從教材立意，走向深度學習

摘要：充分發揮教材對數學教育的作用與功效［1］，應全面深入挖掘教材立意，這對數學學習具有啟發意義.教材中的知識多數是以學術形態呈現，它們是經過歸納整理后簡潔的“知識成品”.《普通高中數學課程標準（2018版［2］）》（下面以新課標代稱）指出：“數學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生的自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態”.

關鍵詞：概念立意；深度學習

立足于教材立意，對教師認識理解數學具有啟發意義，才能充分發揮教材對數學教育的功能.在暴露思維的解題活動中，為讓復雜問題簡單、形象、生動，提升學生探究問題的能力，從而走向深度學習，教師要對教材進行精心創作，在幫助學生對數學概念的理解過程中為學生的深度學習提供廣闊的空間.

1 高中導數課程與教學現狀概述

高中“導數”內容是建立在必修一“函數”基礎之上的選修課程.用高等代數的方法研究函數問題，是對初等函數問題研究的延續、內容的擴充、方法的提升、思想的引領，是研究與完善函數問題的關鍵之舉.教材的立意格局是開闊和深邃的，教師應當從中可尋找到：是什么？為什么？怎么做？換言之，將“知識背景、章節理念、過程實踐、文化詮釋、主線梳理”等環節都貫穿于教材立意之中.

新課標教材中“導數”這一章的內容在高中數學中的地位格外重要，函數圖象的切線成為命題的熱點，也是高中數學教學的難點.但是，“導數”課程教學的“尷尬”之處在于教師在教學這程中普遍重視刷題，用教輔資料取代教材，忽視教材立意與格局，違反教學規律，學生沒有知識基礎：（1）沒有學過極限直接學導數，本身給導數教學帶來的是一種不清不楚的知識環境；（2）高中數學對切線的概念并沒有詳細的說明（僅在《選修2-2》中有描述性介紹）；（3）導數中很多結論直接給出并要求學生學會運用，學生掌握的知識很脆弱.所以教學中絕大部分學生是“食之無肉，去之無味”，在綜合題中表現為理解能力不足，忽視教材教學導向功能，應當改變目前高中教材使用現狀，深入理解、領悟教材立意，正確認識教材的教學價值導向，筆者根據選修教材“導數”中對導數概念的理解，結合案例談談教材的立意.

2 教材的立意探索

2.1 建立理解目標

在課堂教學實踐中，教師為了凸顯教學內容的重難點，往往以簡單的記憶、訓練來代替對數學問題的理解，一味地把教學的重心指向所謂的學習內容的知識“核心”，學生在觀察、思考過程中，因為思維沒有深度參與，形成對所學數學知識概念的“概念表象”，阻礙了學生向學習目標深處追溯的意愿，降低了教學目標的達成度，使得“高效課堂”的背后埋藏著未被學生掌握的“核心知識”.

美國數學家哈爾莫斯提出過“問題是數學的心臟”的精辟論述，要聚焦解決什么問題，才能建立理解目標.在教材“導數”章引言的案例中，氣溫“陡增”的數學意義是什么？用怎樣的數學模型刻畫變量的快與慢？所以，如何建立平均變化率模型就是引領學生深度思考，探究問題本質的關鍵；建立平均變化率的模型，就是建立導數概念的理解目標.

2.2 建構理解系統

無論是立于一章的設計，還是立于一節課的設計，都應當考慮教學內容和學生整體思維的過程，在知識構建、探究策略、反思總結、拓展升華等方面建構理解系統.通過問題情境—問題提出—問題解決—學生活動（建立數學—運用數學—反思升華）這個過程提煉、建構理解系統，能夠讓學生全面掌握章節核心知識，這也是教學設計的主線.如何建構？可以結合教材的章引言、教材每節的標題、章節回顧、文化閱讀提煉關鍵的線索.建構導數概念的設計，如圖1所示.

2.3 明確理解主體

現代數學學習理論認為：數學學習是一個數學認知的過程.因此，要對數學知識形成過程中的內部認知加以分析，數學思想的學習要經歷感性到理性、從領會到形成、從鞏固到應用的發展過程.如何讓學生理解導數的概念便是該章節學習的關鍵，教材中對“陡峭程度”是這樣描述的：平均變化率是曲線陡峭程度的“數量化”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“可視化”，前者是“數”的表達，后者是“形”的立意.

數形結合思想學習的心理建構過程需要經歷以下4個階段：

（1）辨認：通過初中的已知物理概念“平均變化率”的相關知識，確認數形結合思想內在統一的兩個方面.

（2）分化：從函數曲線“增與減”的直觀代數化和“平均變化”到“瞬時變化”的幾何化對心理產生不同的刺激反應.

（3）交互：幾何問題代數化和代數問題幾何化以彼此對立的方式在心理上運行.

（4）內化：數形結合思想，以一種綜合的心理圖式轉化為內部觀念.

課堂實踐要以學生為教學主體.教師要引導學生在探索與創造的過程中培養認識、搜索與整理信息的能力，不能將自己的主觀經驗直接灌輸給學生，知識傳播要符合學生的認知規律，要建構對理解的目標設計.因此教師必須足夠重視教材對概念的引導和啟發.

2.4 發掘理解項目

奧蘇伯爾認為：學生的認知起點是學生學習是否成功的前提.教師在幫助學生對問題進行深入學習時，應著眼于學生思維的發展.在解決問題的過程中完成對數學學習的認識、對項目的理解，應注重學生認知的起點，重視認知過程的層次性；同時，在解決問題的過程中，使其自身不斷產生新的問題，促進學生對原來問題進一步的認識，隨著新問題的提出使其自身思維進一步發展.

教材中，利用割線逼近切線的方法，通過圖示的動態模擬方式建構導數概念的初步感性認識，挖掘導數概念的內涵進行深度學習.結合教材圖示（如圖2），嘗試解讀.

2.4.1 割線斜率的動態變化與切線靜態斜率之間建立的等量與不等量關系的內涵（1）同構結構內涵：f（x2）－f（x1）x2－x1gt;0（lt;0）表示函數的單調性，則f（x+Δx）－f（x）（x+Δx）－x=f′（x）（Δx→0）與函數單調性有關.

（2）割線與切線斜率內涵：f（x2）－f（x1）x2－x1gt;f′（x1）（或lt;f（x2）-f（x1）x2-x1＜f′（x1））.

例1已知函數f（x）=ex，x1lt;x2lt;x3，證明：f（x2）－f（x1）x2－x1lt;f（x3）－fx2x3－x2.

思路點撥：教材圖示如圖3.利用割線與切線的斜率關系構建方法：f（x2）－f（x1）x2－x1lt;f′（x2）lt;f（x3）－fx2x3－x2.

2.4.2 割線斜率的動態變化揭示直線與靜態函數曲線之間位置的內在聯系例2設k，b∈R，若不等式kx+b≥ln x對任意實數x∈（0，+∞）恒成立，求k+b的最小值.

思路點撥：如圖4，不難想到將條件中不等式左邊看成不等式右邊函數圖象的切線.

簡解：函數y=ln x在x=x0處的切線l：y－ln x0=1x0＼5（x－x0）過點（0，b）.

所以b=ln x0－1，

k≥1x0取等號.

例3若關于x的不等式x2+1≥ax+b≥32x23在x∈［0，+∞）上恒成立，其中a，b∈R，求b的取值范圍.

思路點撥：過點（0，b）分別作f（x），g（x）的切線，使直線y=kx+b在兩切線之間.如圖5.

簡解：函數f（x）=32x23在x=x1處的切線l1：y－32x231=x－131（x－x1）過點（0，b），所以b=12x231，

a≥x－131.

函數g（x）=x2+1在x=x2處的切線l2：y－（x22+1）=2x2（x－x2）過點（0，b），所以b=1－x22，

a≤2x2.

所以b=12x231=1－x22，

2x2≥a≥x－131.

故21－b≥a≥12b，

agt;0，

0≤b≤1.即b∈2－24，2+24.

例4已知函數f（x）=（x+1）ln x－ax+a（a為正實數，且為常數）.若不等式（x－1）f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍.

思路點撥：不等式（x－1）f（x）≥0恒成立可等價于x≥1時，（x+1）ln x≥a（x-1）恒成立；0＜x＜1時，（x+1）ln x≤a（x-1）恒成立，可看作y=（x+1）＼5ln x在x=1處的切線穿過函數圖象.

簡解：根據數形結合法可求出實數a的取值范圍（0，2］.

通過幾個案例分析，了解了切線與函數圖象的位置關系，題目的立意幾乎都源自導數的概念.數學解題是一種思維活動，教師要摒棄繁雜套路的解題教學，回歸教材關注數學問題的本質.

2.5 梳理理解成果

從教學設計立足于教材立意，從教材立意挖掘深入學習，積極提升學生的綜合能力和學科素養.對數學問題教學應重視本質的認知和問題形式的創新，將“揭示知識形成，詮釋問題本質拓展知識外延，重視問題重組建構知識分析，培養創新思維”貫穿課堂教學始終，如圖6.

將對教材的研究融入課堂實踐，在概念教學中尋找新的生長點，立足于教材結合學生的認知規律，設計教學是學生走向深度學習的前提，也是問題設計的思想源泉.挖掘教材內涵，發揮教材教學功能，讓教學回歸良性的教育生態.

參考文獻：

［1］李善良.高中數學課程改革探索與實踐［M］.南京：江蘇教育出版社，2012.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準［S］.北京：人民教育出版社，2018.