2022年上海高考數學第12題解析

摘要：以2022年上海高考數學第12題為例，模仿文衛星老師的思維導圖，探究高考壓軸題的解法，試圖從通法和妙法上對壓軸題的解法作出探究，為對壓軸題的教與學提供參考.

關鍵詞：高考；壓軸題

1 壓軸題呈現

題目已知函數f（x）的定義域為［0，+∞），且滿足f（x）=f11+x，記函數的值域為Af，若agt;0，且有{y|y=f（x），x∈［0，a］}=Af，則實數a的取值范圍為 .

2 試題說明

先從審題開始，找準關鍵信息.首先，f（x）=f11+x，對定義域內的所有x都成立，當x∈0，+∞時，有11+x∈（0，1］成立，即當xgt;1時，對應的函數值可以落在x∈（0，1］對應的函數值的取值范圍內，可以結合圖象來分析，即在定義域的一個子集上“取遍”了值域中的函數值，相當于“縮小”了定義域區間.其次，對于等式{y|y=f（x），x∈［0，a］}=Af，可以進一步思考，是否能把區間0，1進一步縮小，即找到一個0，1的最小子區間0，a，讓f（x）在這個子區間上能夠取遍值域中的每個值.既然是要找0，1的最小子區間0，a，那么a可以作為分界點，又因為f（x）=f11+x，所以可以把a看作是方程的x=11+x的根，即找到最小的a值為5－12.

3 解法分析及詳解

本題為壓軸題，考查抽象函數的定義域、值域，利用轉化化歸、數形結合等方法解決參數問題.依據思維導圖，有如下四種解法.

思路一：分拆定義域.

第一步：分拆定義域.［0，+∞）=［0，a］∪［a，+∞），得到f（x）在［a，+∞）上的取值范圍為其值域的子集，即{y|y=f（x），x∈［a，+∞）}Af.

第二步：轉化問題.根據恒等式f（x）=f11+x，當x∈［a，+∞）時，11+x∈0，11+a，得到f（x）在［a，+∞）上的取值范圍與f（x）在0，11+a上的取值范圍相同.

第三步：進一步轉化問題.f（x）在［0，a］∪0，11+a上的取值范圍與值域Af相同.

第四步：解不等式.在［0，a］與0，11+a的并集上，f（x）取得值域，而已知f（x）在［0，a］上已經取得值域，那么前者的范圍包含后者的范圍，可得不等式a≥5－12.

思路一的思維導圖如圖1所示.

解法1：記f（x）在a，b上的取值范圍為fa，b，下同.

由［0，+∞）=［0，a］∪［a，+∞），結合已知條件{y|y=f（x），x∈［0，a］}=Af，得

Af=f［0，+∞）=f［0，a］.

則{y|y=f（x），x∈［a，+∞）}Af，即

fa，+∞Af.

又因為f（x）=f（11+x），所以x∈［a，+∞）時，11+x∈（0，11+a］，于是有

f［a，+∞）=f（0，1a+1］，

f［0，a］∪（0，11+a］=f［0，a］.

所以a≥11+a.

又agt;0，則a≥5－12，故a∈5－12，+∞.

思路二：數形結合.

簡化問題，通過f（x）=f11+x，以及函數f（x）的值域Af=f0，+∞=f0，a ，把問題等價轉化為只需要x，11+x中有一個在0，a中即可，然后把問題再轉化為a≥minx，11+x，即求兩個函數y=x，

y=11+x的最小函數的最大值問題，使問題簡單明了.

思路二的思維導圖如圖2所示.

{y|y=f（x），x∈［0，a］}=Af只需x，11+x中有一個

在［0，a］中即可x≤a或11+x

≤a成立a≥minx，11+x

h（x）=minx，11+xa≥［h（x）］maxy=x

y=11+xA5-12，5-12［h（x）］max=

5-12a∈5-12，

+∞

解法2：由f（x）=f11+x，可知只需x，11+x中有一個在0，a中即可，即x≤a或11+x≤a成立，即a≥minx，11+x.設h（x）=minx，11+x，則只需a≥h（x）max即可.如圖3，h（x）的圖象包括線段OA及函數y=11+x的圖象在A點右側的部分.由圖象可得h（x）max即為點A的縱坐標.由y=x，

y=11+x，解得A5－12，5－12.所以h（x）max=5－12，從而a∈5－12，+∞.

思路三：類比法.

如果函數f（x）滿足f0，a=fa，2a，

0，a∪a，2a=0，2a，

則函數f（x）在區間0，2a上關于直線x=a對稱，構造函數f（x）=x－a2；如果函數f（x）滿足f0，a=fa，b，

0，a∪a，b=0，b，稱函數f（x）在區間0，b上關于直線x=a“類對稱”；類比看，對于題中的函數f（x）滿足f0，a=fa，+∞，

0，a∪a，+∞=0，+∞，可定義函數f（x）在區間0，+∞上關于直線x=a“類對稱”.

思路三的思維導圖如圖4所示.

f［0，a］=f［0，+∞）

［0，a］∪［a，+∞）=［0，+∞）f（x）與二次函數類比，

尋求對稱軸a＞0，a≥11+a目標完成：a≥5-12

解法3：因為f（x）滿足

f0，a=fa，+∞，

0，a∪a，+∞=0，+∞，

所以可定義函數f（x）在區間0，+∞上關于直線x=a“類對稱”，則問題轉化為求滿足“類對稱”的對稱軸的最小值.由f（x）=f11+x可知，“類對稱”對稱軸x=a滿足agt;0，

a≥11+a，解得 a∈5－12，+∞.

思路四：考慮臨界點.

因為f（x）=f11+x，所以當x∈［a，+∞）時，11+x∈0，11+a，考慮找到臨界點a.

思路四的思維導圖如圖5所示.

f（x）=f11+x令x=11+x

得x=5-120，5-12［0，a］目標完成：a≥5-12

解法4：在f（x）=f11+x中，令x=11+x，得x=5－12.當x∈0，+∞時，11+x∈0，1；x∈0，5－12時，11+x∈5－12，1.因此，對任意的x1∈0，+∞，都存在x2∈0，5－12，使f（x1）=f（x2）.所以0，5－120，a，故a≥5－12.

4 變式與拓展

問題對于該題，你是否能舉一個f（x）的例子？

舉例：f（x）=0，x≥0且x≠5－12，

1，x=5－12，滿足f（x）=f11+x，并且Af=f0，+∞=0，1，f0，a=f0，+∞=0，1，因此a∈5－12，+∞.

思考：本題是否還有其他f（x）的例子？如果有，請嘗試給出表達式，并作進一步探究.