基于可控電磁負(fù)剛度的半主動(dòng)隔振器傳遞率特性研究

孟 凱, 顧 勇, 劉豫喜, 馬 濤

(1.河南工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，鄭州 451191;2.機(jī)械科學(xué)研究總院江蘇分院有限公司 設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)部，江蘇 常州 213164)

剛度可控的振動(dòng)隔離技術(shù)對(duì)一些加載質(zhì)量和固有頻率可變，大激勵(lì)幅值振動(dòng)隔離有需求的工業(yè)行業(yè)的發(fā)展起著至關(guān)重要的促進(jìn)作用，例如：軍事工業(yè)、汽車行業(yè)和超精密機(jī)械加工行業(yè)。這些行業(yè)對(duì)隔振技術(shù)有著特殊的需求，它們涉及振動(dòng)線譜的降低和改造，振動(dòng)耦合沖擊的削弱和隔離，超低頻振動(dòng)的隔離等[1-6]。

根據(jù)線性隔振理論，要實(shí)現(xiàn)低頻率的隔振，只能通過(guò)減小剛度或者增大質(zhì)量的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。但是，減小系統(tǒng)的剛度會(huì)減弱隔振系統(tǒng)的承載能力或增大彈性單元的體積，而增大系統(tǒng)的質(zhì)量會(huì)迅速增加隔振器的成本。從而，單純降低隔振系統(tǒng)固有頻率的方法在實(shí)際應(yīng)用中受到了較大的限制。非線性的正負(fù)剛度并聯(lián)隔振系統(tǒng)，可以實(shí)現(xiàn)隔振系統(tǒng)的準(zhǔn)零剛度和高靜態(tài)剛度、低動(dòng)態(tài)剛度特性[7]。根據(jù)負(fù)剛度的構(gòu)成方式，非線性正負(fù)剛度并聯(lián)隔振器可分為機(jī)械式、永磁式和電磁式。

機(jī)械式結(jié)構(gòu)是通過(guò)水平方向施加能隨隔振對(duì)象垂直運(yùn)動(dòng)并與垂向運(yùn)動(dòng)同向的力，與垂向彈性元件支撐力并聯(lián)實(shí)現(xiàn)剛度的降低。主要型式有“三彈簧”結(jié)構(gòu)[8-11]和“歐拉曲屈梁”[12-13]結(jié)構(gòu)。機(jī)械式負(fù)剛度結(jié)構(gòu)具有強(qiáng)非線性的特點(diǎn)，在負(fù)剛度參數(shù)選擇合適的情況下，位移的傳遞率表現(xiàn)優(yōu)于線性系統(tǒng)。

永磁式結(jié)構(gòu)是通過(guò)多個(gè)永磁體之間的斥力或吸力構(gòu)成與隔振對(duì)象運(yùn)動(dòng)同向的力，與彈性元件的支撐力并聯(lián)實(shí)現(xiàn)剛度的降低[14-16]。永磁式負(fù)剛度結(jié)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊，無(wú)摩擦的優(yōu)點(diǎn)。

電磁式結(jié)構(gòu)是利用電磁鐵的通電后形成的吸力形成與隔振對(duì)象運(yùn)動(dòng)同向的力，與彈性元件的支撐力并聯(lián)實(shí)現(xiàn)剛度的降低[17-18]。電流的改變導(dǎo)致電磁力的變化，從而可以實(shí)現(xiàn)電流對(duì)剛度的控制。

機(jī)械式和永磁式結(jié)構(gòu)承載能力大，隔振質(zhì)量固定，而基于電磁鐵原理的電磁式負(fù)剛度結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，在鐵芯的磁滯作用下，電流對(duì)負(fù)剛度控制具有一定滯后性，其適用性受到一定限制。本文提出了一種基于線圈和永磁鐵的可控負(fù)剛度的新結(jié)構(gòu)，應(yīng)用于正負(fù)剛度并聯(lián)隔振器，克服了磁滯作用的影響，實(shí)現(xiàn)了對(duì)隔振質(zhì)量變化敏感性低和剛度可變、可控的要求，并研究電磁負(fù)剛度的形成原理，對(duì)其力學(xué)性能進(jìn)行解析表達(dá)，通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了基于可控負(fù)剛度隔振器的隔振性能和控制特性。

1 可控電磁負(fù)剛度

1.1 電磁負(fù)剛度原理

空氣中的無(wú)磁性導(dǎo)體是最佳的磁電的轉(zhuǎn)換介質(zhì)，可以提供隨電流變化的時(shí)變磁場(chǎng)，從而產(chǎn)生可控磁力?？諝庵械膬蓚€(gè)同軸分布的導(dǎo)電圓環(huán)，根據(jù)電流方向的不同，可以表現(xiàn)出來(lái)拉力或者斥力。由于兩個(gè)導(dǎo)電圓環(huán)的電磁物理特性，圖1(a)所示，當(dāng)固定兩個(gè)圓環(huán)中的一個(gè)，通入反向電流，另一個(gè)圓環(huán)在軸線方向由于受到電磁力的作用表現(xiàn)出來(lái)負(fù)剛度特性，加載電流的量值決定了負(fù)剛度的大小。

兩個(gè)電流反向的載流圓環(huán)形成的負(fù)剛度過(guò)小，不能滿足實(shí)際工況的隔振需求。增加電磁斥力是通過(guò)若干導(dǎo)電圓環(huán)的疊加生成線圈實(shí)現(xiàn)的，這不會(huì)影響電流對(duì)負(fù)剛度的控制效果。雖然，通過(guò)線圈疊加的方法可以增大部分電磁力，但是與永磁鐵相比還是小的多。若負(fù)剛度由兩線圈構(gòu)成，則負(fù)剛度的控制性優(yōu)異；若負(fù)剛度由兩個(gè)軸向充磁的環(huán)形永磁鐵構(gòu)成，則負(fù)剛度的尺度遠(yuǎn)大于線圈構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，但是這樣卻失去了負(fù)剛度的調(diào)節(jié)能力。綜合考慮，用一個(gè)線圈和一個(gè)環(huán)形永磁鐵構(gòu)成負(fù)剛度結(jié)構(gòu)，可同時(shí)兼顧較大的負(fù)剛度需求和負(fù)剛度可控制性，如圖1(b)所示。

若在軸向固定距離上需要產(chǎn)生更大的負(fù)剛度，由于磁場(chǎng)的可疊加性，可以利用形狀相同的線圈和環(huán)形永磁鐵疊加實(shí)現(xiàn)。把圖1(b)所示的厚度用兩組電流方向和磁場(chǎng)極化強(qiáng)度方向相反的線圈-電磁鐵組合，構(gòu)成圖1.2(c)所示的結(jié)構(gòu)。在這個(gè)結(jié)構(gòu)設(shè)置中，兩個(gè)線圈電流的方向相反，兩個(gè)永磁鐵的極化方向也相反。兩個(gè)永磁鐵被外力沿軸向壓制在一起，同時(shí)兩個(gè)線圈的位置也相互固定。由于多層線圈和多層永磁鐵的磁力疊加作用，負(fù)剛度在軸向固定距離上產(chǎn)生的負(fù)剛度更大。綜上所述，圖1(c)所示的結(jié)構(gòu)更適用于正負(fù)剛度并聯(lián)隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

圖1 負(fù)剛度原理模型

1.2 負(fù)剛度磁力和剛度計(jì)算

1.2.1 負(fù)剛度單元的疊加

為了獲得更大的電磁力和負(fù)剛度，n個(gè)負(fù)剛度單元沿著軸向被疊加在一起，如圖2所示。線圈和環(huán)形永磁鐵分別沿軸向固定，數(shù)量都為n，Cp表示第p個(gè)線圈，Mq表示第q個(gè)永磁鐵，根據(jù)磁場(chǎng)的疊加原理，軸向合電磁力FM可表示為

(1)

圖2 負(fù)剛度單元疊加原理

式(1)對(duì)線圈和環(huán)形永磁鐵的軸向位移Z求負(fù)導(dǎo)數(shù)可以得到負(fù)剛度kN的表達(dá)式為

(2)

只要得到單個(gè)線圈和環(huán)形永磁鐵軸向磁力FCpMq，便可求得疊加后的磁力和剛度的表達(dá)式。

1.2.2 單個(gè)線圈和環(huán)形永磁鐵軸向磁力計(jì)算

(1) 線圈和環(huán)形永磁鐵模型的統(tǒng)一

雖然，安培環(huán)流理論和磁荷理論對(duì)磁力的計(jì)算具有同等的效果，但是，線圈磁力用安培環(huán)流理論計(jì)算較方便，而永磁鐵磁力利用磁荷理論計(jì)算較方便。要計(jì)算包含線圈和環(huán)形永磁鐵的磁力系統(tǒng)，必須統(tǒng)一其理論模型。

線圈是由若干層螺線管疊加而成的，而單個(gè)的螺線管可以等效為一個(gè)圓柱永磁鐵[19]。一個(gè)高度為H，半徑為R，圈數(shù)為V，電流為I的螺線管，可以等效為一個(gè)等高度和半徑，磁極化強(qiáng)度為JEQ的圓柱永磁鐵，如圖3(a)所示，其等效的磁極化強(qiáng)度可表示為

(3)

圖3 螺線管和環(huán)形永磁鐵等效

式中，μ0表示真空磁導(dǎo)率。

根據(jù)磁場(chǎng)的可疊加性，一個(gè)內(nèi)徑為Ra，外徑為Rb，磁極化強(qiáng)度為J的環(huán)形的永磁鐵可以等效為兩個(gè)外徑分別為Ra和Rb的圓柱永磁鐵，其磁化強(qiáng)度JOUT和JIN大小相等、方向相反，可表示為

J=JOUT=-JIN

(4)

(2) 線圈和環(huán)形永磁鐵磁力計(jì)算

根據(jù)螺線管和環(huán)形永磁鐵的等效，線圈和環(huán)形永磁鐵之間的磁力計(jì)算，可以等效為多層螺線管疊加與兩個(gè)圓柱永磁鐵的計(jì)算，如圖4所示。構(gòu)成線圈的銅導(dǎo)線的直徑為d，沿著軸向和徑向均勻排列。U表示構(gòu)成線圈的螺線管沿徑向分布的數(shù)量；V表示組成螺線管的導(dǎo)線環(huán)的數(shù)量，螺線管的高度H=V×d，線圈的總?cè)?shù)可以表示為U×V，螺線管的最小半徑為Rc。線圈等效后的磁極化強(qiáng)度JEQ等于等效后的圓柱永磁鐵的磁極化強(qiáng)度。對(duì)于環(huán)形永磁鐵等效為兩個(gè)高度h相同，半徑為Ra和Rb的兩個(gè)圓柱永磁鐵。極化強(qiáng)度為JOUT和JIN。單個(gè)線圈和環(huán)形永磁鐵之間的磁力FCpMq，表示為

圖4 線圈和環(huán)形永磁鐵等效

(5)

(6)

式中：r(u)表示線圈等效的螺線管半徑；Fp(r(u),Ra,Rb,h,Z)表示螺線管等效為圓柱永磁鐵后與環(huán)形永磁鐵等效的兩個(gè)圓柱永磁鐵的磁力，可表示為[20-21]

JOUTf(r,Rb)]

(7)

其中間轉(zhuǎn)變等式f(r,R)為

(8)

其中i表示積聚在螺線管等效圓柱永磁鐵圓形端面的磁荷極性，正磁荷為1，負(fù)磁荷為-1；同理，j表示積聚在環(huán)形永磁鐵等效圓柱永磁鐵圓形端面的磁荷極性。

其中f′表示為

(9)

K(·)、E(·)和Π(·)分別表示第一類、第二類和第三類完全橢圓積分，其中：

(10)

(11)

(12)

(13)

1.3 電磁負(fù)剛度的近似表達(dá)

式(5)～(13)組成的表達(dá)式代入到式(1)和(2)能夠準(zhǔn)確的表達(dá)磁力和負(fù)剛度的大小，然而，由于含有多個(gè)完全橢圓積分，形式過(guò)于復(fù)雜，很難直接應(yīng)用于動(dòng)力學(xué)建模。所以，對(duì)電磁力和負(fù)剛度的表達(dá)式進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化以便建立簡(jiǎn)潔的動(dòng)力學(xué)模型。

假設(shè)負(fù)剛度kN(I,Z)關(guān)于電流I和位移Z的表達(dá)式為

kN(I,Z)=k1(I)+k2(I)Z2

(14)

式中，k1(I)和k2(I)Z2是關(guān)于電流的函數(shù)。在位移Z[-5,5]mm，表1所示的負(fù)剛度結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(1)～(13)求得的精確值，用最小二乘法擬合負(fù)剛度的近似表達(dá)式為

kN(I,Z)=-4 962.5I+213.2IZ2

(15)

表1 負(fù)剛度結(jié)構(gòu)參數(shù)

精確解與近似解的對(duì)比，如圖5所示。可以看出，精確解和近似解具有較好的一致性，負(fù)剛度關(guān)于位移的變化呈現(xiàn)出非線性特性，最大負(fù)剛度位于相對(duì)位移為零處。

圖5 剛度表達(dá)式近似法與解析法對(duì)比

2 正負(fù)剛度并聯(lián)隔振器

正負(fù)剛度并聯(lián)隔振器隔振方向?yàn)樗椒较?，結(jié)構(gòu)圖如圖6所示。

圖6 正負(fù)剛度并聯(lián)隔振器結(jié)構(gòu)圖

線圈和永磁鐵提供負(fù)剛度(kN)，螺旋彈簧提供正剛度(kP)，固定在主軸上的所有質(zhì)量定義為隔振質(zhì)量m，z0表示機(jī)架的激勵(lì)位移，z1表示隔振質(zhì)量位移，隔振質(zhì)量相對(duì)于機(jī)架的位移z=z1-z0，根據(jù)牛頓第二定律和達(dá)朗貝爾原則，系統(tǒng)可表示為

(16)

當(dāng)支座水平方向上位移為

z0=Z0cosωt

(17)

對(duì)式(16)進(jìn)行無(wú)量綱化處理，可表示為

(18)

其中：

(19)

α的符號(hào)決定了隔振器的非線性特性的類型，由于[2KP+k1(I)]和k2(I)的符號(hào)都為“+”，所以，無(wú)量綱化的非線性系統(tǒng)呈現(xiàn)硬特性。這里的ωn表示的不是隔振器的固有頻率，而是隔振器在αx3?1時(shí)線性狀態(tài)下的自然頻率。

假設(shè)無(wú)量綱表達(dá)式的位移為

x=Xcos(Ωτ+Φ)

(20)

采用諧波平衡法對(duì)無(wú)量綱化的表達(dá)式(18)進(jìn)行求解可得

(21)

3 電流對(duì)正負(fù)剛度并聯(lián)隔振器的控制特性

式(18)為隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，其中非線性系數(shù)α和ζ阻尼率決定了系統(tǒng)性質(zhì)。而式(19)中關(guān)于α和ζ的表達(dá)式都是關(guān)于電流的變量。電流的變化導(dǎo)致α和ζ的變化，從而改變式(18)表示的隔振系統(tǒng)的性能，實(shí)現(xiàn)電流對(duì)隔振性能的控制作用。

3.1 電流對(duì)阻尼率和非線性系數(shù)的作用

根據(jù)式(19)中的ζ和ωn的表達(dá)式進(jìn)行整理可得激勵(lì)電流I對(duì)阻尼率的作用表達(dá)式，代入表2和近似表達(dá)式(15)的參數(shù)，ζ可表示為

(22)

勵(lì)磁電流對(duì)阻尼率的作用，如圖7所示。隨著勵(lì)磁電流的增加，無(wú)量綱表達(dá)的系統(tǒng)的阻尼率隨電流的增加而增大。觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，電流對(duì)阻尼率的作用是非線性的。值得注意的是，隨著電流從0增加到1.0 A，阻尼率從0.09增加到了0.16。

圖7 勵(lì)磁電流I對(duì)阻尼率ζ的作用

根據(jù)式(19)中非線性系數(shù)α的表達(dá)式進(jìn)行整理可得激勵(lì)電流I對(duì)阻尼率的作用表達(dá)式，代入表2和近似表達(dá)式(15)的參數(shù)，α可表示為

(23)

從式(23)可以發(fā)現(xiàn)，勵(lì)磁電流I對(duì)非線性系數(shù)α的作用受到激勵(lì)幅值Z0的影響，不同激勵(lì)幅值下，勵(lì)磁電流對(duì)非線性系數(shù)的作用，如圖8所示。可以看出，在固定幅值激勵(lì)下，勵(lì)磁電流增大，非線性系數(shù)也隨之增大，并且勵(lì)磁電流I和非線性系數(shù)之間的關(guān)系是非線性的。值得注意的是，相比激勵(lì)幅值Z0對(duì)非線性系數(shù)的影響明顯要比勵(lì)磁電流I對(duì)非線性系數(shù)的影響大。

圖8 勵(lì)磁電流I對(duì)非線性系數(shù)α的作用

3.2 電流對(duì)振動(dòng)傳遞率的作用

若振源為地基的橫向運(yùn)動(dòng)，那么絕對(duì)位移傳遞率定義為隔離質(zhì)量的位移與地基位移幅值的比值，可表示為

(24)

對(duì)式(16)采用諧波平衡法求解后代入式(24)，絕對(duì)位移傳遞率的表達(dá)式為

(25)

由式(25)表示的絕對(duì)位移傳遞率與激勵(lì)頻率在(Z0=0.9 mm)的關(guān)系如圖9所示?？梢钥闯觯^對(duì)位移傳遞率曲線受到電流的控制作用，電流為零時(shí)，呈線性特性，不發(fā)生頻率跳躍現(xiàn)象。隨著電流增大，傳遞率曲線出現(xiàn)非線性特性，發(fā)生頻率跳躍現(xiàn)象，電流越大，非線性程度越明顯。由于勵(lì)磁電流具有增大阻尼率的特性，傳遞率的共振峰值隨著電流增大而減小，這對(duì)提升系統(tǒng)的隔振效果是有益的。

圖9 非線性狀態(tài)下勵(lì)磁電流對(duì)傳遞率的作用(Z0=0.9 mm)

由式(23)圖8可以看出，在位移激勵(lì)較小的情況下，非線性系數(shù)接近零，系統(tǒng)趨近于線性系統(tǒng)。從而，當(dāng)α?1時(shí)，系統(tǒng)絕對(duì)位移傳遞率可近似為線性系統(tǒng)，可以表示為

(26)

由式(25)和式(26)表示的非線性和線性表達(dá)式在小振幅激勵(lì)下的關(guān)系如圖10所示。從圖中可知，在激勵(lì)幅值較小的情況下，非線性算法和近似線性算法一致性較好，隨著電流的增大峰值頻率和峰值傳遞率逐漸減小，勵(lì)磁電流對(duì)其過(guò)程具有線性的控制作用。

圖10 線性與非線性算法傳遞率比較(Z0=0.3 mm)

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 隔振器試驗(yàn)裝置

為了有效的隔絕地面振動(dòng)對(duì)測(cè)試系統(tǒng)的干擾，整個(gè)測(cè)試系統(tǒng)設(shè)置在一個(gè)氣浮隔振平臺(tái)上。另外，為了減小激勵(lì)裝置與被隔離質(zhì)量之間振動(dòng)的耦合，所采用的JZ-2型激振器與測(cè)試系統(tǒng)分別位于兩個(gè)獨(dú)立的氣浮隔振平臺(tái)上。Gf-20W功率放大器用于驅(qū)動(dòng)JZ-2型激振器，激勵(lì)信號(hào)為10 Hz的正弦信號(hào)耦合白噪聲。Accelnet Micro Panel ACJ-055-18電流驅(qū)動(dòng)器用于產(chǎn)生線圈內(nèi)的勵(lì)磁電流?？刂齐娏鞯男盘?hào)和激振器的激勵(lì)信號(hào)由NI控制器(NI PXI-1024Q)產(chǎn)生。另外，被隔振質(zhì)量的加速度和激勵(lì)的加速度分別由兩個(gè)PCB 393B04加速度傳感器測(cè)量。加速度信號(hào)的采集永西門子的LMS SCADAS XS信號(hào)采集器采集。所采集數(shù)據(jù)的處理和傳遞率的繪制采用LMS Test.Lab軟件進(jìn)行處理。隔振器試驗(yàn)裝置如圖11所示。隔振器參數(shù)通過(guò)測(cè)量獲得，如表2所示。

圖11 正負(fù)剛度并聯(lián)隔振器試驗(yàn)裝置

表2 隔振器系統(tǒng)參數(shù)

4.2 試驗(yàn)結(jié)果

絕對(duì)位移傳遞率曲線反映隔振器的隔振性能，通過(guò)對(duì)比不同勵(lì)磁電流下的傳遞率曲線可以獲得電流對(duì)隔振性能的作用。對(duì)隔振器線性狀態(tài)下的傳遞率進(jìn)行了測(cè)試并與解析算法進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果如圖12所示。圖中的解析解用式(26)進(jìn)行計(jì)算。通過(guò)約束激振器的幅值，使得的隔振器工作在線性區(qū)間。從圖中可以看出，試驗(yàn)傳遞率曲線與式(26)表達(dá)的解析傳遞率相吻合。勵(lì)磁電流越大，共振頻率越低。隨著電流的增大，系統(tǒng)的剛度降低，低頻隔振性能提高。由于系統(tǒng)的剛度降低，相同阻尼對(duì)系統(tǒng)的共振峰的抑制作用也越大，從圖中看一看出共振峰的幅值隨著電流的增大在降低。隔振器的低頻隔振性能得到提高，而且其提高程度通過(guò)勵(lì)磁電流的大小實(shí)現(xiàn)在線控制。

圖12 電流對(duì)絕對(duì)位移傳遞率控制特性的試驗(yàn)與解析對(duì)比

5 結(jié) 論

本文提出了一種磁致可控負(fù)剛度結(jié)構(gòu)和基于此結(jié)構(gòu)的正負(fù)剛度并聯(lián)半主動(dòng)隔振器，建立了磁致負(fù)剛度和正負(fù)剛度并聯(lián)隔振器的數(shù)學(xué)模型，并分析了勵(lì)磁電流對(duì)隔振性能的控制特性，為低頻隔振技術(shù)提供了新的理論方法。主要的結(jié)論和研究成果有以下幾個(gè)方面：

(1) 提出了一種新型非線性磁致負(fù)剛度結(jié)構(gòu)，其具有電流可控特性，并推導(dǎo)了磁致負(fù)剛度結(jié)構(gòu)的理論模型，分析了電流對(duì)負(fù)剛度特性的作用原理。由于負(fù)剛度理論模型的復(fù)雜性不宜直接用于動(dòng)力學(xué)模型，基于近似法建立了電流對(duì)負(fù)剛度作用模型kN(I,Z)=-4 962.5I+213.2IZ2。

(2) 基于磁致負(fù)剛度結(jié)構(gòu)建立了正負(fù)剛度并聯(lián)隔振器動(dòng)力學(xué)，分析了電流對(duì)阻尼率、非線性系數(shù)的影響和絕對(duì)位移傳遞率的控制作用。電流增大，隔振系統(tǒng)的阻尼率和非線性系數(shù)增大，絕對(duì)位移傳遞率共振峰下降，反之亦然。

(3) 建立了正負(fù)剛度并聯(lián)的實(shí)驗(yàn)裝置，驗(yàn)證了隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了線性狀態(tài)下，當(dāng)電流變化為0～1.0 A，共振峰的絕對(duì)位移傳遞率由14.9～10.5 dB的變化，低頻隔振性能優(yōu)異。

后續(xù)研究：

進(jìn)一步研究勵(lì)磁電流對(duì)非線性狀態(tài)下的隔振性能，發(fā)現(xiàn)勵(lì)磁電流對(duì)系統(tǒng)在大振幅狀態(tài)下的頻率變化規(guī)律，從而開(kāi)發(fā)出隔振頻帶更寬的隔振器。