考慮側壁影響的偏心單剛體地震響應分析

賈傳果， 潘家富， 李建廣， 馬 麗

(1. 重慶大學 山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室，重慶 400045；2. 重慶大學 土木工程學院，重慶 400045)

地震時建筑物內高大器物的搖擺、晃動，通常會導致一定的人員傷亡和經濟損失。據統計調查，室內家具帶來的災害損失僅次于建筑倒塌，其中以柜類家具的災害形態最為多樣[1]。柜體、冰箱等一般是靠墻壁安放在室內地面上，與地面或墻體之間沒有可靠的連接。當建筑遭遇地震影響時，此類家具會發生搖擺、滑移、與墻壁碰撞等運動[2]，甚至會出現傾倒現象。

自1963年Housner首次提出了剛體搖擺動動力分析方法并創建了搖擺剛體經典模型后，剛體搖擺運動分析方法和模型得到了很大的發展與改進[3]。近年來，國外學者對偏心單剛體碰壁、碰地等運動做了許多理論性研究。Pompei等[4]研究了剛體塊結構受強烈水平地面激勵作用下的滑動與搖擺響應。Boroschek等[5]對在水平方向上有偏心的剛體塊結構的動力響應特征進行了研究。Contento等[6]研究了偏心單剛體的偏心距和安全擋塊對結構動力響應的影響。Wittich等[7]對偏心單剛體進行了試驗研究，發現水平質量偏心對處于搖擺模式的結構影響最大，并可能增加傾覆的風險。現有研究主要是理論分析和數值模擬，試驗研究相對較少，且未見有考慮碰壁的影響。建筑物內家具一般是靠墻放置的，發生碰壁后，會導致地震能量向剛體臨空側(與臨墻側對應的另一側)積累，從而加劇剛體傾倒的危險性。另外，剛體在碰地前后，運動方程發生改變，若未能準確地判斷碰撞點會導致誤差積累，以致計算精度大幅降低。隨著剛體搖擺運動研究的深入與非結構構件抗震的需要[8]，建立切合實際的剛體搖擺運動分析方法，提高剛體地震響應分析的精度顯得尤為重要。

于此，本文首先利用Lagrange定理建立了偏心單剛體運動方程；并基于角動量守恒進行剛體碰撞分析，提出碰地瞬間的恢復系數公式，采用Rosenbrock方法建立了偏心單剛體搖擺運動響應分析方法；進行了剛體的單側碰壁試驗，驗證了剛體動力分析方法的可靠性；通過數值模擬，分析了考慮碰壁影響的必要性。

1 偏心單剛體搖擺運動方程的推導

在推導運動方程的過程中，借鑒Housner的推導過程[9]，采用了如下假設：物體和地面均為剛體；物體與地面的接觸面摩擦力足夠大，不會產生滑動；碰撞是非完全彈性碰撞。

本文采用拉格朗日方程推導出偏心單剛體的搖擺運動方程。偏心單剛體的計算模型如圖1所示，其中c″為矩形剛體的質心，質心到幾何中心c的距離為偏心距(沿X軸正方向為正)e，e=B/2-b1。R1和R2分別為質心到搖擺點O和O′的距離。假定偏心單剛體繞O點搖擺運動時，搖擺角為正；相反，偏心單剛體繞點O′搖擺時，搖擺角為負。

圖1 偏心單剛體的計算模型Fig.1 Computational model of asymmetric rigid block

拉格朗日運動方程是一個非常重要的力學分析方程，它具有以下形式

(1)

式中：T為動能；Qk為廣義力。該方程組以N個廣義坐標，q1,q2,…，qN,作為獨立變量。如果作用在質點系上的主動力都是有勢力(保守力)，則廣義力Qk可寫成用質點系勢能表達的形式

(2)

式中，V為系統勢能。

假設地面運動位移為ug，假設剛體的搖擺角為θ。剛體質心在水平方向上的絕對位移為u可表示為

u=ug+xc″,xc″=b1-R1sin(α1-θ)

(3)

質心在豎直方向上的絕對位移為yc″可表示為

yc″=R1[cos(α1-θ)-cosα1]

(4)

對式(4)求導可得水平方向和豎直方向的絕對速度，依次求出偏心單剛體結構的動能T和勢能V，根據拉格朗日方程可推得偏心單剛體繞O點搖擺運動方程。

(5)

同理矩形偏心單剛體繞O′點的搖擺運動方程

(6)

2 搖擺啟動條件分析

當地面運動幅度較小時，結構不會產生搖擺運動。為提高計算效率，需要先判斷是否發生搖擺，一旦發生搖擺則開始積分，故有必要分析剛體搖擺的啟動條件。通過分析可得偏心單剛體發生搖擺運動應該滿足兩個條件：①摩擦力足夠大，不產生滑動；②外部激勵產生的力矩超過自重產生的恢復力矩。

當矩形偏心單剛體擺動(即θ>0)時，其自重產生的恢復力矩為mgRsin(a1-θ)。當搖擺角為零時，剛體自重產生的恢復力矩最大為mgRsina1。隨著搖擺角增大，自重產生的恢復力矩減小，當搖擺角達到臨界值(即θ=α1)時，自重產生的恢復力矩為零[10]。一旦搖擺角超過臨界值，剛體無法回到初始平衡位置，即產生傾覆。剛體搖擺時，恢復力矩和搖擺角遵循圖2所示關系，在此過程中不損失能量[11]。剛體搖擺運動的能量損失主要來源于摩擦耗能和單剛體與地面的碰撞耗能。

圖2 恢復力矩與搖擺角關系Fig.2 Relationship of restoring moment and rocking angle

如圖1所示，當地面運動引起的慣性力繞O點的力矩超過自質量產生的恢復力矩，剛體開始擺動。由此可見，偏心單剛體繞O點搖擺運動的啟動條件為

(7)

同理可以得到繞O′點的搖擺運動條件

(8)

對比式(7)和式(8)可以看出，偏心的矩形單剛體對不同搖擺點的搖擺啟動條件不一致，以靠近質心的角點為搖擺點的搖擺運動更容易被激發。

當地面運動幅值較小時，不會激起剛體的搖擺運動。這樣可把地震動時程曲線中第一次達到啟動條件之前的部分扣除掉。另外，一般地震動時程曲線尾部，幅值小于啟動條件時，不會引起過大的搖擺運動。因此，可以把地震動時程曲線中最后一次達到啟動條件之后的部分扣除掉。

3 理想條件下碰撞恢復系數的確定

碰撞是剛體搖擺運動的關鍵，其特點是在短時間內速度大小和方向發生瞬時變化。碰撞問題也一直是動力學領域的難點和熱點問題[12]。碰撞問題的關鍵是碰撞恢復系數，關于碰撞恢復系數的定義尚未統一，而常見的定義有三種：①牛頓定義法：碰撞恢復系數為碰撞后與碰撞前物體的速度之比；②沖量定義法：碰撞恢復階段與壓縮階段的沖量之比；③能量定義法：碰撞恢復階段與碰撞壓縮階段所釋放及吸收的彈性應變能之比。本文中碰地和碰壁過程均采用牛頓定義法，及碰撞前后的速度比。根據碰撞過程假設不同，碰撞問題的解決辦法有三種：連續接觸力法、沖量動量法、基于連續介質力學的有限元法[13]。本文采用沖量動量法確定恢復系數[14]。

(9)

依據角動量的柯尼希定理，碰撞前的角動量為剛體塊對質心的角動量和剛體質心對O′的角動量之和。故碰撞前角動量為

(10)

(11)

根據碰撞前后角動量相等可得偏心單剛體繞O′點的碰撞恢復系數

(12)

同理可得偏心單剛體碰地后繞O點(即碰地時偏心單剛體的O點撞擊地面)的碰撞恢復系數

(13)

(14)

碰壁前角動量為

(15)

根據碰撞前后角動量相等可得偏心單剛體碰壁時的碰撞恢復系數

(16)

圖3 碰撞前后角動量守恒Fig.3 Conservation of angular momentum before and after collision

4 偏心單剛體搖擺響應數值分析

4.1 搖擺運動方程的求解

Rosenbrock積分方法是在隱式Runge-Kutta算法的基礎之上，通過采用內嵌牛頓迭代的方式進行顯式化，因此也被稱為線性隱式積分方法[15]。該方法既保留了Runge-Kutta算法的穩定性，又避免了迭代，提高了計算效率。

根據本文精度和穩定性要求，采用具有二階精度的Rosenbrock積分方法L-Stable Real-Time compatible algorithm(LRST2)算法。二階方程不便直接利用Rosenbrock的LRST2方法進行求解，為滿足積分方法的要求，需要對原運動方程進行降階處理。

以式(5)繞O點運動方程為例，進行運動方程的降階處理，首先把運動方程式(5)轉化為

(17)

(18)

Kθk。

利用Jacobian矩陣對方程進行降階預處理得到最終表達式為

(19)

采用Rosenbrock方法時，將地震動時程曲線總時間T等分為N個相等的時間步Δt，即Δt=T/N。令tk=kΔt，則yk表示在tk時刻的狀態變量值。應用Rosenbrock方法計算在tk+1時刻的狀態變量值yk+1，則

(20)

yk+1=yk+k2,
k2=[I-γΔtJ]-1(Jyk+fk-Jγk1)Δt

(21)

Jacobian矩陣是多元方程組的一階偏導數以一定方式排列而成的矩陣，體現了一個可微分方程與給出點的最優線性逼近[16]，因此，Jacobian矩陣類似于多元函數的導數。在進行積分計算的時候，只需要在每一步更新Jacobian矩陣，這樣就避免了大量的迭代過程，簡化了計算。偏心單剛體其他模式的搖擺運動方程都可通過此方法進行降階預處理，最后將處理后的運動方程采用Rosenbrock數值積分方法進行求解。

4.2 子步-兩步法

碰撞前后速度發生變化，碰地時刻還存在運動方程的改變。因此為了準確進行搖擺運動方程求解，需要通過搖擺角來確定偏心單剛體的運動模式。現假定碰壁為正向碰壁，即到正向搖擺角超過某一數值時，剛體與墻壁發生碰撞。

將Rosenbrock積分方法用于本文偏心單剛體搖擺運動響應的問題之中，可以直接對各種模式處理后的狀態方程進行求解。為了提高碰撞點的判別精度，本文提出了“子步-兩步法”。其原理為在判斷可能發生碰撞的積分步長內，插入一定數量的子步，以更小積分步長進行計算；當再次判別到碰撞點時，再采用“兩步法”(積分步示意圖如圖4所示)。下面以偏心單剛體與地面碰撞為例，介紹其計算過程(如圖5所示)。假設在點A～點B之間發生了碰撞(搖擺角符號發生改變)，在這個時間段內插入一定數量的子步(示意圖中只插入了四個子步)。在以子步步長計算的過程中假設在點C和點D之間發生了搖擺角符號改變，此時假定點C和點D之間搖擺角線性變化，可得到理想碰撞點E。兩步中第一步的積分步長為ωt，第二步的積分步長δt-ωt。在C點和D點之間采用“兩步法”(如圖6所示)，更加準確地識別碰撞點。

圖4 子步-兩步法積分示意圖Fig.4 Sub-step-two-step integration diagram

圖5 子步1兩步法Fig.5 Sub-step-two-step method

圖6 兩步法Fig.6 Two-step method

4.3 計算程序與正確性驗證

為驗證計算程序的正確性，本文的計算模型選取的是文獻[17]的模型。該文獻中采用的剛體塊模型高4 m，寬2 m，質量為124.8 t，碰撞恢復系數取為0.8。地面激勵采用1976發生在意大利的Friuli地震，加速度峰值為1.0g，時間間隔為0.005 s，前12 s的加速度時程曲線如圖7所示。文獻采用的求解搖擺運動方程方法為Runge-Kutta積分方法，最大的步長為0.001 s。本小節對同樣的模型采用基于Rosenbrock積分方法的“子步-兩步法”方法進行計算，考慮到在原文獻中積分采用的最大步長為0.001 s，是五分之一的原始地震動時間間隔，所以在“子步-兩步法”將子步數ss=5。通過兩種方法計算得到的搖擺角時程曲線對比來驗證所本文編寫的MATLAB程序的正確性，其計算過程循環示意圖如圖8所示。循環每一步都包含碰地判斷和碰壁判斷兩個判斷條件。這兩個判斷條件互不影響，因為碰地和碰壁不會同時發生。

圖7 Friuli地震波加速度時程曲線Fig.7 Acceleration time history curve of Friuli earthquake

圖8 主循環流程圖Fig.8 Main loop flow chart

圖9顯示了參考文獻計算結果與本文“子步-兩步法”的計算結果。對比“子步-兩步”法和參考文獻計算結果可以看出，兩條曲線吻合度非常高，趨勢一致，只在后期存在一些細微差別。由此可知，Rosenbrock積分算法具有較好的精度和穩定性，且“子步-兩步法”可以提高計算的精度。

圖9 搖擺角計算結果對比Fig.9 Comparison of calculation results

5 理論計算與試驗結果對比

試驗采用儀器為小型地震振動臺系統(WS-Z30-50)和Vic-2D非觸式動力響應采集系統。試件參數見表1。

表1 試驗試件的參數Tab.1 The parameters of experimental specimens

為了滿足碰壁試驗的剛度要求，采用兩塊厚5 mm鋼板焊接為L型。用四根20 mm×20 mm(厚2 mm)的鋁合金方管組成框架作為墻壁的支撐結構。試驗試件設計如圖10(其中(a)為正視圖，(b)為俯視圖)和圖11所示。

圖10 試驗試件設計 (cm)Fig.10 Dimension of specimens (cm)

圖11 試件配置圖Fig.11 The photos of specimens

進行振動臺試驗前，為方便試驗進行，對試驗所有的地震動進行命名，采用太平洋地震研究中心強震數據庫中的NGA序號命名，如“NGA1493”代表前場效應TCU053EW臺站的地震動。通過自由振動試驗測得了實際的碰地恢復系數0.901，較理論計算結果0.873偏大。碰壁恢復系數統一取理論推導值1.0。將采用MATLAB編制計算程序，計算結果如圖12和圖13所示。從圖中可以看出無論是在碰壁還是不碰壁的情況下兩次試驗曲線幾乎重合，充分證明了試驗試件設計的合理性以及偏心單剛體振動臺試驗的可重復性。數值模擬結果與試驗結果相比，總體走勢相近，較試驗結果偏大。導致偏差的原因為：數值模擬時假設剛體作單軸向搖擺運動，實際試驗過程中不可避免會發生微小的滑移、扭轉等現象，導致試驗結果較模擬結果偏小。考慮碰壁影響時，碰撞過程更為復雜，不確定性增加，計算結果和試驗結果的偏差略大。此外，模擬所得的時程曲線，與試驗結果相比，有相位差。這主要是由于剛體與地面接觸面不平整，導致試件搖擺運動更早被激發。表2給出了偏心單剛體在地震動作用下試驗結果與數值計算結果的搖擺角峰值絕對值的對比結果。本模擬試驗結果相比實際結果而言偏大，主要是因為試驗中考慮的是最不利的情況下的試驗結果。

圖12 NGA1493地震動作用下單剛體搖擺角時程曲線Fig.12 The rocking angle curve of single rigid block under the NGA1493 wave

圖13 NGA1504地震動作用下單剛體搖擺角時程曲線Fig.13 The rocking angle curve of single rigid block under the NGA1504 wave

表2 試驗結果與計算結果的搖擺角峰值對比Tab.2 The comparison of the peak rotation angle value between the test and the theory

6 偏心單剛體結構搖擺動力響應影響因素分析

為了研究偏心單剛體搖擺動力響應影響因素，參考已有研究選取常用的恒溫箱作為計算模型[18]，其尺寸參數見表3。通過設定偏心單剛體塊距離墻壁的距離，選定地震動作用NGA1494、NGA1515、NGA1531進行數值模擬，以偏心單剛體結構在地震動作用下的搖擺角峰值為指標來研究碰壁對剛體搖擺響應的影響，計算結果如圖14和圖15所示。

表3 模型參數Tab.3 Geometric and physical characteristics of the model

圖14 對稱剛體碰壁搖擺角與距壁距離的關系Fig.14 The relationship between rocking angle and distance from wall of a symmetric rigid body

圖15 偏心單剛體搖擺角峰值與距壁距離的關系Fig.15 The relationship between rocking angle and distance from wall of an asymmetric rigid body

從圖14和圖15可以看出，由于碰壁的影響，使搖擺角峰值(絕對值)與無碰壁影響有明顯不同，在部分工況下搖擺角峰值明顯提高，甚至出現了傾倒現象。這主要是當偏心單剛體正向搖擺碰撞墻壁瞬間，搖擺角速度方向發生變化，會導致地震能量向剛體臨空側積累，從而加劇剛體向臨空側傾倒的危險性。此外，有部分工況搖擺角峰值比不碰壁大幅降低，其原因主要在于碰壁過程伴隨著能量損失，使剛體搖擺響應降低。

7 結 論

以考慮側壁影響的偏心單剛體地震響應為研究對象，通過對偏心單剛體的運動方程推導、動力響應分析及單側碰壁試驗的研究，得出以下主要結論：

(1) 采用Rosenbrock方法建立了偏心單剛體搖擺地震響應分析方法，并提出采用“子步-兩步法”將碰撞前后的積分步長進行細分，與試驗結果對比發現，該方法具有穩定性強、精度高的優點。

(2) 在有些情況下，考慮剛體塊結構碰壁會增加其搖擺響應，增大了傾覆的可能性。因此，研究家具類器物地震影響時，有必要考慮碰壁的不利影響。