參數異變性對非線性軸向加速梁系統橫向振動特性的影響

楊 瓊， 褚衍東， 徐 璐， 李險峰

(1. 蘭州交通大學 機電工程學院， 蘭州 730070； 2. 蘭州交通大學 數理學院， 蘭州 730070；3. 蘭州交通大學 甘肅省軌道交通裝備系統動力學與可靠性重點實驗室， 蘭州 730070)

隨著現代科學技術的發展，梁結構在工程科學領域的應用越來越廣泛，如鋸、磁帶、機械臂、飛機機翼等都涉及梁結構的運動。但梁結構軸向運動的橫向振動會導致機械設備效率降低，折損機械設備的使用壽命。因此，在實際應用中對軸向運動梁穩定性的研究就變得越來越重要。Wickert[1]利用一維梁理論建立了一類非線性軸向運動梁的力學模型。丁虎等[2]借助微分求積方法，在數值上研究了不同邊界條件下軸向運動黏彈性梁的橫向受迫振動及穩態響應問題。Chen 等[3]借助 Timoshenko 理論的多尺度方法研究了軸向加速黏彈性梁在參數共振作用下的動態穩定性問題。丁虎等[4]借助近似解析攝動法研究了非線性軸向運動黏彈性 Rayleigh 梁的橫向非線性參數振動問題。?zhan[5]研究了外激勵對軸向加速梁系統非線性振動特性的影響。Bagdatli等[6]研究了非理想支撐條件下軸向運動梁的線性振動問題。 Ding 等[7]提出了新的垂直彈性支撐邊界，定義了垂直彈簧支撐黏彈性梁的傳遞率，開啟了彈性結構隔振研究的開端。Wang 等[8]研究了垂直懸臂結構的內部共振問題。為了更加清楚地研究系統的運動機理,許多學者將混沌和分岔理論廣泛應用到軸向運動梁模型的研究中。Ravindra等[9]研究了超臨界狀態下軸向加速梁的混沌和 pitchfork 分岔現象。Pellicano等[10]分析了次臨界速度和超臨界速度范圍內受質量軸向傳輸簡單支撐梁的動力學行為。Yang等[11]研究了具有幾何非線性軸向加速黏彈性梁的分岔和混沌問題。Ding等[12]借助數值仿真手段研究了軸向平均速度和速度擾動幅度對軸向加速黏彈性梁橫向運動中非線性動力學行為的影響。Ding 等[13]采用高階伽遼金截斷法和微分-積分法研究了軸向加速黏彈性梁在超臨界狀態下的分岔和混沌問題。Yan 等[14]研究了軸向加速黏彈性 Timoshenko 梁的穩態周期響應和混沌分岔問題。Sahao等[15]研究了非線性組合參數激勵下橫向移動彈性梁的穩定性和各種分岔現象。

上述文獻僅研究了單參數變化對軸向加速梁系統動力學特性的影響。雙參數耦合條件下，非線性系統更加豐富的動力學現象[16-20]已被大量學者所研究，但對軸向加速梁系統在雙參平面內分岔特性的研究還鮮有報道。本文以一階 Galerkin 截斷法[21]離散的軸向加速度梁為研究對象，分析了軸向平均速度、速度擾動幅值、黏滯阻尼、速度擾動頻率變化時，系統的穩定性和分岔現象。借助計算機仿真方法，研究了速度擾動幅值和速度擾動頻率同時變化對系統振動特性的影響。

1 軸向運動梁模型

軸向運動梁模型如圖1 所示，其中撓曲剛度為EI，軸向剛度為EA,在兩個距離為L的簡單支撐之間以速度v運動,P為施加的張力，ρ為梁的密度，v為軸向移動速度，u(x,t)和(x,t)分別表示梁中點的軸向位移和橫向位移。忽略梁在平面以外的運動及剪切形變。

圖1 非線性軸向運動梁的模型圖

基于有限變形原理，非線性軸向應變的 Lagrangian 函數為

(1)

由 Hamilton 原理可得

(2)

其中動能

(3)

勢能

(4)

下標“，”表示對其后面的變量求偏微分，下面引入無量綱變量及參數如下

(5)

(6)

式中：E為楊氏模量；A為截面面積；I為慣性矩；v*為軸向移動速度；v1為縱向剛度；vf為抗彎剛度參數，相關材料參數詳見文獻[22]。

為便于計算，下面省略變量上的星號。利用 Hamilton 原理及準靜態近似，引入黏滯阻尼系數ζ，可得無量綱化軸向加速梁橫向振動的控制方程

tt+2ζwt+2vwxt+v2xx+vtx-xx+

(7)

假設軸向運動梁的邊界條件為

(0,t)=(1,t)=0,，xx(0,t)=，xx(1,t)=0

(8)

令

(x,t)=h1(t)sin πx

(9)

其中sin πx是第一個特征函數，h1(t)是廣義位移。 利用 Galerkin 截斷法，得到一階模態微分方程如下

(10)

當軸向移動速度存在小諧波振蕩時

v=v0+εsinΩt，ε<<1

(11)

式中，v0、ε、Ω分別表示軸向平均速度、軸向速度擾動幅值以及軸向速度擾動頻率。對式(11) 作如下近似變換

(12)

則式 (10) 可寫為

(13)

(14)

通過坐標變換

(15)

式 (14) 可寫為

(16)

式中：α表示平均速度參數；ζ表示黏滯阻尼；β表示速度擾動幅值參數；Ω表示速度擾動頻率；γ表示非線性剛度參數。

2 單參數變化對軸向加速梁橫向振動的影響

2.1 平均速度參數α對軸向加速梁振動的影響

當速度擾動幅值參數β=0時，式(16) 穩態解的方程如下

(17)

命題1非線性系統 (16)的穩態響應與平均速度參數α有如下關系

(18)

式 (16) 可寫為

(19)

(1)F1(α,x1,x2)和F2(α,x1,x2)為關于(x1,x2)的奇函數；

下面討論式(16) 平凡平衡點E1=(0,0)的穩定性。式(16)在平凡平衡點處對應的 Jacobi 矩陣為

(20)

其特征方程為

λ2+2ζλ-α=0

(21)

于是，有以下結論成立

(1) 當α>0，ζ≠0，平凡平衡點E1=(0,0)為鞍點，即，當軸向平均速度v0滿足

時，平衡點處存在穩定流形和不穩定流形，則橫向振動始終存在，軸向加速梁系統不會平穩運行。

(2) 當-ζ2<α<0，ζ≠0時，平凡平衡點E1=(0,0)為穩定結點。即，當軸向平均速度v0滿足

時，軸向加速梁的橫向振動會逐漸減弱，最終在初始位置處橫向運動消失，軸向加速梁系統進入穩態響應階段。

時，軸向加速梁的橫向振動周期性的減弱，最終在初始位置處橫向振動消失。

2.2 速度擾動幅值參數β對軸向加速梁振動的影響

當β≠0時,式(16)的Poincaré映射會出現 Smale 馬蹄型混沌集[25-26]。下面的命題給出了當平均速度參數α=1.0>0時，軸向加速梁系統(16)出現完全失穩屈曲的速度擾動幅值范圍。

證明當α=1.0>0時，將式(16)重寫為如下形式

(22)

(23)

則對應未擾無黏滯阻尼 (ζ=0,β=0) 系統的哈密頓函數為

(24)

且平凡平衡點(0,0)是鞍點，則存在一個由穩定和不穩定流形形成的同宿軌道。由式(24)可解出

(25)

對式(25)進行積分，可以得到

(26)

從而，同宿軌道的參數化方程為

(27)

由 Melnikov 積分可知

t0)]}dt

(28)

將式(27)代入式(28)可得

(29)

利用文獻[23]中的引理 16.1.2，計算得

(30)

M(t0)有簡單零點的條件為

(31)

由文獻[23]中的 Smale-Birkhoff 定理可知，當式(24) 成立時，穩定流形和不穩定流形橫截相交，式(16)出現 Smale 馬蹄型混沌振蕩，參見圖10(f)。

圖2 Smale 馬蹄型混沌振蕩的臨界域

2.3 黏滯阻尼ζ對軸向加速梁振動的影響

下面從數值的角度研究了黏滯阻尼ζ對軸向加速梁系統橫向振動特性的影響。固定參數α=1.0，β=2.5，γ=1.0，Ω=2.5，初值為(x1,x2)=(0.1,0.1)，其中ζ為分岔參數。

觀察圖3(a) 可知，當黏滯阻尼ζ在[0.1,1.5]范圍內變化時，會出現自相似的分岔結構A1和A2。下面僅以圖的一支分岔結構A1為研究對象，即圖3(b)。通過觀察可知，參數ζ在0.919～0.915的范圍內減小時，系統會出現倍周期分岔 (PD 分岔) 現象，當參數ζ減小為ζ≈0.918時，系統出現第一次倍周期分岔，繼續減小參數ζ,系統的周期振蕩與混沌振蕩會間隔出現, 最終當黏滯阻尼減小到ζ=0.1時，系統進入混沌振蕩狀態。這就說明黏滯阻尼ζ越小軸向加速梁振蕩越劇烈。因此，為了盡可能地保證軸向加速梁的穩定運行，我們可以適當的增大黏滯阻尼，例如可以取ζ=1.2。

(a)

3 雙參數影響下系統的動態演化過程

在本章，我們借助仿真手段同時調諧速度擾動頻率Ω和速度擾動幅值參數β，研究軸向加速梁系統 (16)復雜的運動狀態。固定部分參數ζ=0.125，α=1.0，γ=1.0，及初始條件(x1,x2)=(0.1,0.1)。借助文獻[17]中的方法生成雙參數分岔圖，通過記錄參數平面內不同周期振蕩的數目來描述系統更復雜的運動狀態[27-28]。當參數β×Ω∈[0,3.0]×[0,3.0]時，式(16)的全局視圖如圖4 所示，右邊的顏色條是一個包含 20 種顏色的調色板，每個小于20 的整數對應的顏色代表各自周期峰值的數目，由于高周期分岔在有限的參數平面內具有密集性，僅靠數值方法很難確定和區分高周期的分岔點。因此我們僅考慮低周期運動特性，將周期數大于等于 20 的周期運動籠統的歸類為混沌振蕩運動，并用黑色表示。

圖4 參數 (β×Ω) 平面中的全局分岔圖

為了詳細地觀察系統的振蕩特性，借助逐級放大參數平面區域的方法，可以更加細致的研究高周期分岔在參數平面上的動力學分布。將周期劃分變為 50 種，每個小于 50的整數對應的顏色表示周期振蕩的數目,黑色表示周期數大于等于 50 的混沌振蕩。圖5 是圖4 中 a 框的放大圖，其中參數β×Ω∈[1.976,2.400 2]×[2.743,2.785 03]。通過觀察發現，在右上角，周期 2 軌道消失，出現混沌吸引子，這是非線性動力系統出現鞍結分岔 (SN 分岔) 的重要特征，也是連續系統從周期振蕩進入混沌振蕩的一種方式，即 SN 分岔。沿著圖5 中的白線，也可以觀察到嵌入在黑色區域的周期振蕩現象，這些周期島類似于圓映射中的 Arnold tongues[29-30]，但它只是嵌入在混沌振蕩區域的蝦形周期振蕩。這些周期的蝦形級聯具有與 Arnold tongues 相似的性質，即隨著參數β的增大，蝦形島形成的周期數集合依次為：周期 4 →周期 10 →周期 6 →周期 14 →周期 8 →周期 18 →周期 10 →周期 22 →周期 12 →周期 26 →周期 14 →…。這里還出現了一個有趣的現象：周期 10 的蝦形結構出現在周期 4 蝦形結構和周期 6 蝦形結構之間，即奇異周期結構的周期數等于兩個相鄰相似結構周期數之和，在周期 14、周期 18、周期 22、周期 26 上也存在類似的規律。這種規律在 Arnold tongues 中是普遍存在的，但是在蝦形結構中這種規律卻出現的很少。我們還發現隨著蝦形結構周期數的增大，蝦形結構的寬度是逐漸減小的，并且在周期蝦形結構的內部還出現了一些黑色的區域。這個現象還可以通過沿著直線Ω=0.052 8β+2.655 7，β∈[2.0,2.35]的單參數分岔圖6 及放大圖7(a)、(b)觀察到，其中參數β的范圍分別為β∈[2.057,2.063]、β∈[2.164,2.172]。也就是說，當參數β在[2.0,2.35]內逐漸增大時，軸向加速梁系統的橫向出現周期振蕩與混沌振蕩間隔出現的現象且周期振蕩越來越強，最終導致軸向失穩，但當2.34≤β≤2.35時，軸向加速梁的橫向運動進入周期 2 振蕩，系統處在比較穩定的運動狀態。

圖5 圖4中 a 框的放大圖

圖6 沿著圖5中白線的分岔圖

(a

圖8(a) 的參數范圍為β×Ω∈[1.8,2.2]×[1.02, 1.12]，是圖4 中 b 框的放大。也出現了類似的蝦形結構，即周期 3 →周期 8 →周期 5 →周期 12 →周期 7 →周期 16 →周期 9 →周期 20 →周期 11 →…。圖8(b) 的參數范圍為β×Ω∈[1.94,2.06]×[1.065,1.085]，是圖8(a) 中白框的放大，它描述了不同類型的奇異周期振蕩結構，這些奇異結構是由周期5 振蕩的中心體產生的，看起來像是一個尖頭蝦形結構[31]，這些結構可以用三次多項式的兩個標準形式來描述[32]。在這個分裂的蝦形結構上，出現了倍周期分岔線，即隨著速度擾動頻率Ω的減小，系統的運動狀態由周期 10 振蕩進入到周期 5 振蕩，也就是在箭頭所指分界線上的各點均會產生 PD 分岔。

(a)

此外，式(16)還出現了其他進入失穩狀態的方式，如圖9 (圖4 中 c 框的放大圖) 中一個依托1×2n周期加倍分岔級聯進入混沌振蕩的方式，即倍周期分岔 (PD 分岔)。這里的參數范圍為β×Ω∈[0.4,0.75]×[2.05,2.45]。通過觀察發現嵌入在混沌振蕩區域的蝦形級聯集合，即周期 6 →周期 8 →周期 10 →周期 12 →周期 14 →周期 16 →…，這些周期數序列總是以方差為 2 的等差數列方式遞增排列。由于所有的周期吸引子都是以同一種方式進化，在很大的混沌振蕩范圍內，總會出現沿著一個固定的方向逐漸積累的自相似小蝦形周期級聯。

圖9 圖4中方框c的放大圖

圖10是圖5 中 A、B、C、D、E、F六個可以描述系統周期振蕩和混沌振蕩狀態的 Poincaré 映射圖，其中點的個數表示周期振蕩數目。這些點的排列順序與圖5 中類 Arnold tongues 性質蝦形結構的排列順序相同，即周期 10 蝦形島出現在周期 4 蝦形島和周期 6 蝦形島之間，周期 14、周期 18、周期 22也滿足這種特性。圖10(e) 出現了周期振蕩吸引子與混沌振蕩吸引子的共存現象，其中方框代表周期 4振蕩吸引子。圖10(f) 是混沌振蕩吸引子[33]，此時，β=2.153>0.5299，這與前面第 2 部分的理論結果保持一致。

(a) β=2.037,Ω=2.766

4 結 論

本文研究了軸向平均速度、速度擾動幅值、黏滯阻尼、速度擾動頻率對一階 Galerkin 截斷后的軸向加速梁系統橫向振動特性的影響。主要結果如下：

(1) 當平均速度參數α變化時，軸向加速梁系統會出現 pitchfork 分岔，這說明軸向平均速度v0對軸向加速梁系統橫向振動特性有很大的影響。

(2) 隨著黏滯阻尼ζ的增大，軸向加速梁系統的運動狀態會由原來的混沌振蕩狀態變成周期振蕩狀態，最終趨于單周期穩定運動狀態。在實際應用中，適當的增大黏滯阻尼，能夠盡可能保證軸線加速梁的穩定運行，例如取ζ=1.2。

(4) 當速度擾動幅值參數β與速度擾動頻率Ω同時變化，軸向加速梁系統出現了豐富的動態演化規律及奇異結構[34](見附錄A)。這些結構的周期振蕩數目有規律的增加，并且嵌入混沌振蕩區域的寬度越來越窄。這意味著在失穩屈曲狀態的參數區域中還存在著小范圍的周期振蕩，而這些嵌入在混沌振蕩區域中的小塊周期振蕩區域，是經常會被設計者忽略的參數區域。因此，為了防止系統出現失穩屈曲現象，在參數選擇中應盡量遠離共振頻率，尋找周期數相對較低區域的參數，盡可能保證系統的平穩運行。

(5) 借助一階 Galerkin 截斷方法，將軸向加速梁系統簡化為含參數激勵的 Duffing 型振子，可以初步得到系統的定性性質 (分岔類型及混沌的轉遷規律)。然而，由于截斷階數較低，使得截斷后的系統對原系統的近似效果不夠好。因此，在后續研究中，我們將考慮參數異變性對高階 Galerkin 截斷所得系統振動特性的影響。

附錄A

奇異結構

圖A.1 蝦形三角形

圖A.2 對稱蝦形

圖A.3 類混沌之眼

圖A.4 蝦形的積累