四類求極值應用題的解題思路與方法

摘要：許多求極值類應用題與我們的日常生活密切相關，雖然題型眾多，但是“一把鑰匙開一把鎖”，每類特征明顯的題型都能夠找到一種或幾種解題方法.要順利地解決極值類應用題，就要求我們具有扎實的數學基礎知識，具有嚴謹、全面分析問題的頭腦，還要學會一些靈活、巧妙解題的思路與方法.

關鍵詞：利息問題；產品設計；整點問題；動態(tài)求證

求極值類數學應用問題，與工農業(yè)生產、人們日常生活有著密切的聯(lián)系，它要求學生運用“數形結合”的理論、思想、方法建立實際問題的數學模型，來解決實際問題.這對培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力有很大的幫助.求極值類數學應用題由于涉及到的知識點多，綜合性較強，考查的范圍廣，分值較高，已成為近年來高考的必考考點.因此學會和掌握這類應用題的解題方法與技巧，就能夠為考生在高考中奪取高分奠定堅實的基礎.

1 根據數列性質解決利息類問題

利息類問題雖然也屬于增長率問題，但它具有自身的特點，同時由于高中生平時對銀行這類儲蓄問題比較陌生，很容易出錯.所以，解決這類問題首先要搞清利率的兩種計算方法.①單利計算：假設A元本金的年利息為Ar元，n年的利息為nAr元，那么n年后的本利之和為A+nAr=A（1+nr）元；②復利計算：第1年后的本利之和為A（1+r）元，第2年后的本利之和為A（1+r）2元（前一年的本利之和為后一年的本金），這樣n年后的本利之和為A（1+r）n.然后把它化歸為等比（差）數列問題處理.

例1一對農村中年夫妻為了給他們的獨生女兒積攢將來上大學的學費，從孩子一出生就在她每年生日那天到銀行存上一筆錢.設某大學每年的學費為2 500元，上完四年本科共需1萬元.考慮到通貨膨脹因素，學費將以每年5%的速度遞增.假設女兒出生那年銀行存款年利率為7.5%，假定存款利息18年內不變.按復利計算，試問，當女兒到18歲上大學時，他們已經存足了四年的學費，那么每年生日那天應存入多少錢？

解：1萬元學費，按5%的上漲率，18年后為10 000×（1+5%）18≈10 000×2.406 6=24 066（元）.

設每年存入x元，18年后的本利之和為∑18k=1［x（1+7.5%）k］=1.075x51.07518－11.075－1.

所以1.075x51.07518－10.075=24 066.

解得x≈627.5（元）.

答：他們每年生日那天應存入627.5元.

思路與方法：本題的計算要從孩子0歲時存款算起，1～18歲每年的利息與本金之和組成的數列為x（1+0.75），x（1+0.75）17，……，x（1+0.75）18，根據等比數列的規(guī)律，按照復利息計算公式計算.

2 運用數形結合思想解決產品設計類問題

工廠和車間經常要加工或生產某種規(guī)格的機械零件，要在用料最少（最?。┑那疤嵯?，使零部件的面積或長、寬符合某種要求.這實際上就是在限制條件下求最值類問題，可以運用“數形結合”思想通過建立數學模型來解決.

例2如圖1，有一種變壓器，鐵芯的截面呈正十字形.為了保證所需的磁通量，要求正十字形的面積為45 cm2，為了使用來繞鐵芯的銅線最省，即正十字形的外外接圓周長最短，應如何設計正十字形的長和寬？

解：如圖1，設正十字形的長DG為y，寬AB為x，其外接圓直徑DH=d，正十字形的面積為S，外接圓周長為C.

由正十字形的對稱性，可知

S=xy+x（y－x）=2xy－x2①

d2=x2+y2②

C=πd③

由①得y=S+x22x=S2x+x2，代入②得d2=x2+S2x+x22=x2+14x2+S2+S24x2，即

d2=54x2+S24x2+S2④

由③可知，要使C最小，只須d達到最小.因為xgt;0，S=45，由④可得d2=54x2+S24x2+S2≥25x245S24x2+S2=S2（5+1）=10+25，其中等號成立的條件是5x24=S24x2=（45）24x2，即x4=16，亦即x=2.此時y=45+42×2=5+1，dmin=10+25， Cmin=π10+25.

所以當正十字形鐵芯長為（5+1）cm，寬為2 cm時，其外接圓周長最短，所用繞線（銅線）最省.

思路與方法：本題將正十字形繞線最省轉化為其外接圓周長最短，又轉化為直徑最短，繼而抓住引入的變量x，y的限制條件（S=45）來求解，這是解最值數學模型的常用思想方法.

3 通過解不等式組解決整點問題

對于點P（x，y），當其橫坐標和縱坐標都為整數時，我們稱點P為整點.在實際問題中，這里的x，y通常都為自然數，即x，y∈N.像諸如藥劑最佳配料類整點問題，就可以通過解不等式組來解決.

例3配制A，B兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料.已知配A種藥需要甲料3 mg，乙料5 mg；配B種藥需要甲料5 mg，乙料4 mg.現(xiàn)有甲料20 mg，乙料25 mg.若A，B兩種藥至少各配一劑，問最多一共能配幾劑？

解：設A，B兩種藥分別能配x劑和y劑，x，y∈N*，則有不等式組

x≥1，

y≥1，

3x+5y≤20，

5x+4y≤25，即x≥1，

y≥1，

y≤－3x5+4，

y≤－54x+254.

其解集為以直線x=1，y=1，y=－35x+4，y=－54x+254為邊界所圍成的區(qū)域（即圖2中陰影部分）.這個區(qū)域內的整點有（1，1），（1，2），（1，3）；（2，1），（2，2）；（3，1），（3，2）；（4，1）.

所以，在至少各配一劑的條件下，A，B兩種藥最多一共能配5劑.

思路與方法：本題是把最多配劑（求極大值）問題轉化為解不等式組的問題，由于所圍成的區(qū)域受不等號方向的影響，所以解題時要防止區(qū)域出錯；另外還要注意尋求符號要求的整點，比較后再決定取舍.

4 用逆反建模法解決動態(tài)類求證問題

在現(xiàn)實生活中，我們有時會遇到一些隨著時間、地點、空間等不斷變化的動態(tài)類問題[1]，從正面思考時往往感到難以入手，這時我們不妨從逆反思維的角度嘗試去解決.

例4有若干個距離彼此不等的機場，每一機場都有一架飛機起飛，飛到離它最近的機場降落.試證明：任一機場降落的飛機不能超過5架.

證明：如圖3，假設有一機場O降落的飛機超過5架，不妨設為6架，它們分別來自A，B，C，D，E，F(xiàn)這6個機場.

∵A到O的距離與A到B的距離不等，

∴OAlt;AB.

同理，OBlt;AB.

∴在△OAB中，AB為最大邊.

∴∠AOBgt;π3.

同理，∠BOC，∠COD，∠DOE，∠EOF，∠FOA均大于π3.

∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOAgt;6×π3=2π.

這與6個角之和為2π矛盾，故假設不成立.

因此，任一機場降落的飛機不能超過5架.

思路與方法：本題的證明如果從正面入手顯然有困難，所以我們不妨從反面思考，假設有某一機場降落的飛機超過5架，看能否通過幾何模型來導出矛盾.本題的證明過程并不復雜，關鍵是要通過觀察、分析、類比、聯(lián)想、轉化等方法[2]，將實際問題巧妙地轉化為數學模型.

求極值類應用題涉及代數、三角、立體幾何、解析幾何等眾多知識領域，且題型多樣，有一定的難度.當然，針對不同的類型，解題的思路與方法也不同，例如本文中介紹的“運用數列性質、數形結合、解不等式組、逆反建模”等，其中最重要的是要學會運用“數形結合”的解題思想；要了解和熟練掌握常見類型題的解法，特別是數學建模的方法.在此基礎上，仔細觀察，認真思考，合理聯(lián)想，勤加練習，長此以往，就能夠逐步接近“舉一反三”高效解題的目標.

參考文獻：

[1]楊金英.求極值方法在立體幾何中的多種運用[J].晉東南師范?？茖W校學報，2002（2）：81-82.

[2]杜明明.形成模式 觸類旁通——以求最值過程中極值點難求問題的探究課為例[J].試題與研究：教學論壇，2021（28）：91-93.