分數階Brusselator振子的簇發振動與分岔

王艷麗， 李向紅,,3， 王 敏， 申永軍,3

(1.石家莊鐵道大學 機械工程學院，石家莊 050043；2. 石家莊鐵道大學 數理系，石家莊 050043；3.石家莊鐵道大學 交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室，石家莊 050043)

多尺度耦合現象已經廣泛存在于機械、化工、生物等各個領域，成為目前非線性動力學領域的研究熱點和前沿課題之一，其中簇發振動[1]是多尺度耦合系統的典型動力學行為，表現為在一個周期內系統交替出現沉寂態和激發態。文獻[2-4]基于多尺度效應和非線性動力學穩定性與分岔理論，深入研究了神經系統中神經元放電活動的分岔模式。文獻[5-6]在非光滑系統、周期激勵系統、化學反應振蕩系統的多尺度耦合效應方面做了大量的工作，比如利用微分包含理論深入研究了非光滑系統尺度效應的分岔機制，提出了轉換相圖和包絡分析等方法，揭示了慢變激勵下的簇發振蕩模式及其演化過程。此外，國外很多學者也對簇發振動行為做了一些研究。Kouayep等[7]研究了一種光電振子，在電路中引入Colpitts振子會產生高頻電信號，并表現出周期性和簇發性等動力學行為。Herve等[8]研究了單擺臂和雙擺臂通過磁場耦合到非線性電路振動臺上的響應，結果表明由于電子信號的傳遞，擺臂的位移會發生簇發振動，并且振動的形狀周期和振幅取決于各種控制參數。然而，目前的研究主要集中在整數階系統上，相比較下，分數階系統的快慢效應研究成果較少。

近年來，分數階微積分系統被廣泛的應用到高能物理、反常擴散、復雜黏彈性材料力學本構關系、系統控制等若干領域[9]，其理論研究和應用研究受到了國內外學者的廣泛關注。比如，王軍等[10-12]研究了一些含有分數階微分的非線性與線性振子，采用平均法得到了系統的一階近似解，證明了分數階微分項不僅起著阻尼的作用同時還起著剛度的作用。Xu等[13]提出了具有多個時變時滯環節的分數階競爭神經網絡，并研究了這類神經網絡的全局漸近穩定性，為揭示穩定性判據與網絡拓撲結構之間的密切關系提供了一個新視角。Kandasamy等[14]研究了分數階脈沖四元數值神經網絡的多重Mittag-Leffler穩定性問題并仿真驗證了所得到的主要結果的有效性。Sekerci[15]研究了不同分數階定義下的食餌-捕食者系統的區別與聯系。Sllva等[16]研究了兩個基于分數階微積分提出的常微分方程系統，解決了腫瘤細胞和免疫系統之間的動力學問題。

Brusselator模型[17]是一類描述自催化反應的典型振子，早在1968年由Prigogine等提出。由于催化劑的存在，使反應過程中不同反應物的反應速率存在較大的差別，即涉及快慢不同的時間尺度。在之后的幾十年里，越來越多的學者投入到對Brusselator振子分岔、混沌以及近似解的研究中[18-24]。Rech[25]研究了周期強迫的四參數Brusselator振子，利用四維參數空間的一個給定截面，證明了該系統存在多穩態。Capone等[26]研究了全局Brusselator振子解的有界性，分析了離散化對線性穩定性的影響，發現在常微分方程系統中的穩定性與有擾動下的穩定性截然不同，并進行了非線性穩定性分析。Wang等[27]在研究分數階微分系統的同步現象時首次提出了分數階Brusselator系統，發現當分數階階次總和小于0.97時，分數階Brusselator振子存在一個極限環。Jena等[28]采用分數階約化差分變換法求解分數階Brusselator振子的近似解，并對其進行了誤差分析，發現該方法能夠以級數形式快速收斂。目前圍繞Brusselator振子整數階成果較多，相比之下，其關于多尺度耦合的分數階系統方面的研究尚在逐步發展階段。

本文主要考慮外部周期擾動因素影響反應過程中催化劑濃度的情形下，分數階Brusselator振子的簇發行為及其分岔機制，研究不同參數對系統的影響規律，為實際工程領域提供理論指導。

1 數學模型及分岔分析

分數階Brusselator振子

(1)

(2)

式中：n-1

實際上，催化過程易受到外界因素干擾及影響，因此要考慮外在周期因素。本文從外部擾動影響反應過程中催化劑濃度的情形出發，將這種擾動因素近似為外部周期擾動，從而進行動力學分析，其模型為

(3)

式中：γ和ω分別為外部周期擾動的幅值和頻率，令θ=ωt，則式(3)可轉化為廣義自治系統

(4)

當ω遠小于原系統的固有頻率，式(3)會存在量級上差異的兩個時間尺度，使其非線性行為更為復雜。此時由于周期性擾動，該反應會變為快慢兩個時間尺度耦合的系統，在式(4)中變量x和y為快子系統，θ為慢子系統?；诳炻治龇?，將慢變量視為快子系統的分岔參數。令F=γcosθ為快子系統的慢變參數，則快子系統表示為

(5)

由

(6)

得到快子系統式(5)的平衡點

下面將按照A+F是否等于0分兩種情況進行討論。

1.1 情況一：A+F≠0

平衡點E0處的特征方程為

λ2+[(A+F)2+1-B]λ+(A+F)2=0

(7)

式(5)在平衡點E0處的Jacobian矩陣為

(8)

進一步分析分數階系統發生Hopf分岔的條件，選取系統參數F為分岔參數，定義函數

根據整數階系統發生Hopf分岔的條件，進而推廣到分數階系統發生Hopf分岔[29]的條件，見命題1。

命題1當B≥1，且

若滿足下列條件：

條件1式(5)對應的特征方程有一對復共軛根λ1,2(F)=θ(F)±iω(F)；

下面證明此命題：

λ1,2=θ(F)±iω(F)

(9)

條件1得證。

(2) 在命題所給條件下，特征方程僅有一對共軛復根，那么有

因此,

(11)

基于分數階微分方程穩定性理論[30]，可得式(5)失穩的邊界條件

(12)

具體表達式為

(13)

條件2得證。

(3) 由于

(15)

兩邊關于F求導，可得

其中，

θ(F)=[B-1-(A+F)2]/2，

θ′(F)=-(A+F)，

(17)

因為A+F≠0，所以

θ′(F*)ω(F*)-ω′(F*)θ(F*)=

(18)

條件3得證。綜上，命題1成立。

選取參數A=1，B=3.8，可得到快子系統的階次q和慢變參數F之間的雙參數分岔圖。如圖1(a)所示，區域(I)、區域(II)和區域(III)內平衡點是穩定的，當跨越臨界線進入區域(IV)時，平衡點失穩同時出現穩定的極限環，圖1(b)和圖1(c)分別給出了區域(II)和區域(IV)中的系統時間歷程圖。圖1(a)中A和B表示q=0.75時對應的兩個臨界點。可見，式(5)有兩個Hopf分岔點，并且隨著分數階階次的減小，兩個Hopf分岔點之間的距離越來越小。

當q=1時，圖2給出了快子系統式(5)關于慢變參數F的分岔圖，其中平衡線F1-F2有五種類型的平衡點，分別是位于F1-H1上的穩定焦點，H1-S1上的不穩定焦點，S1-F0，F0-S2上為不穩定結點(這里不包括F0點，即F=-1的情況)，S2-H2上的不穩定焦點，H2-F2上的穩定焦點。其中H1和H2為Hopf分岔臨界點，參數值為FH1=-2.67，FH2=0.67，當F在H1-F0和F0-H2(這里不包括F0點的情況)快子系統存在穩定的極限環，圖3給出了F為-1.5和-0.5時的相圖。

圖1 系統的分岔圖和時間歷程圖Fig.1 Bifurcation diagram and time history diagram of the system

圖2 快子系統的平衡點關于慢變參數F的分岔圖Fig.2 The bifurcation diagram with respect to parameter F

圖3 極限環的相圖Fig.3 The phase diagram of limit cycle

1.2 情況二：A+F=0

對于整數階的情形，若A+F=0，此時F=-1。對于式(5)，直線x=0上任何點均為系統的奇點，即F=-1時，縱坐標y軸是奇線。顯然，式(5)的平衡點為(0,m)，m為任意實數。在(0,m)處對系統線性化可得矩陣

(19)

特征值是0和-4.8，此時不能直接判別平衡點的穩定性，需要借助中心流形定理進行判斷。構造一個T矩陣，其列為M的特征向量，即

(20)

此時，顯然不是標準形，因此需進一步標準化來判斷其平衡點的穩定性，故有

(21)

應用變量代換

(22)

可得

(23)

在所給參數條件下整數階Brusselator式(5)可變為

(24)

將式(23)代入式(24)中可以進一步推出

(25)

此時，

Ec={(x1,x2)∈R2x2=0},x軸

(26a)

Es={(x1,x2)∈R2x1=0},y軸

(26b)

從而可知式(25)是標準形式，因此

(27)

(28)

中心流形方程為

h′(x1){-18.24[h(x1)]3-4.8x1[h(x1)]2}+

18.24[h(x1)]3+4.8x1[h(x1)]2+4.8[h(x1)]=0

(29)

圖4 奇線Fig.4 Singular line

對于F=-1時，分數階的穩定性情況，可以利用數值模擬進行驗證。圖5是對應分數階情況下，F=-1時的時間歷程圖?？梢园l現，對于分數階系統，與整數階系統有相同的結論，即在F=-1處，分數階系統也存在穩定的奇線x=0。

圖5 當F=-1時的時間歷程圖Fig.5 The time history for F=-1

2 簇發振動行為及參數的影響

本部分研究系統簇發振動行為與機理，以及不同參數對簇發振動的影響。

2.1 簇發振動及其機理

圖6是參數γ=0.8，ω=0.03，q=1時的時間歷程圖。可以計算出，整個周期振動頻率恰好是外部周期擾動頻率0.03。為了進一步揭示其簇發振動的產生機理，給出了關于變量x與慢過程F=0.8cos(0.03t)的轉換相圖，并將其轉換相圖和分岔圖疊加得到圖7。

圖7進一步表明了簇發振動的產生機理。假設在一個周期的演變過程中，相軌跡從A點出發，在A點時平衡點是不穩定的，并受到快子系統穩定極限環的吸引，導致系統呈現出大幅度振動而處于激發態。極限環會在經過Hopf分叉點H2后消失，只有穩定的平衡點吸引子，系統的大幅振動將逐漸收斂至穩定平衡線，此時系統完成了激發態演變到沉寂態的過程。最后當軌線到達B時，慢變過程F=0.8cos(0.03t)達到最大值，軌線將按照F減小的方向運動。此時系統仍處于沉寂態，并且在經過分岔點H2，系統并不會立刻進入激發態，而是由于分岔延遲在點P，開始大幅振動，系統再次處于激發態，直至完成了一個周期的運動，該簇發屬于Hopf簇發。同時，圖8(a)和圖8(b)分別給出了周期激勵增加和減少兩個方向上激發態滯后現象。

圖6 當q=1時的時間歷程圖Fig.6 The time history for q=1

圖7 當q=1時，轉換相圖和分岔圖的疊加Fig.7 Overlapping of transition portrait with bifurcation diagram for q=1

圖8 當q=1時，簇發現象的產生機理Fig.8 The generation mechanism of the periodic bursting oscillation for q=1

2.2 分數階階次對簇發振動的影響

下面討論分數階階次對簇發振動的影響，固定參數γ=0.8，ω=0.03。圖9和圖10分別給出了q=0.75和q=1.15時的時間歷程圖。

圖9 當q=0.75時的時間歷程圖Fig.9 The time history for q=0.75

圖10 當q=1.15時的時間歷程圖Fig.10 The time history for q=1.15

通過對比圖9、圖6和圖10可以看出，系統的激發態持續時間會隨著分數階階次的增大而變長，相對應沉寂態時間會縮短。該結論也可通過圖1(a)中快子系統的臨界階次和慢變參數之間的關系圖得到，即階次越小，兩個Hopf分岔點之間的距離越小，從而導致激發態的持續時間變短。同時，系統幅值也會隨著分數階階次減小而降低。

2.3 周期擾動幅值對簇發振動的影響

為了研究周期擾動幅值對簇發振動的影響，固定q=0.75，ω=0.03，通過改變γ的值來具體研究幅值的影響。由圖1(a)可知，當q=0.75時，兩個Hopf分岔點A，B的參數值分別為FA=-2.33，FB=0.33，這說明，當FAFB時，系統存在穩定焦點吸引子。由此可見，外部周期擾動幅值的變化將會使系統涉及快子系統的吸引子類型和個數發生變化。

當擾動幅值γ>2.33，F的變化范圍包含[-2.33,0.33]，存在三種吸引子：位于中間的穩定極限環和位于兩邊的穩定焦點吸引子，這將導致系統的軌跡產生變化。其中，中間與左右兩端的吸引子的雙穩性導致系統軌線在激發態與沉寂態之間相互轉遷，這樣會出現兩種激發態和兩種沉寂態的雙Hopf簇發現象，圖11給出了當γ=2.5時的時間歷程圖。

圖11 當γ=2.5時的時間歷程圖Fig.11 The time history for γ=2.5

如果擾動幅值0.33<γ<2.33，整個系統只涉及快子系統的兩種吸引子，即右側的穩定焦點吸引子和中間的極限環吸引子。此時，系統只存在單側雙穩性。如圖9所示，為單Hopf簇發。

如果擾動幅值γ<0.33，此時系統軌線只涉及到穩定極限環吸引子，雙穩性演變為單穩性，沉寂態消失，兩個激發態連接在一起，圖12給出了此種情況γ=0.3時的時間歷程圖。

圖12 當γ=0.3時的時間歷程圖Fig.12 The time history for γ=0.3

由此可見，在快慢耦合的系統中，如果周期擾動因素為慢變過程，則擾動幅值的大小可以調節系統的振動模式，其機理是涉及系統吸引子的種類發生了改變。

3 結 論

本文研究了具有外部周期擾動的分數階Brusselator振子，當外部周期擾動頻率遠小于系統固有頻率時，系統涉及兩個不同的時間尺度，表現出明顯的快慢效應，存在典型的簇發振動。通過系統的穩定性分析發現，系統存在一條穩定的奇線，并利用中心流形定理和數值模擬證明了其穩定性。在非奇線處，根據分數階系統穩定性理論討論了系統的穩定性，并給出了發生Hopf分岔的充分條件。

分數階階次和幅值對簇發振動具有明顯的影響。隨著分數階階次的減小，激發態逐漸減弱，其原因是由于隨著參數變化，兩個Hopf分岔點之間的距離變小，導致系統處于激發態的時間縮短。當擾動幅值較大時，系統存在雙Hopf周期簇發振動現象，其產生機理是系統涉及快子系統的兩個Hopf分岔，導致了激發態與沉寂態之間相互轉遷的分岔行為；隨著擾動幅值的減小，雙Hopf簇發逐漸演變為單Hopf簇發；當幅值繼續減小時，系統不再涉及Hopf分岔點，且僅涉及穩定極限環吸引子，單穩性會使系統一直處于激發態，沉寂態消失，但是整個周期振動是兩個頻率的耦合。

以上結論為研究分數階Brusselator振子的振動與控制提供了重要的理論依據和技術服務，同時整數階與分數階系統行為的本質差異問題需要進一步深入研究。