預應力式壓電能量采集器的模型和試驗分析

王 海， 徐 罡， 楊春來， 金 標， 鄭衍暢， 史 寧

(安徽工程大學 機械與汽車工程學院，安徽 蕪湖 241000)

隨著可植入式電子和無線傳感器技術的快速發展，利用環境能量為存在于網絡節點的低功耗設備供電是一種新的供能方式。作為傳統電源的替代品，從環境中采集振動能量是為無線傳感器、可植入式電子設備和其他低功耗設備提供電能的有效方式之一。因為振動能量的采集受氣候、溫度等環境因素影響較小，所以在某些特定的傳感節點上，收集振動能量更為可行。基于靜電[1-2]、摩擦[3]、壓電[4-9]和電磁[10-11]轉換機制的振動能量采集器在過去十幾年中被廣泛討論。目前為止，高輸出功率仍然是振動能量采集器應用過程中的關鍵因素。

為了提高壓電能量采集器的能量采集效率，研究人員設計出一些基于非線性方法[12-13]的壓電能量采集器和二自由度的壓電懸臂梁能量采集方法。例如：引入磁場力、利用碰撞原理、采用翹曲梁等方法。例如，Yang等[14]提出了一種基于內共振的非線性能量采集器，這種能量采集器的主體是一個壓電懸臂梁，懸臂梁上有一個可移動的磁體，磁體連接在彈簧上，距懸臂梁不遠處有一個固定磁體，活動磁體可以沿著梁滑動。設計這樣的結構目的是為了減小梁的剛度，增強懸臂梁的運動失穩，從而提高能量采集器的輸出功率。試驗結果表明，振幅和電壓的頻率響應均顯示出雙重彎曲效應，表現出更寬的工作帶寬。與只有兩個固定磁體的雙穩態能量采集器相比，這種能量采集器的帶寬要大兩倍。Hu等[15]設計了一種帶有阻擋塊的兩自由度壓電能量采集器，與現有文獻研究的基于碰撞的能量采集器不同的是沒有在底座上安裝止動塊，而是將止動塊安裝在主梁上。根據得到的試驗結果，在相同的條件下，與線性單自由度和兩自由度能量采集器相比，其工作帶寬分別拓寬了232.1%和289.8%。并且與線性單自由度和兩自由度能量采集器相比，能量采集器最大輸出功率幅值分別提高了64.4%和118.9%。除此之外，Yildirim等[16]提出了一種基于參數激勵方法的非線性能量采集器。除了利用非線性力和非線性振動結構外，改變壓電懸臂梁的初始條件也是提高能量采集效率的一種有效途徑。初始應力會引起結構彈性剛度的變化，可以用來調整結構的共振頻率和模態振型。本文設計了一種基于預應力梁的壓電式能量采集器。為了驗證能量采集器的采集性能，建立該裝置的數學模型并進行數值仿真，設計并搭建了試驗平臺，對在有無預加軸向拉力作用下的能量采集性能進行了測試和分析。

1 基于預應力梁的壓電式能量采集器

1.1 能量采集器結構

圖1為壓電能量采集器的結構圖。由于這里的預應力梁為細長梁，基于經典的歐拉伯努利梁理論[17]，忽略梁的剪切變形，懸臂梁在預加載荷和外部荷載作用下，其梁的微分單元發生縱向位移、橫向位移和彎曲變形。單元的形變量可以通過其縱向位移u(x,t)和橫向位移(x,t)分析，在該試驗裝置中懸臂梁剛度很大且軸向拉力較小，軸向位移相對于橫向位移為高階小量，根據材料力學中應力應變關系，預應力存在雖然產生了軸向變形，但軸向變形進一步影響橫向位移，所以預應力的存在影響橫向位移，為了簡化計算，得到壓電能量采集器的近似解，因此只考慮橫向位移。

(a) 傳統的壓電能量采集器

1.2 能量采集器數學建模

建立歐拉-伯努利壓電懸臂梁的非線性動力學方程，忽略剪切變形，沿x,z方向的位移

u3=0+cosΩt

(1)

式中：u1,u3分別為梁的x,z方向的絕對位移；u0,0分別為梁的中性面內的x,z方向相對位移；,Ω分別為激勵幅值和激勵角頻率。

本文要研究壓電懸臂梁結構的非線性振動，所以在位移應變關系中，我們考慮了幾何非線性，求得的位移應變關系為

(2)

對于壓電材料，壓電本構方程如下

(3)

(4)

式中，ρs,ρp為金屬層和壓電層的材料密度。

忽略懸臂梁自由端的轉動慣量，自由端質量塊的動能

(5)

金屬層和壓電層的勢能

(6)

電壓項只與時間有關應乘H(x)-H(x-L)，H(x)為亥賽維函數。

阻尼力和電荷所做的功

(7)

(8)

可以得到下式

(9)

(10)

(11)

其中：

(12)

式中：b為寬度；hs為基底梁的厚度；hp為壓電片的厚度。

其中:

(13)

(14)

(15)

由于壓電片很薄，對梁的中性層影響較小，把梁的幾何中心近似看成中性層，因此將YJ,I11,?1近似等于零。

忽略式(9)中的慣性量得

u″+′″=0

(16)

式(16)對x進行積分得

(17)

由于預應力的作用，軸向位移的邊界條件為：u(0,t)=0,u(L,t)=-pL/(YA)，把邊界條件代入式(17)求得

(18)

c2(t)=0

(19)

把c1,c2代入u(x)得

(20)

(21)

上面u和u′的導數代入控制微分方程

(22)

(23)

方程組表示了預應力壓電懸臂梁的機電耦合性質。

1.2.1 無量綱化

對上述偏微分方程的邊值問題，采用分離變量法

(24)

式中：φr(x)為第r階模態振型函數；ηr(t)為第r階模態響應函數。

假設壓電懸臂梁受到簡諧激勵，方程中的受迫項可以寫成

(25)

式中，0，ω分別為基礎激勵振幅和激勵頻率。把式(25)代入系統的控制微分方程得

(26)

(27)

其中

(28)

由于a1≈Ο(1)，我們可以忽略幾何非線性對加速度的影響，引入以下無量綱變量。

(29)

用上述的尺度，無量綱方程可以寫成

(30)

(31)

其中

(32)

1.2.2 攝動解的構造

采用多尺度法求解非線性方程組，得到一階近似解。首先我們引入了一組新的時間尺度的自變量

Tn=εnt

(33)

式中:ε為時間尺度參數。Tn函數對時間求導

(34)

(35)

其中Dn=?/?Tn。因此，為求解η(t)、v(t)，假設

η(t)=η0(T0,T1)+εη1(T0,T1)+O(ε2)

(36)

v(t)=v0(T0,T1)+εv1(T0,T1)+O(ε2)

(37)

其中參數k1～k4定義為

k1=εk1,k2=εk2,k3=εk3,k4=εk4

(38)

考慮主共振ω～ω1，引入調諧量σ，令ω=ω1+εσ。 把上述定義的參數代入系統控制方程中，令ε0，ε1的系數等于零。

ε0：

D0v0+k6v0=k5D0η0

(39)

ε1:

k3v0+k4cos(ω1T0+σT1)

(40)

D0v1+k6v1=k5(D1η0+D0η1)-D1v0

(41)

上式的解可以表示為

η0=A(T1)eiω1T0+cc

v0=ZA(T1)eiω1T0+cc

(42)

式中：cc為復共軛項；A(T1)是關于T1的方程。其中:

(43)

把式(43)代入ε1方程組中，并令eiω1T0的系數等于零，得到:

(44)

把式(44)代入ε1方程組中得到

v1=0

(45)

為了得到式(44)的解，用極坐標的形式描述復值函數A(T1)

(46)

將A(T1)代入式(44)，然后把方程的實部和虛部分開得到

(47)

其中:

φ=σT1-θ

(48)

上面的偏微分方程組是不可解的，只能求出其穩態解，故令β′=φ′=0得到壓電懸臂梁動力系統的穩態解，兩個偏微分方程取平方，然后相加，得出

(49)

式中，β0為穩態振幅。為了表示動力系統的幅頻特性曲線，式(49)可寫為

(50)

從式(50)可知，對于某一幅值響應β0，其對應兩個激勵頻率ω1，2，但這兩個頻率所對應的響應β0可能是不穩定的，為了表征解的穩定性，考慮如下的動力學系統的方程

(51)

式中，x1,x2為狀態量。則上述系統的雅可比矩陣為

(52)

根據上面求的幅值和頻率的方程組，在本動力系統中狀態向量β和φ，f1和f2的表達式如下

(53)

可得到系統的雅可比矩陣為

(54)

穩態運動的穩定性依賴于雅可比矩陣的特征值，上式所對應的特征方程如下

(55)

展開此行列式，得到

(56)

該運動系統的本征值如下

(57)

其中

(58)

根據以上公式可繪制出系統的穩定性，如圖2所示。

圖2 幅頻關系的穩定性

利用這些結果，得到位移和電壓的表達式

(x,t)=rβ0φ(x)cos(ω1t+θ)-

(59)

(60)

平均輸出功率

(61)

把v(t)代入式(61)得到

(62)

2 數值仿真和分析

通過MATLAB軟件及1.2中的公式對壓電能量采集器的力學行為進行數值模擬，進而評估該裝置的能量采集性能。表1給出了能量采集裝置懸臂梁和壓電材料尺寸和性能參數。

表1 能量采集器的尺寸和材料參數

能量采集裝置外接激勵振動裝置，為了使壓電能量采集裝置輸出最大功率，振動裝置的激勵頻率等于懸臂梁的固有頻率，能量采集裝置輸出最大功率。該試驗通過改變軸向彈簧的軸向拉力從而改變壓電懸臂梁的固有頻率和增大自由端的垂直方向的外載荷。

式(50)表達了PZT-5H表面的電壓差，通過MATLAB繪制在不同軸向力作用下，頻率和PZT-5H上下表面電壓差的關系，如圖3所示。

圖3 不同激振頻率下的開路電壓

從圖3可以看出增大軸向拉力，懸臂梁的固有頻率相應增加。初始軸向拉力從0到5.9 N，固有頻率從22.62 Hz增大到32.48 Hz。相應的PZT-5H上下表面的電壓差從10.73 V增大到29.72 V。

式(62)近似描述了在外接不同負載電阻時的輸出功率。圖4表明了在外接電阻R從0到10 000 kΩ，懸臂梁自由端加不同軸向力，輸出功率與電阻的關系。

圖4 在不同軸向拉力，輸出功率與外接負載電阻的關系

從圖4我們可以得到初始軸向拉力從0到5.9 N，輸出功率從0.06 mW到0.16 mW。軸向拉力5.9 N時，外接824 kΩ輸出功率達到最大值0.16 mW。

通過式(60)得到電壓與時間的關系，在外接824 kΩ 的負載電阻生成如圖5的不同軸向拉力作用下，開路電壓的瞬態變化曲線。

(a) 0和1.7 N軸向拉力

由圖5(a)、(b)得在無軸向拉力作用下，能量采集裝置的電壓幅值大約為3.8 V，初始軸向拉力1.7 N作用下，電壓幅值為5.6 V，初始軸向拉力3.7 N作用下，電壓幅值為8.9 V，初始軸向拉力5.9 N作用下，電壓幅值達到11.3 V。

3 試驗平臺與結果分析

3.1 試驗平臺搭建

為了測試和驗證預應力梁對壓電能量采集器的能量采集效率的影響，本文設計了相關試驗對所設計的能量采集器進行驗證。如圖6所示，該能量采集器的主體是銅制基底梁，在其上表面粘貼PZT-5H。圖7為整個試驗平臺的實拍圖。

圖6 能量采集器安裝圖

圖7 試驗平臺實拍圖

如上所述銅梁的右端粘有一個鋼制質量塊，質量塊的右端連接有彈簧，用于調節梁的預加載荷。在初始載荷的作用下，基于預應力梁的壓電能量采集器的固有頻率會產生一定的偏移。

3.2 結果分析

本節在相同加速度激勵下，對不同軸向拉力作用下的能量采集器做了試驗分析。通過改變激勵的頻率，得到在不同軸向拉力作用下，壓電能量采集器的開路電壓隨頻率的變化曲線。如圖8所示，無拉力作用下，壓電能量采集器在27.2 Hz時產生了15.6 V的峰值電壓，初始預加1.7 N軸向拉力的壓電能量采集器在29.3 Hz時的產生的峰值電壓為22.8 V，3.7 N初始軸向拉力作用下的壓電能量采集器在31.1 Hz時產生了24 V的峰值電壓。與傳統的壓電能量采集器相比，在5.9 N初始軸向拉力作用下，壓電能量采集器的開路電壓提高11.6 V，當激振頻率為31.8 Hz時，其開路電壓達27.2 V。圖8與圖3的仿真結果對比發現，能量采集器的固有頻率、開路電壓變化趨勢及峰值大小較吻合，隨著軸向拉力的增大，導致剛度增大，從而使固有頻率增大，最終導致電壓的增大。當初始軸向拉力增大到5.9 N時，能量采集器的固有頻率偏移了4.6 Hz。

圖8 不同激振頻率下的開路電壓

圖9為在5.9 N軸向拉力作用下能量采集器的開路電壓，分別為試驗和仿真結果，由于試驗誤差的影響導致曲線未能重合，但在允許誤差范圍內，因此證明了試驗及結論的正確性。

圖9 5.9 N軸向拉力的試驗與仿真結果對比

圖10為壓電能量采集器的一階諧振頻率和開路電壓隨軸向拉力增加的變化曲線。圖11(a)、(b)為不同初始軸向拉力下，開路電壓的瞬態變化曲線。無軸向拉力作用下，能量采集器的電壓幅值2.1 V， 1.7 N初始軸向拉力作用下能量采集器的電壓幅值為5.6 V，而3.7 N初始軸向作用下能量采集器的電壓幅值為7.3 V，5.9 N初始軸向拉力作用下能量采集器的電壓幅值為10 V左右。可以看出，預加軸向拉力可以提高能量采集器的輸出電壓。

圖10 一階固有頻率和開路電壓與軸向拉力的關系

(a) 0和1.7 N軸向拉力

圖12為在不同軸向拉力作用下壓電能量采集器末端位移的FFT變換。該圖表明，壓電能量采集器末端振動的頻譜特性與開路電壓在掃頻測試下的規律一致。隨著軸向拉力的增大，壓電能量采集器末端位移逐漸增大。能量采集器的固有頻率也隨著軸向拉力的增加偏移的更多，當初始軸向拉力增大到5.9 N時，能量采集器的固有頻率偏移了4.6 Hz。圖13為能量采集器在5.9 N初始軸向拉力作用下末端運動的相位圖，該圖表明在簡諧激勵作用下壓電能量采集器末端做周期運動。

圖12 末端位移的FFT變換曲線

圖13 末端運動相位圖

為了測試壓電能量采集器在有或沒有初始載荷條件下的充電性能,對100 μF電容器進行了15 s的充電測試。圖14和表2分別給出了充電試驗電路和充電測試結果。與無軸向拉力的壓電能量采集器相比，5.9 N軸向拉力作用下的壓電能量采集器充電電壓提高了1.55 V。圖15為不同軸向拉力作用下, 能量采集器對電容充電的平均功率曲線圖，從圖中可以看出,隨著軸向拉力的增大，充電的功率呈增大的趨勢。上述分析表明，預加軸向拉力從0到5.9 N，能量采集器的效率能提高83.1%。雖然軸向拉力使壓電能量采集器的諧振頻率發生了偏移，但其固有頻率仍在低頻范圍內。因此，可以考慮采用這種預應力梁來提高壓電能量采集器的能量采集效率。

圖14 充電試驗的試驗電路圖

表2 電容充電數據

圖15 不同軸向拉力下的平均充電功率曲線圖

4 結 論

本文設計了一種基于預應力梁的壓電式能量采集器，并進行了數學建模仿真和相關試驗測試。試驗結果表明，軸向拉力作用下使壓電能量采集器的固有頻率發生偏移。此外，在相同的加速度激勵條件下，與傳統壓電能量采集器相比，預加載軸向力增大了壓電能量采集器的共振頻率，提高了開路狀態下的電壓峰值，電容充電試驗中也有良好表現，實現了更好的能量收集應用。與無軸向張力的壓電能量采集器相比，5.9 N初始軸向拉力作用下平均充電功率提高了83.1%。通過該壓電能量采集器模型的分析，可以通過在傳統壓電能量采集器的末端施加預應力提高能量采集效率。