仿脊柱隔振器振動(dòng)特性分析

李小彭， 王政浩， 王碧涵

(1. 吉林大學(xué) 汽車仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春 130025；2. 東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110819)

振動(dòng)廣泛存在于我們的生產(chǎn)生活之中，在一些場(chǎng)合下振動(dòng)會(huì)對(duì)生產(chǎn)設(shè)備造成損害或影響設(shè)備的使用精度，為避免這種有害振動(dòng)，隔振器得到了廣泛的應(yīng)用。隔振器按工作方式分為主動(dòng)隔振器，半主動(dòng)隔振器和被動(dòng)隔振器，其中被動(dòng)隔振器[1-6]由于其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，節(jié)能等優(yōu)勢(shì)得到了更廣泛的應(yīng)用。

仿生學(xué)原理應(yīng)用于被動(dòng)隔振近年來(lái)吸引了大量學(xué)者關(guān)注，其中仿生學(xué)和非線性利用的結(jié)合成為當(dāng)前被動(dòng)隔振領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在這一方向進(jìn)行了大量的研究，Wu等[7]受到鳥(niǎo)腿的Z形結(jié)構(gòu)啟發(fā)，設(shè)計(jì)了正負(fù)剛度并聯(lián)的仿生型隔振器，分別研究了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其靜態(tài)剛度和動(dòng)態(tài)隔振性能的影響；Yan等[8]受到貓從高空安全墜落的啟發(fā)設(shè)計(jì)了一種三連桿結(jié)構(gòu)(bio-inspired polygonal skeleton,BIPS)型隔振器，研究了不同結(jié)構(gòu)構(gòu)型變化對(duì)BIPS型隔振器靜剛度，承載能力及工作范圍的影響，同時(shí)研究了參數(shù)變化對(duì)隔振器動(dòng)態(tài)性能的影響；Dai等[9]受袋鼠跳躍時(shí)腿部結(jié)構(gòu)啟發(fā)設(shè)計(jì)了一種BIQS型隔振結(jié)構(gòu)并將其應(yīng)用在太空衛(wèi)星捕捉機(jī)械手中，通過(guò)數(shù)值仿真研究參數(shù)變化對(duì)機(jī)械手動(dòng)態(tài)隔振性能的影響；Jing等[10]設(shè)計(jì)了一種X型仿生結(jié)構(gòu)并將其應(yīng)用于大型手提鉆中，通過(guò)數(shù)值仿真研究參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)隔振性能的影響，并通過(guò)樣機(jī)試驗(yàn)驗(yàn)證了結(jié)論的正確性，為結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計(jì)提供依據(jù)；Deng等[11]基于鳥(niǎo)類脖頸結(jié)構(gòu)建立了多自由度的準(zhǔn)零剛度隔振器，運(yùn)用諧波平衡法結(jié)合弧長(zhǎng)法對(duì)隔振性能進(jìn)行分析，研究發(fā)現(xiàn)該結(jié)構(gòu)具有良好的低頻隔振性能。王鑫等[12]設(shè)計(jì)了一種仿生X形抗沖擊結(jié)構(gòu)并將其應(yīng)用于在軌末端執(zhí)行器，建立了末端執(zhí)行器在沖擊力下的動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)隔振性能進(jìn)行分析，研究結(jié)果表明該結(jié)構(gòu)能有效抑制航天器抓捕時(shí)的振動(dòng)。Yan等[13]提出一種大行程的三連桿隔振器，通過(guò)靜力學(xué)分析研究了機(jī)構(gòu)的負(fù)剛度特性，并通過(guò)諧波平衡法對(duì)動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行分析，研究結(jié)果表明該機(jī)構(gòu)具有良好的低頻隔振效果。

本文設(shè)計(jì)了一種仿人體脊柱隔振器，脊柱是人體的中軸骨骼，是身體的支柱，有負(fù)重減震等功能，人體在劇烈運(yùn)動(dòng)或跳躍時(shí)脊柱可以起到緩沖隔振的作用，防止顱骨大腦受到損傷，受此生物學(xué)原理啟發(fā)，建立了仿脊柱節(jié)狀連接的隔振器物理模型，通過(guò)數(shù)值仿真[14-17]分別研究了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)隔振器靜態(tài)剛度和動(dòng)態(tài)隔振性能的影響，研究結(jié)果在被動(dòng)隔振領(lǐng)域具有良好的工程應(yīng)用前景。

1 靜態(tài)特性

1.1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

仿脊柱節(jié)狀連接隔振器結(jié)構(gòu)圖，如圖1所示。主要結(jié)構(gòu)包括：支座、連桿、轉(zhuǎn)軸、隔板、開(kāi)口銷、滑動(dòng)軸承、豎直彈簧、支撐軸、水平拉伸彈簧。在人體脊柱及其周圍分布有韌帶和肌肉，這些韌帶和肌肉在人體劇烈運(yùn)動(dòng)時(shí)起到緩沖和減振作用，防止人體大腦和顱骨受到損傷。韌帶主要包括相鄰椎骨間的黃韌帶和前后縱韌帶，由于韌帶具有很大的彈性，工作時(shí)如同彈簧作用的緩沖減振，受此生物學(xué)原理啟發(fā)，在仿脊柱隔振器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中加入水平拉伸彈簧和豎直彈簧，分別對(duì)應(yīng)人體脊柱結(jié)構(gòu)的黃韌帶和縱韌帶進(jìn)而起到緩沖和隔振作用，人體脊柱由多節(jié)椎骨連接而成，在此生物學(xué)構(gòu)造啟發(fā)下建立了仿脊柱隔振器多節(jié)節(jié)狀連接的結(jié)構(gòu)形式，同時(shí)為使隔振器受力更為均衡，每層均設(shè)計(jì)使用成對(duì)的水平橫彈簧。考慮到實(shí)際隔振空間變化需要，仿脊柱型隔振器的設(shè)計(jì)具有便于拆裝的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可根據(jù)實(shí)際隔振高度需要增加或減少連桿數(shù)量進(jìn)而調(diào)節(jié)其層數(shù)，達(dá)到不同隔振高度區(qū)間內(nèi)的重復(fù)利用，成為區(qū)別于傳統(tǒng)隔振器的一大結(jié)構(gòu)優(yōu)勢(shì)。

圖1 仿人體脊柱隔振器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structural diagram of human spine type vibration isolator

1.2 靜剛度特性

本節(jié)建立了多層仿脊柱隔振器靜力學(xué)模型，討論了不同設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)隔振器靜態(tài)剛度的影響，分析了隔振器在工作范圍內(nèi)達(dá)到正剛度的條件，并對(duì)仿脊柱隔振器不同參數(shù)下的承載能力進(jìn)行分析。多層仿脊柱隔振器簡(jiǎn)化模型如圖2所示。圖2(a)和圖2(b)分別代表仿脊柱隔振器初始狀態(tài)的示意圖和受到外部位移激勵(lì)變型后狀態(tài)的示意圖。其中各項(xiàng)參數(shù)說(shuō)明如下：y0為基礎(chǔ)激勵(lì)位移；y1為質(zhì)量塊位移;x為水平方向變形量;Kh為水平彈簧剛度;Kv為豎直彈簧剛度;θ為任意時(shí)刻連桿與水平面之間的夾角;φ為受到外部位移激勵(lì)后的角度變化量;L為連桿長(zhǎng)度;n為仿脊柱隔振器層數(shù)。

建立多層隔振系統(tǒng)的靜力學(xué)公式為

(1)

式中，y=y1-y0。

圖2 仿脊柱隔振器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Structural model of simulated spinal vibration isolator

對(duì)式(1)做無(wú)量綱處理，即方程兩側(cè)同時(shí)除以KhL得到系統(tǒng)無(wú)量綱力-位移關(guān)系為

(2)

對(duì)式(2)求一階導(dǎo)，可得系統(tǒng)的無(wú)量綱剛度關(guān)系為

(3)

式中，β為剛度比，β=Kv/Kh。

圖3(a)和圖3(b)為n=3，θ=π/4時(shí)不同剛度比條件下，系統(tǒng)的無(wú)量綱力-位移曲線和無(wú)量綱剛度-位移曲線，剛度比為2和1時(shí)，隔振器在整個(gè)工作范圍內(nèi)的無(wú)量綱剛度均為正值，剛度比為0.1時(shí)，隔振器在整個(gè)工作范圍內(nèi)無(wú)量綱剛度存在正剛度、零剛度和負(fù)剛度，無(wú)量綱力-位移曲線和無(wú)量綱剛度-位移曲線均具有明顯的非線性特性。

圖3(c)和圖3(d)為n=3，β=0.25時(shí)不同初始角度下隔振器無(wú)量綱力-位移曲線和無(wú)量綱剛度-位移曲線不同初始角度時(shí)在整個(gè)工作范圍內(nèi)無(wú)量綱剛度均存在負(fù)剛度、零剛度和正剛度，隨著初始角度的增加無(wú)量綱剛度的非線性程度明顯增加。

圖3(e)和圖3(f)為β=0.25，θ=π/4時(shí)不同層數(shù)下無(wú)量綱力-位移曲線和無(wú)量綱剛度-位移曲線，隨著無(wú)量綱位移逐漸增加，無(wú)量綱力和無(wú)量綱剛度均逐漸增加，層數(shù)為2和3時(shí)無(wú)量綱剛度存在負(fù)剛度，零剛度和正剛度，層數(shù)為4層時(shí)無(wú)量綱剛度均為正剛度。在整個(gè)工作范圍內(nèi)無(wú)量綱力-位移曲線和無(wú)量綱剛度-位移曲線均具有明顯的非線性特性。

圖3 不同參數(shù)條件下的無(wú)量綱力位移曲線和無(wú)量綱剛度位移曲線Fig.3 Dimensionless force displacement curve and dimensionless stiffness displacement curve under different parameter

(4)

K=4(cosθ-1)+β≥0

(5)

圖4 工作和非工作區(qū)域剛度曲線Fig.4 Stiffness curves of working and non-working areas

圖5 剛度分布圖Fig.5 Stiffness distribution diagram

1.3 承載能力分析

承載能力對(duì)于任何隔振系統(tǒng)來(lái)說(shuō)都是至關(guān)重要的性能參數(shù)，仿脊柱隔振器在滿足正剛度條件式(5)時(shí)，整個(gè)工作范圍內(nèi)均具有正剛度，承載能力在壓縮量達(dá)到最大值時(shí)達(dá)到最大。仿脊柱隔振器不滿足正剛度條件式(5)時(shí)，隔振系統(tǒng)在工作范圍內(nèi)存在負(fù)剛度(見(jiàn)圖4)，剛度值隨著壓縮量的增加不斷減小，剛度減小至零時(shí)的壓縮量對(duì)應(yīng)的承載能力即為其承載能力最大值。

在滿足正剛度條件時(shí)系統(tǒng)工作范圍內(nèi)剛度均為正值，不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)隔振器的承載能力有著重要影響，以下分別對(duì)滿足正剛度條件時(shí)不同剛度比和不同初始角度對(duì)承載能力的影響進(jìn)行了討論。當(dāng)n=3時(shí)不同剛度比下的承載能力曲線，可以看出剛度比越小，承載能力越大，如圖6(a)所示。當(dāng)n=3時(shí)不同初始角度下的承載能力曲線，可以看出初始角度越大，承載能力越大,如圖6(b)所示。

上述不同參數(shù)對(duì)承載能力的影響趨勢(shì)可以為仿脊柱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)的參數(shù)設(shè)計(jì)提供依據(jù)以滿足實(shí)際工程中的承載需求。

圖6 不同參數(shù)對(duì)承載能力的影響Fig.6 Influence of different parameters on bearing capacity

2 動(dòng)態(tài)特性

動(dòng)態(tài)特性是評(píng)價(jià)隔振器性能優(yōu)劣的重要指標(biāo)，本節(jié)利用拉格朗日方程建立了多層仿脊柱隔振器的動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)諧波平衡法對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解并推導(dǎo)出了系統(tǒng)位移傳遞率，研究了不同設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)隔振器位移傳遞率的影響，并通過(guò)四階龍格庫(kù)塔法求出了數(shù)值解與解析解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了結(jié)論的可靠性。

系統(tǒng)動(dòng)能公式

(6)

(7)

系統(tǒng)的阻尼力

(8)

(9)

式中：y=y1-y0,y1為質(zhì)量塊的位移，y0為系統(tǒng)所受外部位移激勵(lì)；c1為空氣阻尼；c2為關(guān)節(jié)摩擦阻尼；nx為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)數(shù)量。

(10)

由拉格朗日方程建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，其中L=T-V將式(6)，式(7)，式(8)代入式(10)可得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(11)

式中：f1(y)，f2(y)分別為

(12)

(13)

將f1(y)和f2(y)在零點(diǎn)用泰勒公式展開(kāi)

信息流原理可謂是職務(wù)犯罪調(diào)查信息化的理論模型，信息流原理的信息學(xué)意義是指在實(shí)踐和空間中，向同一方向運(yùn)動(dòng)的一組信息。信息流的傳輸具有雙向性，信息在由信息源流向信宿的同時(shí)，也可以由信宿反作用于信息源，如改變其數(shù)量、內(nèi)容、方式，［3］信息流原理與職務(wù)犯罪調(diào)查原理基本相同。

(14)

(15)

泰勒展開(kāi)式和精確表達(dá)式對(duì)比圖，如圖7所示。從圖7可知，泰勒展開(kāi)與精確表達(dá)式吻合良好。

圖7 泰勒展開(kāi)式和精確表達(dá)式對(duì)比圖Fig.7 Comparison of Taylor expansion and exact expression

將式(14)和式(15)代入式(11)可得

(16)

自變量換為τ，其中τ=ω0t，隔振器無(wú)量綱的動(dòng)力學(xué)方程為

(17)

設(shè)基礎(chǔ)所受激勵(lì)y0、諧波響應(yīng)y分別如式(18)和式(19)所示

y0=scos(ωt)=scos(Ωτ)

(18)

y=s0+s1cos(Ωτ+φ1)

(19)

式中：Ω=ω/ω0;τ=ω0t。

將式(18)和式(19)代入式(17)，諧波響應(yīng)的未知參數(shù)可由諧波平衡方程分別求得

(20)

(21)

(22)

系統(tǒng)的位移傳遞率為

(23)

3 仿真分析

根據(jù)式(23)得出的仿脊柱隔振器位移傳遞率公式分別討論了不同設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)位移傳遞率的影響規(guī)律，通過(guò)四階龍格庫(kù)塔法得到數(shù)值解與諧波平衡法的解析解進(jìn)行對(duì)比，兩者吻合良好，驗(yàn)證了仿真結(jié)論的正確性，最后與相同參數(shù)下的常規(guī)線性隔振器進(jìn)行了對(duì)比，可以看出仿脊柱結(jié)構(gòu)隔振器具有更優(yōu)越的低頻隔振性能。

層數(shù)分別為n=5，n=4，n=3條件下隔振系統(tǒng)的位移傳遞率圖像，如圖8(a)所示。其中仿脊柱隔振器系統(tǒng)參數(shù)分別為Kh=4 000，Kv=1 000，θ=π/4，c1=5，c2=1，由圖8(a)可知，隨著層數(shù)增加，系統(tǒng)位移傳遞率明顯降低，系統(tǒng)峰值頻率明顯減小。

初始角度分別為θ=π/4，θ=π/6，θ=π/12條件下隔振系統(tǒng)的位移傳遞率圖像，如圖8(b)所示。其中仿脊柱隔振器系統(tǒng)參數(shù)分別為Kh=4 000，Kv=1 000，n=3，c1=5，c2=1，由圖8(b)可知，隨著初始角度減小，系統(tǒng)位移傳遞率明顯降低，系統(tǒng)峰值頻率明顯減小。

剛度比分別為β=1/3，β=1/4，β=1/12條件下隔振系統(tǒng)的位移傳遞率圖像，如圖8(c)所示。其中仿脊柱隔振器系統(tǒng)參數(shù)分別為n=3，c1=5，c2=1，由圖8(c)可知，隨著剛度比減小，系統(tǒng)位移傳遞率顯著降低，系統(tǒng)峰值頻率明顯減少。

四階龍格庫(kù)塔法的數(shù)值解與諧波平衡法的解析解對(duì)比圖，如圖8(d)所示。其中所用到的動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表1所示。從表1可知，四階龍格庫(kù)塔法的數(shù)值解與諧波平衡法的解析解兩者吻合良好，驗(yàn)證了仿真結(jié)論的正確性。

表1 動(dòng)力學(xué)參數(shù)表Tab.1 Kinetic parameter table

相同參數(shù)下仿脊柱隔振器與常規(guī)線性隔振器位移傳遞率對(duì)比圖，如圖8(e)所示。其中線性隔振器的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)分別為K=1 000，c=5，可以看出相比常規(guī)線性隔振器，仿脊柱隔振器有具有更優(yōu)越的低頻隔振性能。

圖8 位移傳遞率仿真圖Fig.8 Simulation diagram of displacement transmissibility

通過(guò)以上討論可知，調(diào)節(jié)仿脊柱隔振器的設(shè)計(jì)參數(shù)如增加層數(shù)，減小初始角度，降低剛度比等可以顯著降低隔振器位移傳遞率；相同參數(shù)條件下仿脊柱隔振器相比線性隔振器有著更為優(yōu)越的低頻隔振性能。上述不同參數(shù)下位移傳遞率的變化趨勢(shì)為仿脊柱結(jié)構(gòu)的工程應(yīng)用提供了基本的理論指導(dǎo)。

4 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種仿脊柱隔振器，建立了隔振器的靜力學(xué)模型，探究了不同設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)仿脊柱結(jié)構(gòu)靜態(tài)剛度和承載能力的影響趨勢(shì)，通過(guò)諧波平衡法研究了關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)位移傳遞率的影響，結(jié)論如下：

(1)仿脊柱隔振器靜態(tài)剛度具有明顯非線性特性，通過(guò)設(shè)計(jì)參數(shù)的調(diào)節(jié)如改變剛度比，初始角度，層數(shù)等可以使隔振器在工作范圍內(nèi)獲得正剛度、零剛度或負(fù)剛度。

(2)不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)仿脊柱結(jié)構(gòu)隔振器的承載能力有著重要影響，滿足正剛度條件時(shí)，剛度比越小，初始角度越大，承載能力也越大。

(3)仿脊柱隔振器通過(guò)調(diào)節(jié)隔振器的結(jié)構(gòu)參數(shù)如降低剛度比，減小初始角度，增加層數(shù)等可以顯著降低隔振器的位移傳遞率，且隨著位移傳遞率的降低，隔振器峰值頻率也明顯減小，具有良好的低頻隔振效果。