波動溫度環境下形狀記憶合金梁的參激振動控制

王龍飛， 崔 璐， 韓志軍， 吳 瑩

(1. 太原理工大學 生物醫學工程學院， 太原 030024； 2. 太原理工大學 信息化管理與建設中心， 太原 030024；3. 西安交通大學 航天航空學院機械結構強度與振動國家重點實驗室， 西安 710049)

形狀記憶合金是一種材料剛度可以隨溫度變化而發生改變的溫敏性材料，其廣泛應用于汽車工業、航天航空和生物醫學工程等領域，是近年來比較熱門的智能材料之一[1-3]。根據已有的試驗觀測可知，形狀記憶合金在溫度影響下會發生馬氏體相變或逆馬氏體相變，材料的微觀結構會在馬氏體和奧氏體之間發生轉變，進而影響合金的宏觀物理性質[4]。基于此，可以利用改變溫度控制形狀記憶合金結構的振動。

Hashemi等[5]曾研究了兩端簡支的超彈性形狀記憶合金梁在不同溫度條件下的自由振動，發現通過改變溫度可以控制梁的振動；Damanpack等[6]研究了沖擊載荷下形狀記憶合金層合梁的振動控制，揭示了可受溫度調控的非孿晶馬氏體體積分數對層合梁阻尼效應的影響；Savi等[7]和Piccirillo等[8]分別研究了形狀記憶合金結構的非線性振動，其結果表明通過改變溫度可以使結構的振動狀態在定常態和混沌態之間相互轉變；Han等[9]通過穩定性和分岔理論具體解釋了系統運動狀態變化的原因，并強調了溫度的重要影響；利用前述研究，Fu等[10]和Costa等[11]分別實現了通過改變溫度對干摩擦形狀記憶合金振子系統和復雜形狀記憶合金單擺系統的振動控制。

目前對形狀記憶合金結構的振動控制主要是通過單調改變溫度來實現的。根據Xia等[12]的試驗研究可知，溫度誘發的形狀記憶合金相變可以在很短的時間內發生(一次相變循環約為0.8 s)，因此合金的力學性能也可以短時間發生變化?；诖耍疚目紤]溫度為變參數，研究了形狀記憶合金梁在波動變化的溫度場中的參數激勵振動控制。

1 控制方程

如圖1所示，一端固支一端夾支的形狀記憶合金梁，其尺寸分別為有效跨長L、梁寬b和梁高h。合金梁在橫向上受周期性擾動力的作用，該擾動力可以表示為P=P1+δcosωt，其中P1和δ表示控制參數，ω表示周期性擾動力的頻率。若不考慮軸向力和阻尼作用，由Euler-Bernoulli梁理論可得合金梁的橫向振動方程，如下

(1)

圖1 一端固支一端夾支的形狀記憶合金梁示意圖

由于梁結構材料為形狀記憶合金，應力-應變-溫度本構模型可以表示為最高次冪為5的多項式，即式(1)中的σ表示為[13]

σ=a1(T-TM)ε-a2ε3+a3ε5

(2)

式中：a1、a2和a3表示形狀記憶合金的材料系數；TM表示馬氏體相變臨界溫度[14]，當溫度低于TM時，合金的馬氏體相處于穩定狀態；T表示環境溫度，假設形狀記憶合金梁的導熱性很好，則T也可以表示合金梁的即時溫度。

結合式(1)和式(2)，利用Galerkin法得到形狀記憶合金梁橫向位移的控制方程

(3)

將式(3)進行無量綱化可得

(4)

式(4)也可以簡寫為

(5)

其中，G(,θ)=β(θ-1)-γ13+γ25且F(τ)=f1+AcosΩτ。由式(5)可知，改變無量綱溫度θ的值會對G(,θ)的線性項帶來影響，進而影響整個系統的動力學響應。利用四階Runge-Kutta法對式(5)進行數值求解，可精確分析形狀記憶合金梁的動力學特性。

2 溫度對合金梁非線性動力學特性的影響

假設合金梁的材料為Cu-Zn-Al-Ni形狀記憶合金，則式(2)中形狀記憶合金的各項材料參數取：TM=288 K、a1=523.29 MPa/K、a2=1.868×107MPa且a3=2.186×109MPa。合金梁的幾何尺寸取L=300 mm，h=20 mm和b=30 mm。式(5)中橫向擾動力F(τ)的無量綱參數設為f1=A=0.5且Ω=1。

考慮與外界無任何形式能量交換的保守系統，系統勢能的變化過程可以看作是一個等熵過程，則根據式(5)，形狀記憶合金梁的勢能可以表示為

(6)

結合式(5)和式(6)，利用MATLAB數值計算可以得到溫度變化條件下的系統平衡點分岔圖，如圖2(a)所示。其中，粗虛線表示不穩定平衡點集，粗實線表示穩定平衡點集。由圖2(a)可知，當θ<1時, 系統處于低溫馬氏體狀態，此時有三個平衡點，包括一個鞍點和兩個中心；當θ>1.2時, 系統處于高溫奧氏體狀態，此時只有一個中心；當1<θ<1.2時, 系統處于相變階段，因此存在五個平衡點，包括兩個鞍點和三個中心。圖2(a)表明溫度會影響形狀記憶合金梁的相變過程，從而影響系統平衡點的個數和振動狀態。在圖2(a)分析的基礎上，圖2(b)分別給出了θ=1和θ=1.2時系統的勢能曲線(虛線部分)，由圖可知，隨著溫度由θ=1逐漸變為θ=1.2，系統的中心勢阱(=0)出現并加深，伴隨著勢阱間阱柵由中心轉移到兩側并逐漸增高，而非中心勢阱(≠0)弱化直至消失，此時阱柵也一同消失。整個過程中，系統由雙勢阱系統變為三勢阱系統，最終穩定為單勢阱系統。根據溫度影響下系統勢能的轉變過程可知，存在一個臨界溫度θcr，當溫度低于該臨界值時(θ<θcr)，勢阱間的阱柵較低，梁在=0的初始位移處獲得的機械能可以使其越過阱柵，宏觀上表現為低溫下系統為雙勢阱或三勢阱時，梁在周期載荷作用下可以產生振幅較大的振動(如圖2(b)左圖所示)；當溫度升高(θ=θcr)引起中心勢阱加深且阱柵的能壘增高時，梁在=0的初始位移處獲得的機械能將不足以使其越過阱柵，于是梁的振幅將明顯減小(如圖2(b)右圖所示)。根據上述理論分析可知，在臨界溫度θcr附近改變溫度，可使合金梁的振動狀態發生明顯改變，進而影響梁的振幅并實現梁的振動控制。

(a) 平衡點示意圖

為了獲得臨界溫度θcr，可以利用最大李雅普諾夫指數[16]來描述梁在溫度區間θ∈[1,1.2]內的運動狀態，如圖3所示。其中，最大李雅普諾夫指數大于零代表系統處于混沌狀態，等于零則代表系統處于準周期狀態。根據圖3可知，當系統溫度值θ≤1.163 5，系統的最大李雅普諾夫指數大于零，系統振動處于混沌態且振幅較大；當系統溫度為θ>1.163 5，最大李雅普諾夫指數等于零，意味著系統處于準周期運動狀態且振幅較小。取θ=1.163 5和θ=1.163 6分別繪制系統的龐加萊截面，如圖3右側所示，觀察到θ=1.163 5時，龐加萊截面為離散的點集，表明系統處于混沌態；當θ=1.163 6時，這些點集轉變為閉合的環，表示此時合金梁做小振幅的準周期運動。根據上述研究可知，形狀記憶合金梁的臨界溫度約為θcr=1.163 5。

圖3 形狀記憶合金梁的最大李雅普諾夫指數隨溫度變化的情況

3 波動溫度環境下合金梁的參激振動控制

通過調整溫度可以改變形狀記憶合金梁的振動特性，其實質是改變了合金梁的剛度，使其在θ≤θcr時表現出柔度較大的軟彈簧性質，在θ>θcr時表現出柔度較小的硬彈簧性質。基于此，可以引入波動溫度環境作為系統的參數激勵，來達到控制形狀記憶合金梁非線性振動的目的。

假設環境溫度影響下合金梁的溫度呈現余弦變化，可以表示為

θ(τ)=θ0±εcosΩθτ

(7)

式中：θ0表示初始溫度；ε是溫度變化的小擾動參數；Ωθ為溫度變化的頻率，并且有θ0=θcr=1.163 5，ε=0.01和Ωθ=1?？梢钥闯觯瑴囟仍谂R界溫度θcr附近波動變化，且波動頻率與外激勵的頻率相同，意味著溫度可以即時改變形狀記憶合金梁的性質，并放大或減小外激勵對梁的作用。

將式(7)代入式(5)中，得到形狀記憶合金梁在波動溫度場中的振動位移時間響應圖，如圖4所示，其中圖4(a)是溫度變化服從θ(τ)=θ0+εcosΩθτ時的振動響應圖；圖4(b)是溫度變化服從θ(τ)=θ0-εcosΩθτ時的振動響應圖。由圖4(a)可知，當θ(τ)=θ0+εcosΩθτ時，溫度的變化規律與外激勵完全相同，因而在合金梁振幅達到最大值的時候材料的溫度也可以達到最高，從而使合金梁剛度變大，有效減少了梁的振動，其振動振幅比恒溫場中(θ(τ)=θ0)梁的振動幅值衰減了約70.41%。若θ(τ)=θ0-εcosΩθτ，如圖4(b)所示，環境溫度的變化規律剛好與圖4(a)的情況相反，即合金梁的振幅最大時，材料溫度和剛度反而最低，從而使梁的振動加劇。因此，由圖4可知，通過調控合金梁溫度場的波動變化規律，可以實現參數激勵控制，有效擴大或抑制合金梁的振動，從而靈活應用在實際當中。

(a) 溫度變化滿足θ(τ)=θ0+εcos Ωθτ

前已述及，圍繞臨界溫度θcr改變溫度可以實現合金梁的參激振動控制，因此找到θcr值是非常關鍵的。由于外激勵的形式對形狀記憶合金梁的振動有很大的影響，甚至會影響臨界溫度θcr的值，因此有必要研究不同外激勵下系統的臨界溫度。分別選取外激勵的振幅和頻率作為變量，利用最大李雅普諾夫指數法，可以通過振幅-溫度和頻率-溫度雙參數相圖來確定引起系統在混沌態和準周期態之間相互轉化的臨界溫度(亦稱為混沌閾值)，如圖5所示。圖5中深色區域對應的最大李雅普諾夫指數等于或小于零，代表系統處于非混沌態，此時合金梁的振動幅值要小；淺色區域對應的最大李雅普諾夫指數大于零，代表系統處于混沌態且梁的振幅較大；混沌態和非混沌態區域間有明顯的分界線，臨界溫度便分布在線上。由圖5(a)中的振幅-溫度雙參數相圖可知，當外激勵的頻率固定為1，隨著外激勵振幅最大值的增加，系統的臨界溫度也變得越來越高，這一現象在振幅較小的區間內更為明顯。從能量轉變的角度看，這種變化趨勢的原因是當溫度升高時，中心勢阱加深，阱柵能壘升高，這個時候系統需要獲取更多的動能來越過阱柵實現跨越三個勢阱的大振幅運動。此外，由于系統的強非線性，在圖5(a)的混沌區域內，同樣有小范圍的非混沌區域散布其內，且有一定的分形特征。圖5(b)給出了系統的頻率-溫度雙參數相圖，其中外激勵的振幅固定為0.5。從圖5(b)中可以發現，系統的非混沌運動更容易發生在低頻段和高溫區，當外激勵的頻率相對較大時，混沌運動在變溫度場中成為了系統的主要運動形式。圖5的結果為不同外激勵條件下選取合適的臨界溫度，進而對系統進行參激控制提供了理論依據。

(a) 當Ω=1時的振幅-溫度相圖

4 結 論

本文建立了橫向周期載荷作用下一端固支一端夾支的形狀記憶合金梁振動控制方程，研究了溫度影響下合金梁的非線性振動特性，提出了一種利用波動溫度場實現參數激勵來控制形狀記憶合金梁振動的方法。結果表明：溫度對形狀記憶合金梁的剛度和力學性能有影響，且存在臨界溫度θcr，當材料溫度在該臨界溫度附近變化時梁的振動狀態會發生顯著變化(在混沌和非混沌狀態之間變化)；以臨界溫度為參考設置波動溫度場可以對形狀記憶合金梁進行參激振動控制，從而有效抑制和擴大梁的振幅；研究結果還發現，不同外激勵對臨界溫度的影響較大，這為實現合金梁的參激振動控制提供了理論補充。本文提出的方法對形狀記憶合金梁或其他結構的振動控制靈活方便，效果顯著，具有一定的應用價值。