附著式局域共振聲子晶體薄板的帶隙解析解

楊 文， 陳凱倫， 郭 旭， 陳澤宇， 劉長利

(華東理工大學 機械與動力工程學院，上海 200237)

自聲子晶體(phononic crystal,PC)的概念提出以來，其在減振方面的帶隙特性(在某個頻率范圍內抑制振動傳播的特性)一直是研究熱點。最先受到關注的是Bragg型聲子晶體，其能在高頻范圍內實現對某一頻段內振動的抑制，但要求晶格常數與振動波長在同一數量級內，這大大限制了其實際應用范圍。隨后Liu等[1]提出了局域共振型聲子晶體(locally resonance phononic crystal,LRPC)，在同樣的晶格常數下，其帶隙頻率要比Bragg帶隙頻率低兩個甚至多個數量級[2]，這大大拓寬了聲子晶體的應用范圍，成為近年來研究的重點。

對于聲子晶體帶隙范圍的計算，有傳遞矩陣法、集中質量法、平面波展開法，多重散射理論法，時域有限差分法和有限元法等多種方法[3-12]。在這些方法的基礎上，發展了各種改進的方法。例如，改進的快速平面波展開法(improved fast plane wave expansion method,IFPWEM)[13]，通過消除跳躍不連續點和減少波矢量的數目，提高了算法的連續性與計算效率；α有限元方法(finite element method,FEM)[14]，通過α值改變軟硬度，獲得了一些可用于聲子晶體設計的新特性。同樣的，針對不同類型的聲子晶體，也發展出了特定的計算方法，例如，擴展的平面波展開法[15]，其將平面波展開法(plane wave expansion,PWE)引入到均布動力吸振器的附著式聲子晶體薄板的帶隙計算中；質量重分布有限元方法(mass-redistributed finite element method,MR-FEM)[16]，用于計算具有硬包裹層的液體聲子晶體；修正光滑有限元法(modified smoothed finite element method,M-SFEM)[17-18]，用于二維聲子晶體中的流固耦合問題； Qian等[19]應用表面彈性理論和Timoshenko梁理論，將平面波展開法推廣到壓電聲子晶體納米梁的能帶結構計算中。

以上基于平面波展開法或者有限元法等傳統方法的改進方法，能更快或更準確地獲得能帶結構(色散關系)，但是這些方法仍屬于數值方法，結果依賴于結構參數的選取，無法獲得普適的能帶結構規律，結果更無法應用于帶隙的設計。

針對上述問題，本文利用四邊簡支局域共振聲子晶體薄板的動力學方程，在X,Y方向模態截斷階數小于等于吸振器個數的條件下得到了振動位移的解析解。在此基礎上，得到了阻抗表達式，并根據阻抗的概念闡述了帶隙的形成機理，討論了系統阻尼對帶隙的影響，得到了無阻尼條件下帶隙的解析解。最后，提出了帶隙的設計方法。

1 模型與公式推導

1.1 四邊簡支聲子晶體薄板

圖1所示為四邊簡支聲子晶體薄板，動力吸振器周期性地附加在均質薄板上，形成單面附著式局域共振型聲子晶體薄板。薄板為四邊簡支，板長，寬，厚，密度，彈性模量，泊松比和模態阻尼比分別為a,b,h,ρ,E,v,ξp，其中各階模態阻尼比相同[20]；吸振器間隔(晶格常數)為Δ，各吸振器彈簧剛度、質量、阻尼比，固有頻率相同，分別為kd,md,ξd,ωd。在板上選取一點(x0,y0)作為激勵點，其上施加一簡諧激振力f0eiωt。

圖1 均布動力吸振器的局域共振聲子晶體薄板示意圖Fig.1 Schematic diagram of a LRPC thin plate with a 2Dperiodic array of attached dynamic vibration absorbers(DVAs)

系統的動力學方程為

其中，位移向量可以表示為

[W(t)]=[W1，1(t),W1，2(t),W1，3(t),…,WM,N(t)]T，

[Z(t)]=[Z1(t),Z2(t),Z3(t),…,ZQ(t)]T

(2)

式中：[W(t)]和[Z(t)]分別為薄板和動力吸振器的垂直位移向量；下標M,N分別為振動系統中X,Y方向上的模態階數；下標Q為薄板上布置的動力吸振器個數。

[P]為外激勵在薄板上的位置向量

[φ(x,y)]=[φ1，1(x,y),…,φm,n(x,y),…,φM,N(x,y)]T(3)

[M]，[C],[K]分別為質量、阻尼、剛度矩陣

(4)

在各吸振器參數相同的情況下，式(4)中各矩陣分別為

[Kpr]=[Krp]T=kd[[φ(x1,y1)],…,[φ(xQ,yQ)]],

在簡諧激勵條件下，式(1)可以寫為

(7)

將式(4)代入式(7)，消去[Z]，可得

[B][W]=f0[Pf]，
[B]=[K11]-[K12][K22]-1[K21]

，

[K11]=-ω2[Mp]+iω([Cp]+[Cr])+[Kp]+[Kr],

[K12]=[K21]T=iω[Cpr]+[Kpr],
[K22]=-ω2[Mr]+iω[Crr]+[Krr]

(8)

當X,Y方向的最大截斷模態階數小于等于X,Y方向周期性布置的動力吸振器的個數時(即M≤QX且N≤QY)，式(8)中矩陣[B]為對角陣。此時，[W]中各元素解耦，可以使用模態疊加理論計算振動位移，證明過程及約束條件詳見參考文獻[21]。

將式(5)各式代入式(8)，解得第m,n階模態影響因子為

Y1=(1-g2)(f2-g2)-4fg2ξdξp-uf2g2，

Y2=2ξpg(f2-g2)+2ξdfg[1-g2(1+u)]

(9)

式中，wm,n為第m,n階模態影響因子與模態振型的乘積。

1.2 阻抗表達式

根據式(10)，第m,n階模態的位移公式可寫為

式中，左邊為簡諧激振力與簡諧運動響應的比值，即機械阻抗，其中φm,n為與位置及邊界條件相關的函數。因此薄板中激勵點(x0,y0)與點(x,y)之間第m,n階的阻抗H為

(12)

將阻抗分為實部HR和虛部HI，代入式(9)中的Y1和Y2并化簡，可得阻抗實部和虛部公式，它們都是激勵頻率ω與模態階數m,n的函數

在第二章和第三章中，將分別在無阻尼和有阻尼情況下，討論帶隙的形成機理，并使用阻抗概念解釋阻尼對帶隙的影響。

2 無阻尼局域共振薄板與帶隙解析解

無阻尼下，阻抗虛部為零，阻抗表達式(12)退化為

(15)

式中，阻抗實部為正時抑制振動，為負時沒有實際的物理意義。

由模態疊加可知：在某一激勵ω下，振動是被放大還是被抑制，取決于各階模態疊加的結果。由于多階模態的分析使得分析難度增大，可以認為薄板振動時一階模態起主導作用[20]，這樣僅需考慮薄板的一階模態即可。

另一方面，由圖2可知，阻抗實部隨模態階數的增大而增大，這是因為阻抗實部隨薄板固有頻率βm,n的增大而增大(見式(13))，同時薄板固有頻率βm,n隨模態階數m,n的增大而增大(見式(6))。所以，第一階模態的阻抗實部為正時，高階阻抗也為正。

綜上，求解式HR(ω,1,1)>0即可得到減振效果最好的頻率范圍，也就是帶隙。

圖2 無阻尼時不同模態階數下的阻抗實部曲線Fig.2 Curves of impedance real part under different modal orders without damping

求解HR(ω,1,1)>0的解區間[fs,fe]，容易解得

(16)

式中，fs和fe分別為解區間的左值和右值，即帶隙的起始頻率和截止頻率。

下面將通過擴展的平面波展開法和有限元法，計算其能帶結構，并與帶隙解析解式(16)的結果進行比較，驗證解析解的正確性。

對于擴展的平面波展開法和有限元法，分別使用MATLAB和COMSOL作為計算工具。參數如表1所示。

表1 材料參數Tab.1 Parameters of materials

擴展的平面波展開法和有限元法計算得到的能帶結構如圖3(a)所示，兩者結果一致。使用有限元法計算得到位移傳輸特性曲線如圖3(b)所示。計算能帶結構和位移傳輸特性的有限元模型分別如圖4(a)和圖4(b)所示，在晶格有限元模型中，使用Floquet周期性邊界條件。在薄板有限元模型中，薄板四邊簡支，吸振器通過節點連接在薄板上。不同方法獲得的帶隙范圍如表2所示。由表2可知，相對于有限元方法和擴展的平面波展開法，解析解結果僅有2 Hz的誤差，這說明帶隙解析解是正確的。需要說明的是，研究中將吸振器簡化為質量-彈簧-阻尼系統并通過節點而非接觸面與薄板連接，因此解析和模擬結果與實際情況存在一定的誤差，但當吸振器尺寸與薄板尺寸相差較大時，誤差可以控制在一定范圍內。

圖3 能帶結構與傳輸特性曲線Fig.3 Band structure and transfer characteristic curve

圖4 有限元模型Fig.4 Finite element model

表2 不同計算方法得到的帶隙范圍

3 有阻尼局域共振薄板

本章將進一步根據阻抗公式及位移傳輸特性，討論吸振器阻尼或板阻尼對帶隙的影響。

3.1 吸振器阻尼的影響

當僅考慮吸振器的阻尼時，板阻尼比ξp=0，阻抗實部和虛部變為

(17)

(18)

比較圖5和圖6可知(所用材料參數同表1)，圖5(b)中虛部峰值頻率范圍與圖6中帶隙范圍基本一致。同時，隨著阻尼峰值逐漸平緩，位移傳輸特性曲線中的波谷也隨之變得平緩，體現了阻尼在減振中的作用。因此，當存在吸振器阻尼時，薄板帶隙將以阻抗虛部為主導。帶隙范圍可根據虛部峰值所在頻率范圍估計。

圖5 當m,n=1,1時，不同吸振器阻尼比下的阻抗實部和虛部曲線Fig.5 Curves of impedance real and image part under different DVA damping ratios when m,n=1,1

圖6 不同吸振器阻尼比下的位移傳輸特性(有限元計算)Fig.6 Displacement transfer characteristic curves under different DVA damping ratios calculated through FEM

圖6中，相對于無阻尼帶隙，含吸振器阻尼時不存在明確的帶隙邊界，因此也不存在帶隙解析解。這意味著，在含有吸振器阻尼時不能通過解析解計算帶隙范圍。

3.2 板阻尼的影響

當僅考慮板的阻尼時，吸振器阻尼比ξd=0，實部和虛部公式變為

(19)

(20)

由式(19)可知，阻抗實部不含板阻尼比；由式(20)可知，阻抗虛部與板阻尼成正比，如圖7所示。由圖7不同板阻尼比下的阻抗實部和虛部曲線可知，在板阻尼下，阻抗虛部較阻抗實部低兩個數量級，這意味著阻抗虛部對帶隙的影響遠小于實部，可以忽略虛部阻尼的作用，將板阻尼問題退化為無阻尼問題。因此，在僅含板阻尼的情況下，帶隙基本不變且無阻尼帶隙解析解式(16)同樣適用，如圖8所示。

圖7 當m,n=1,1時，不同板阻尼比下的阻抗實部和虛部曲線Fig.7 Curves of impedance real and image part under different plate damping ratios when m,n=1,1

綜上所述，板阻尼對帶隙的影響很小，而吸振器阻尼對帶隙有顯著影響。因此，在研究含阻尼聲子晶體薄板的帶隙時，可以忽略板阻尼的影響，僅討論吸振器阻尼的影響。在不含吸振器阻尼的情況下，可以使用帶隙解析解式(16)計算帶隙范圍。

圖8 不同板阻尼比下的位移傳輸特性(有限元計算)Fig.8 Displacement transfer characteristic curves under different plate damping ratios calculated through FEM

4 帶隙的設計

局域共振聲子晶體薄板在不含吸振器阻尼的情況下，可以使用帶隙解析解計算帶隙范圍。反之，也可以使用帶隙解析設計帶隙。

式(16)及其中各個變量的表達式為

(21)

由式(21)中的變量可知，帶隙的范圍由以下三個方面決定：①板特性——板尺寸(a,b,h)，板材料的物理特性(D,ρ);②吸振器個數——QX,QY(或晶格常數Δ);③吸振器特性——吸振器質量md，彈簧剛度kd。

若要設計四邊簡支薄板的帶隙，首先確定板的特性a,b,h,D,ρ,β1,1;然后通過改變吸振器個數QX,QY(或者晶格常數Δ)、吸振器質量md和彈簧剛度kd即可設計帶隙的起始頻率、截止頻率和帶隙范圍。

5 結 論

本文根據四邊簡支的局域共振聲子晶體薄板動力學方程，在一定條件下得到了系統振動位移的解析解，在此基礎上討論了帶隙與阻抗的關系。研究結果表明，在無阻尼情況下，可以明確地給出帶隙起始頻率和截止頻率的解析解，與有限元及擴展的平面波展開法所得結果一致。在有吸振器阻尼時，帶隙沒有明確的邊界，無法使用解析解計算帶隙范圍；而板阻尼對帶隙沒有影響，仍可按照解析解計算帶隙。

利用本文提出的帶隙解析解公式，可以直接計算帶隙范圍，而無需計算能帶結構，從而提高了獲得帶隙范圍的效率。同時可以方便地設計四邊簡支聲子晶體薄板的帶隙，擺脫了數值方法通過參數試湊或優化來設計帶隙的局限性。