2-x02+A2y0-ABx0-BCA2+B2-y02

=A2（Ax0+By0+C）2（A2+B2）2+B2（Ax0+By0+C）2（A2+B2）2

=|Ax0+By0+C|A2+B2.

生乙：法一可用整體思想進(jìn)行改進(jìn).設(shè)點(diǎn)Q（x1，y1），則Ax1+By1+C=0，

y1-y0=BA（x1-x0），

即A（x1-x0）+B（y1-y0）=-（Ax0+By0+C），

A（y1-y0）-B（x1-x0）=0.

兩式分別平方并相加，得

（A2+B2）［（x1-x0）2+（y1-y0）2］=（Ax0+By0+C）2.

即|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

通過(guò)整體思想，能簡(jiǎn)化運(yùn)算.

生丙：法二.設(shè)M（x1，y0），N（x0，y2），由點(diǎn)M，N在直線l上可解得x1=-By0-CA，y2=-Ax0-CB.

所以|PM|=|x1-x0|=Ax0+By0+CA，

|PN|=|y2-y0|=Ax0+By0+CB.

又PQ是Rt△PMN斜邊上高，則

｜PQ｜=｜PM｜·｜PN｜｜MN｜=｜PM｜·｜PN｜PM2+PN2，

化簡(jiǎn)，得｜PQ｜=|Ax0+By0+C|A2+B2.

生丁：法三.設(shè)點(diǎn)T（x，y），則PT2=（x-x0）2+（y-y0）2，消去y化簡(jiǎn)，得

PT2=（A2+B2）x2-2（B2x0-ABy0-AC）x+B2x20+（By0+C）2B2.

當(dāng)x=B2x0-A（By0+C）A2+B2時(shí)，PT2min=（Ax0+By0+C）2A2+B2，即｜PQ｜=|Ax0+By0+C|A2+B2.

生戊：以上的解答都要對(duì)A=0及B=0加以檢驗(yàn).

A=0時(shí)，l：y=-CB，距離d=|y0-y|=|By0+C|B2，滿(mǎn)足；

B=0時(shí)，l：x=-CA，距離d=|x0-x|=|Ax0+C|A2，滿(mǎn)足.

所以，點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

設(shè)計(jì)思路：以學(xué)生小組討論的方式，并用流程圖的形式把三種方法的思維明朗化.在此過(guò)程中，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，并且使他們對(duì)三種方法的理解更加徹底.之后讓學(xué)生分組合作推導(dǎo)公式以加深學(xué)生對(duì)方法的理解及提升處理多參數(shù)的運(yùn)算能力.在運(yùn)算的過(guò)程中，學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)法一可通過(guò)整體思想來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算，可以此加深學(xué)生對(duì)整體思想的運(yùn)用，這樣為以后直線與圓及直線與圓錐曲線中的整體計(jì)算打下鋪墊.最后，由學(xué)生來(lái)指出推導(dǎo)過(guò)程要縝密并對(duì)特殊情況加以驗(yàn)證.這樣，既增強(qiáng)了學(xué)生的邏輯思維能力和合作能力，又加深了數(shù)學(xué)思維的縝密性，一舉多得.

活動(dòng)四：運(yùn)用公式，加深理解.

引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)兩條平行直線Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0（C1≠C2）之間的距離公式.

生：兩條平行直線間的距離，在一條直線上取點(diǎn)，即可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.

過(guò)程如下：在Ax+By+C1=0上取點(diǎn)P（x0，y0），則點(diǎn)P（x0，y0）到直線Ax+By+C2=0的距離

d=|Ax0+By0+C2|A2+B2.

又Ax0+By0+C1=0，即Ax0+By0=-C1，則

d=|-C1+C2|A2+B2=|C1-C2|A2+B2.

師：至此，回到板書(shū)，就可補(bǔ)充完整了.

例1分別求點(diǎn)P（-1，2）到下列直線的距離：

（1）y=-2x+10；（2）3y+5=0；（3）3x=2.

例2求兩條平行直線x+3y-4=0與2x+6y-9=0之間的距離.

例3已知直線l過(guò)原點(diǎn)，且點(diǎn)M（5，0）到直線l的距離為3，求直線l的方程.

設(shè)計(jì)思路：通過(guò)推導(dǎo)兩條平行直線間的距離公式加深學(xué)生對(duì)形的認(rèn)識(shí)以及形轉(zhuǎn)化為數(shù)的能力，并且加深對(duì)點(diǎn)到直線距離公式的理解.通過(guò)例1加深學(xué)生對(duì)公式的運(yùn)用并且對(duì)直線垂直于x軸或平行于x軸這兩種特殊情況的認(rèn)識(shí)，即可直觀地從形解決，亦可應(yīng)用公式.通過(guò)例2，引導(dǎo)學(xué)生注意兩條平行直線間距離公式的細(xì)節(jié)，即直線一般式方程中x，y前的系數(shù)應(yīng)相等.通過(guò)例3，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式真正在具體問(wèn)題中的應(yīng)用能力.

本節(jié)課的板書(shū)設(shè)計(jì)即為活動(dòng)二中的圖3.本文中的課堂設(shè)計(jì)，在立意上沒(méi)有單純地從點(diǎn)到直線的距離這一知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，而是通過(guò)單元教學(xué)模式，由具體的實(shí)例，把這一章節(jié)中的三個(gè)距離統(tǒng)一地提煉出來(lái)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題.這樣，加深學(xué)生對(duì)這三個(gè)距離之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，更加透徹地理解知識(shí)的本質(zhì).