彈性梁中端慣容型非線性能量匯振動(dòng)抑制研究

高志通， 方 勃， 張 振

(沈陽航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院，沈陽 110136)

歐拉-伯努利梁作為工程實(shí)際應(yīng)用中眾多結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化模型，例如在航空航天、船舶制造以及汽車工業(yè)等領(lǐng)域中應(yīng)用較廣，嚴(yán)重的振動(dòng)環(huán)境會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)件的損害，因此對(duì)歐拉-伯努利梁進(jìn)行振動(dòng)抑制研究具有重要的工程意義。近年來，利用非線性能量匯(nonlinear energy sink，NES)對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)控制設(shè)計(jì)已越來越引起國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者的重視和深入研究，與傳統(tǒng)線性吸振器相比較而言，NES具有減振頻帶寬、可靠性好、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。張也弛[1]對(duì)NES連接一個(gè)兩自由度線性主結(jié)構(gòu)的對(duì)象進(jìn)行了研究，結(jié)果表明單自由度NES具有良好的寬頻減振效果。Al-Shudeifat[2]研究了一種基于磁力的新型非線性能量匯系統(tǒng)，結(jié)果表明與基于對(duì)稱剛度的NES相比，此裝置更加緊湊，而且更加有效。李海勤[3]利用增量諧波平衡法研究了阻尼非線性的NES的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)和減振效果。Yang等[4]研究表明經(jīng)過適當(dāng)設(shè)計(jì)的NES可以通過非線性節(jié)拍，不可逆目標(biāo)能量轉(zhuǎn)移或者不同參數(shù)下有效吸收和消散寬頻能量。劉中坡等[5]對(duì)NES的非線性剛度進(jìn)行了優(yōu)化分析，設(shè)計(jì)并開展了振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)。Chen等[6]研究了耦合有NES的桁架作為夾層的梁結(jié)構(gòu)，分析了系統(tǒng)在沖擊和諧波載荷下的動(dòng)力學(xué)行為。臧健[7]以非線性能量匯為對(duì)象，提出了一種廣義振動(dòng)抑制評(píng)價(jià)方法，對(duì)帶有杠桿式NES的系統(tǒng)進(jìn)行了復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為分析。為了增強(qiáng)非線性能量匯的減振性能，對(duì)非線性能量匯進(jìn)行設(shè)計(jì)改造已經(jīng)成為了熱門研究方向，于是一些新型的非線性能量匯脫穎而出。例如：Al-Shudeifat等[8]提出了一種不同于純立方剛度非線性力的具有變化非線性恢復(fù)力分量的新型非線性能量匯；Habib等[9]提出一種雙穩(wěn)態(tài)調(diào)諧非線性能量匯，表明這種新型NES具有更有效的振動(dòng)能量吸收效應(yīng)。由于非線性能量匯存在大質(zhì)量的需求，特別在航空航天領(lǐng)域，對(duì)質(zhì)量大小的要求非常重要，這也是非線性能量匯在工程中應(yīng)用較少，仍在理論和試驗(yàn)階段的重要原因。Zang等[10]通過引入杠桿來減小所需質(zhì)量，提出了一種新型的非線性能量匯，并讓杠桿式非線性能量匯應(yīng)用于兩自由度系統(tǒng)。但是杠桿式非線性能量匯會(huì)使結(jié)構(gòu)變得較為復(fù)雜，而且杠桿式非線性能量匯中的慣性原件仍然采用的是質(zhì)量塊，不免會(huì)存在大質(zhì)量的情況。因此對(duì)于小質(zhì)量非線性能量匯的研究在科學(xué)研究以及工程應(yīng)用中具有重要意義與價(jià)值。

慣容器是一種提供慣性參數(shù)的機(jī)械元件，最早由劍橋大學(xué)的學(xué)者Smith[11]提出，并將其命名為慣容器。慣容器具有兩個(gè)連接終端，與質(zhì)量都可作為慣性元件，但與質(zhì)量不同的是，慣容器可以提供比其質(zhì)量大得多的慣性系數(shù)且可調(diào)節(jié)。慣容器具體原理如下。

螺母旋轉(zhuǎn)式滾珠絲杠慣容器，如圖1所示，其原理公式為

(1)

式中：J為飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；p為絲杠的螺距；b為慣容器的慣性系數(shù)， kg，慣容器的物理性質(zhì)與一個(gè)同等質(zhì)量的質(zhì)量塊相似。根據(jù)式(1)可知，慣容器對(duì)飛輪旋轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生的慣性質(zhì)量進(jìn)行了放大，從而能使較小的飛輪自質(zhì)量實(shí)現(xiàn)上百千克的慣性質(zhì)量，例如，滾珠絲杠慣容器的質(zhì)量為1 kg，但其可調(diào)節(jié)到慣性為100 kg，從而為實(shí)際應(yīng)用提供了有利條件。

由于這一特性，慣容器得到廣泛關(guān)注與研究。研究表明，慣容器主要應(yīng)用于線性減振裝置之中，并且已經(jīng)在工程中成功應(yīng)用，例如車輛懸架系統(tǒng)[14]、火車懸架系統(tǒng)[15]，而且證明具有良好的減振效果。慣容器在飛機(jī)起落架[16]、工程建筑[17]、電纜[18]、大跨度橋梁[19]上也有所應(yīng)用，并在斜拉索[20]上進(jìn)行了接地使用研究。因此，將慣容器應(yīng)用于彈性梁中端接地使用具有一定創(chuàng)新性，可為慣容器工程實(shí)際應(yīng)用提供一定的理論支撐。但是，慣容器與NES相結(jié)合的研究還相對(duì)較少。Zhang等[21]提出了一種結(jié)合有慣容器的新型NES原型，并應(yīng)用復(fù)平均法對(duì)耦合系統(tǒng)進(jìn)行了振動(dòng)控制分析。Zhang等[22]提出一種慣容型非線性能量匯，克服了帶有慣容器的非線性能量匯存在大質(zhì)量的缺陷，表明慣容型非線性能量匯比傳統(tǒng)非線性能量匯具有更高的減振性能和更小的附近質(zhì)量，促進(jìn)和拓寬了慣容器的工程應(yīng)用。董彥辰等[23]人設(shè)計(jì)并考察了一種基于非線性能量匯的新型非線性減振裝置，通過以慣容器替代傳統(tǒng)慣性元件以減少負(fù)載質(zhì)量，并在系統(tǒng)中整合了基于超磁致伸縮材料的能量采集器，對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。對(duì)于軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)問題，不少學(xué)者也做了大量的研究：陳紅永等[24]研究了軸向運(yùn)動(dòng)梁在軸向載荷作用下的振動(dòng)特性；譚霞等[25]研究了在外部激勵(lì)作用下，超臨界軸向運(yùn)動(dòng)梁橫向非線性振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并研究了Euler-Bernoulli梁理論的適用范圍；趙小穎等[26]應(yīng)用哈密頓原理，對(duì)帶有中間彈簧支撐的軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析； Zhang等[27]研究了一種具有附加非線性能量匯的軸向運(yùn)動(dòng)梁的強(qiáng)迫振動(dòng)控制方法，并從頻域角度分析可得NES對(duì)梁的固有頻率的影響不大；李煬等[28]研究了在外部激勵(lì)作用下，兩端帶有彈簧支撐的軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)特性；田耀宗等[29]論述了研究軸向運(yùn)動(dòng)梁振動(dòng)問題的方法，并對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁進(jìn)行了計(jì)算分析和討論。兩端簡(jiǎn)支梁中端的振動(dòng)往往是非常大的，主要是由于梁的第1階主共振引起的，因此，對(duì)簡(jiǎn)支梁中端進(jìn)行振動(dòng)抑制具有較好實(shí)際效果。以慣容器代替非線性能量匯中的傳統(tǒng)質(zhì)量來克服非線性能量匯大質(zhì)量的缺陷，并將其應(yīng)用于簡(jiǎn)支梁中端具有一定創(chuàng)新性，并為工程實(shí)際應(yīng)用提供了一定的理論支撐。

圖1 螺母旋轉(zhuǎn)式滾珠絲杠慣容器Fig.1 Inerter with nut rotation

本文提出用慣容型非線性能量匯對(duì)簡(jiǎn)支梁橫向振動(dòng)進(jìn)行非線性振動(dòng)抑制，并分析了慣容型非線性能量匯的參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)減振效果的影響，在一定程度上促進(jìn)和拓寬了慣容型非線性能量匯與彈性梁相結(jié)合的工程應(yīng)用。

1 帶有慣容型非線性能量匯減振器的彈性梁系統(tǒng)

帶有慣容型非線性能量匯的彈性梁橫向振動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示。圖2中：L為梁的長(zhǎng)度；T為時(shí)間坐標(biāo)；X為梁的軸向坐標(biāo)；W(X，T)為梁的橫向振動(dòng)位移；F為梁受到均勻分布的力，F(xiàn)(X,T)=F0cos(ΩT)，F(xiàn)0和Ω分別為外激勵(lì)力的線密度大小和頻率。梁的中端連接著慣容型非線性能量匯減振裝置。慣容型非線性能量匯的彈簧阻尼端與梁連接，慣容器端連接在地面上。kN為慣容型非線性能量匯的立方非線性剛度；cN為慣容型非線性能量匯的阻尼；bN為慣容型非線性能量匯的慣性，慣容器以較小的質(zhì)量提供了更大的慣性，彌補(bǔ)了NES附加大質(zhì)量的缺陷；UN為慣容型非線性能量匯的位移。

圖2 中間帶有慣容型非線性能量匯的彈性梁系統(tǒng)Fig.2 A elastic beam system with inertial nonlinear energy sink in the middle

由廣義哈密頓原理、變分法以及分部積分法得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

(2)

式中：Wd為梁的中間部位的位移；d為L(zhǎng)/2。

兩端簡(jiǎn)支梁的邊界條件為

(3)

無量綱參數(shù)如下

(4)

把式(2)進(jìn)行無量綱化處理得

(5)

無量綱化后的邊界條件為

(6)

彈性梁的材料選定為鋁合金，系統(tǒng)的物理參數(shù)和幾何參數(shù)如表1所示。值得注意的是：慣容器的慣性質(zhì)量bN=0.28 kg，而其實(shí)際質(zhì)量mb=0.002 8 kg。

表1 系統(tǒng)有量綱參數(shù)Tab.1 System dimensional parameter

表2 系統(tǒng)無量綱參數(shù)Tab.2 System dimensionless parameter

2 穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)

2.1 Galerkin截?cái)喾匠碳捌涫諗啃耘袛?/h3>

應(yīng)用Galerkin截?cái)喾椒▽⑵⒎挚刂品匠淌?5)截?cái)酁槌Ｎ⒎址匠蹋缓髴?yīng)用4階Runge-Kutta數(shù)值方法對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間歷程進(jìn)行求解。

假設(shè)控制方程中彈性梁的橫向振動(dòng)位移的近似解為

(7)

式中：N為大于等于1的整數(shù)；φn(x)為彈性梁的模態(tài)函數(shù)；qn(t)為梁橫向振動(dòng)的廣義位移。Galerkin方法的勢(shì)函數(shù)和權(quán)函數(shù)都選擇為彈性梁的模態(tài)函數(shù)。偏微分方程式(5)經(jīng)Galerkin截?cái)嗵幚砗蟮玫降某Ｎ⒎址匠探M為

(8)

式中，m=1,2,…,N。

(9)

因此，控制方程可以寫作

(10)

其中，

(11)

常微分方程式(10)為耦合慣容型非線性能量匯的彈性梁系統(tǒng)在Galerkin截?cái)嗵幚硐碌膭?dòng)力學(xué)方程。分析了Galerkin截?cái)嚯A數(shù)對(duì)系統(tǒng)自由振動(dòng)響應(yīng)的影響，對(duì)其進(jìn)行收斂性判斷。系統(tǒng)的初值設(shè)置為

(12)

分別取2階、4階和6階Galerkin截?cái)鄷r(shí)系統(tǒng)的自由衰減振動(dòng)時(shí)間歷程，如圖3所示。可以看出，4階和6階截?cái)鄷r(shí)的響應(yīng)是重合的，而2階截?cái)嗟捻憫?yīng)稍微有些偏差。由此可知，2階Galerkin截?cái)嗖⒉荒芎芎玫貪M足收斂條件，4階和6階Galerkin截?cái)嗑蓾M足收斂條件。因此對(duì)自由衰減振動(dòng)的分析均采用4階Galerkin截?cái)唷?/p>

圖3 不同Galerkin截?cái)嚯A數(shù)下的自由衰減振動(dòng)時(shí)間歷程：梁中端Fig.3 Time history of free attenuated vibration with different Galerkin truncation orders: beam midpoint

將施加在梁上的均布力激勵(lì)幅值設(shè)為F0=30 N/m，式(12)中的初值全部設(shè)為0。利用數(shù)值法可得到系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的數(shù)值解。圖4為分別取2階、4階和6階Galerkin截?cái)鄷r(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線。如圖4所示，在均布簡(jiǎn)諧力作用下，系統(tǒng)在第1階和第3階固有頻率時(shí)產(chǎn)生兩個(gè)共振峰。另外，在所選的激勵(lì)頻率范圍內(nèi)，4階和6階Galerkin截?cái)嗟慕Y(jié)果是重合的，而彈性梁經(jīng)2階Galerkin截?cái)嗪鬅o法呈現(xiàn)出第三階固有頻率處的共振峰。因此可以判斷，4階Galerkin截?cái)嗫梢詽M足計(jì)算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)的收斂性要求。因此在以下仿真計(jì)算中，Galerkin截?cái)喾匠痰碾A數(shù)均采用4階。

圖4 不同Galerkin截?cái)嚯A數(shù)下系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線：梁中端Fig.4 Amplitude frequency response curves of the system with different Galerkin truncation orders: beam midpoint

2.2 諧波平衡方法求解及其數(shù)值驗(yàn)證

經(jīng)Galerkin截?cái)嗟玫降南到y(tǒng)常微分控制方程可以通過諧波平衡方法進(jìn)行近似解析求解。由于在控制方程中只含立方非線性，因此在諧波平衡求解時(shí)只考慮奇數(shù)項(xiàng)。設(shè)諧波假設(shè)解為

(13)

式中：m為Galerkin截?cái)嚯A數(shù)；2i+1為諧波階數(shù)。

諧波平衡方法的推導(dǎo)過程以1階Galerkin截?cái)喾匠毯?階諧波假設(shè)解為例給出。此時(shí)，耦合慣容型非線性能量匯的彈性梁系統(tǒng)的控制方程為

(14)

其中，

(15)

假設(shè)1階諧波解為

q1=a1,1cos(ωt)+b1,1sin(ωt),
uN=aL,1cos(ωt)+bL,1sin(ωt)

(16)

將式(16)代入式(14)中，平衡sin(ωt)與cos(ωt)的系數(shù)，得到一組非線性代數(shù)方程。

(17)

其中，

AL,1=φL,1a1,1-aL,1,BL,1=φL,1b1,1-bL,1

(18)

求解代數(shù)方程組可得到諧波系數(shù)，進(jìn)而可得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。前面已討論過Galerkin截取到4階較為合適。考慮到方程中的立方非線性，諧波平衡方法假設(shè)解中忽略偶數(shù)階和高階諧波影響，只保留1階和3階諧波近似解析求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線。

如圖5所示，對(duì)諧波平衡近似解析方法求得的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，結(jié)果表明，解析解與數(shù)值解具有很好的吻合度。由此可得，解析結(jié)果是精確且可信的。此外可以看出，系統(tǒng)響應(yīng)在第1階主共振處具有非線性的硬化特性。對(duì)比Runge-Kutta數(shù)值方法的正向掃頻和反向掃頻結(jié)果，在第1階主共振處表現(xiàn)出了非線性跳躍現(xiàn)象，而在第3階主共振處并沒有非線性特征。

圖5 系統(tǒng)幅頻響應(yīng)解析解與數(shù)值解的對(duì)比Fig.5 Comparison between analytical solution and numerical solution of amplitude frequency response

3 慣容型非線性能量匯減振效果分析

通過前面分析可以了解到，在均布簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下，求解4階Galerkin截?cái)喾匠讨坏玫搅讼到y(tǒng)的第1階和第3階主共振。而且，彈性梁第1階主共振和第3階主共振的模態(tài)振型關(guān)于梁中點(diǎn)呈對(duì)稱分布。因此，以下對(duì)慣容型非線性能量匯的減振的研究中，只給出梁的中端的響應(yīng)。

3.1 瞬態(tài)響應(yīng)分析

在式(12)所示初值條件下，對(duì)比未控系統(tǒng)與耦合慣容型非線性能量匯系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間歷程，如圖6所示。可以發(fā)現(xiàn)，耦合慣容型非線性能量匯系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)具有更快的衰減速度。

圖6 初始位移激勵(lì)下的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間歷程：梁中端Fig.6 Transient response time history under initial displacement excitation: beam midpoint

對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間歷程進(jìn)行小波變換分析得到如圖7～圖9所示的時(shí)頻圖。如圖7所示，在小位移激勵(lì)下，未控系統(tǒng)與帶有慣容型非線性能量匯系統(tǒng)都只含有一個(gè)主要頻率成分，在表1和表2的參數(shù)條件下，慣容型非線性能量匯的引入對(duì)系統(tǒng)的自由衰減振動(dòng)的固有頻率并沒有影響。隨著初始位移的增大，未控系統(tǒng)的頻率成分幾乎不變，表明未控系統(tǒng)的魯棒性很好。隨著初始位移的增大，慣容型NES耦合系統(tǒng)的頻率成分增多了，頻率成分出現(xiàn)了非線性現(xiàn)象。由此可見，慣容型非線性能量匯對(duì)彈性梁橫向振動(dòng)的瞬態(tài)響應(yīng)具有有效的減振效果。

圖7 初始位移為0.01激勵(lì)下瞬態(tài)響應(yīng)小波變換時(shí)頻圖Fig.7 The wavelet transform time-frequency diagram of transient response under excitation of 0.01 initial displacement excitation

圖8 初始位移為0.02激勵(lì)下瞬態(tài)響應(yīng)小波變換時(shí)頻圖Fig.8 The wavelet transform time-frequency diagram of transient response under excitation of 0.02 initial displacement excitation

圖9 初始位移為0.03激勵(lì)下瞬態(tài)響應(yīng)小波變換時(shí)頻圖Fig.9 The wavelet transform time-frequency diagram of transient response under excitation of 0.03 initial displacement excitation

3.2 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析

通過減振百分比評(píng)價(jià)慣容型非線性能量匯對(duì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的減振性能。未加慣容型非線性能量匯控制的彈性梁的主共振最大幅值記為Au，耦合慣容型非線性能量匯的彈性梁的主共振最大幅值記為Ac，則慣容型非線性能量匯的減振百分比為

(19)

當(dāng)給予均布力激勵(lì)幅值為F0=10 N/m時(shí)，未控系統(tǒng)(uncontrolled)和慣容型非線性能量匯控制系統(tǒng)(with NES)的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線，如圖10所示。其中，圖10(a)和圖10(b)分別表明慣容型非線性能量匯對(duì)彈性梁中端第1階和第3階主共振的減振效果。顯然，慣容型非線性能量匯對(duì)彈性梁的主共振響應(yīng)具有顯著的減振效果。梁中端第1階和第3階主共振的減振百分比分別為60.900 8%和1.823 0%。可以發(fā)現(xiàn)，慣容型非線性能量匯對(duì)第1階主共振的減振效果明顯優(yōu)于對(duì)第3階主共振的減振效果。

當(dāng)激勵(lì)幅值為F0=30 N/m時(shí)，慣容型非線性能量匯的減振效果如圖11所示。可見此時(shí)慣容型能量匯在梁中端第1階主共振的減振百分比分別為63.315 3%。

圖10 慣容型非線性能量匯的減振效果F0=10 N/mFig.10 Damping effect of inertial nonlinear energy sink F0=10 N/m

圖11 慣容型非線性能量匯的減振效果F0=30 N/mFig.11 Damping effect of inertial nonlinear energy sink F0=30 N/m

當(dāng)激勵(lì)幅值為F0=50 N/m時(shí)，慣容型非線性能量匯的減振效果，如圖12所示。可見此時(shí)慣容型能量匯在梁中端第1階主共振處的減振百分比為66.527 7%。

圖12 慣容型非線性能量匯的減振效果F0=50 N/mFig.12 Damping effect of inertial nonlinear energy sink F0=50 N/m

通過比較三種激勵(lì)幅值下慣容型非線性能量匯的減振效果發(fā)現(xiàn)，對(duì)于第1階主共振，激勵(lì)幅值的變化對(duì)減振效果具有顯著的影響。相比于小激勵(lì)幅值F0=10 N/m，中等激勵(lì)F0=30 N/m時(shí)和大激勵(lì)幅值F0=50 N/m的減振百分比分別增加了2.414 5%和5.626 9%。顯然，激勵(lì)幅值越大，慣容型非線性能量匯的減振效果越好。此外，分析耦合慣容型非線性能量匯系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線發(fā)現(xiàn)，激勵(lì)幅值越大，第1階主共振響應(yīng)的非線性硬化現(xiàn)象越強(qiáng)。激勵(lì)幅值的變化對(duì)第3階主共振處慣容型非線性能量匯的減振效果的影響較小，但也可以看出隨著激勵(lì)幅值的增大，第3階模態(tài)的減振百分比有所增加。

4 慣容型非線性能量匯的參數(shù)影響

慣容型非線性能量匯的三個(gè)參數(shù)分別是慣容器的慣性質(zhì)量，阻尼器的阻尼以及非線性彈簧的立方非線性剛度，參數(shù)的選擇對(duì)于慣容型非線性能量匯的減振效果具有直接的影響。因此，研究參數(shù)的變化，對(duì)于分析慣容型非線性能量匯對(duì)系統(tǒng)的減振效果具有重大的意義。慣容型非線性能量匯的參數(shù)見表1，激勵(lì)幅值選擇為F0=30 N/m，參數(shù)的選擇基于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來展開分析。

4.1 慣容型非線性能量匯慣性質(zhì)量的影響

慣容型非線性能量匯的慣性質(zhì)量對(duì)于系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)的影響，如圖13所示。慣性質(zhì)量的取值范圍為0.056～0.560 kg。如圖13可知，對(duì)于第1階主共振響應(yīng)，隨著慣性質(zhì)量的增大，幅頻響應(yīng)曲線的共振峰值向左上方移動(dòng)，減振效果呈逐漸減小的趨勢(shì)。慣性質(zhì)量較小時(shí)，第1階主共振峰值處的非線性硬化現(xiàn)象越明顯。而慣性質(zhì)量變化對(duì)第3階主共振幾乎沒有影響。

4.2 慣容型非線性能量匯阻尼參數(shù)的影響

慣容型非線性能量匯阻尼的變化對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響，如圖14所示。阻尼的取值范圍為1～150 N·s/m。顯然，阻尼參數(shù)的變化對(duì)第1階主共振和第3階主共振都有明顯的影響。第1階主共振最大幅值隨著慣容型非線性能量匯阻尼的增大呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢(shì)，由此可見，阻尼參數(shù)存在一個(gè)最優(yōu)值。另外，隨著阻尼的增大，第1階主共振峰值一直在向左發(fā)生偏移，也就是說，慣容型非線性能量匯阻尼的變化會(huì)對(duì)系統(tǒng)的固有頻率產(chǎn)生一定的影響，阻尼越大，第1階固有頻率減小的越大。由圖14(a)發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)阻尼值約為60 N·s/m。而圖14(b)中，第3階主共振峰值隨慣容型非線性能量匯阻尼的增大一直在減小，增大阻尼，峰值會(huì)不斷減小，第3階主共振在阻尼增加到一定程度后不斷趨于消失的狀態(tài)。

圖13 慣容型非線性能量匯慣性質(zhì)量對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響Fig.13 The influence of inertial mass on amplitude frequency response curve of inertial nonlinear energy sink

圖14 慣容型非線性能量匯阻尼參數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響Fig.14 The influence of the damping parameters of inertial nonlinear energy sink on the amplitude frequency response curve

4.3 慣容型非線性能量匯立方非線性剛度的影響

慣容型非線性能量匯的立方非線性剛度變化對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的影響，如圖15所示。立方非線性的取值范圍為1×107～1.5×108N/m3。如圖15(a)所示，隨著立方非線性剛度的增加，第1階主共振的峰值向右下方移動(dòng)，增加了減振效果，此時(shí)幅頻響應(yīng)曲線呈現(xiàn)出更強(qiáng)的非線性硬化特性。在第3階主共振處，不同立方非線性剛度下的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線幾乎是完全重合的。慣容型非線性能量匯立方非線性剛度的變化對(duì)第3階主共振也是沒有影響的。

圖15 慣容型非線性能量匯立方非線性剛度對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響Fig.15 The influence of inertia nonlinear energy sink cubic nonlinear stiffness on the amplitude frequency response curve

5 慣容型非線性能量匯參數(shù)的最佳取值范圍

通過慣容型非線性能量匯參數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響了解到，參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)第1階主共振響應(yīng)的影響較大，因此，參數(shù)研究只考慮第1階主共振。減振百分比可以直接反應(yīng)減振效果，由式(19)可以確定，在前面分析看出存在最佳減振效果阻尼值，因此將慣容型非線性能量匯的慣性質(zhì)量取為定值，討論在不同激勵(lì)力和不同梁彎曲剛度EI下，阻尼和立方非線性剛度的變化對(duì)慣容型非線性能量匯減振效果的影響。

5.1 不同激勵(lì)力下慣容型非線性能量匯最佳取值范圍

由二維等高線圖16～圖18可以看出阻尼和立方非線性剛度存在最佳的取值范圍，比較發(fā)現(xiàn)，針對(duì)梁中端，最佳立方非線性取值均在其最大值，最佳阻尼值隨著慣性質(zhì)量的變化會(huì)有所改變。

圖16 梁中端最佳阻尼附近二維等高線圖F0=10 N/mFig.16 Two dimensional contour near the best damping of the midpoint of beam F0=10 N/m

圖17 梁中端最佳阻尼附近二維等高線圖F0=30 N/mFig.17 Two dimensional contour near the best damping of the midpoint of beam F0=30 N/m

圖18 梁中端最佳阻尼附近二維等高線圖F0=50 N/mFig.18 Two dimensional contour near the best damping of the midpoint of beam F0=50 N/m

由圖16～圖18可知，改變激勵(lì)大小，不同慣性質(zhì)量下的慣容型非線性能量匯的最佳參數(shù)值如表3所示。

表3 不同激勵(lì)下梁中端最佳減振效果時(shí)慣容型非線性能量匯參數(shù)值Tab.3 The numerical value of inertial nonlinear energy convergence for the best vibration reduction effect at the middle end of beam under different excitations

由表3可知，在同一激勵(lì)下，隨著慣性質(zhì)量的增加，達(dá)到最佳減振效果的阻尼會(huì)逐漸增加，減振效果也會(huì)越來越好；當(dāng)慣性質(zhì)量相同時(shí)，隨著激勵(lì)幅值的增大，達(dá)到最佳減振效果的阻尼相差不大。

5.2 梁不同彎曲剛度下慣容型非線性能量匯最佳取值范圍

由二維等高線圖19～圖21可以看出阻尼和立方非線性剛度存在最佳的取值范圍，比較發(fā)現(xiàn)，針對(duì)梁中端，最佳立方非線性取值均在其最大值，最佳阻尼值隨著慣性質(zhì)量的變化會(huì)有所改變。

由圖19～圖21可知，改變梁彎曲剛度EI大小，不同慣性質(zhì)量下的慣容型非線性能量匯的最佳參數(shù)值，如表4所示。

圖19 梁中端最佳阻尼附近二維等高線圖EI=110.053 N·m3Fig.19 Two dimensional contour near the best damping of the midpoint of beam EI=110.053 N·m3

圖20 梁中端最佳阻尼附近二維等高線圖EI=115.063 N·m3Fig.20 Two dimensional contour near the best damping of the midpoint of beam EI= 115.063 N·m3

圖21 梁中端最佳阻尼附近二維等高線圖EI=120.073 N·m3Fig.21 Two dimensional contour near the best damping of the midpoint of beam EI= 120.073 N·m3

表4 梁不同彎曲剛度下梁中端最佳減振效果時(shí)慣容型非線性能量匯參數(shù)值Tab.4 The numerical value of inertial nonlinear energy convergence for the best vibration reduction effect at the middle end of beam under different bending stiffness of beam

由表4可知，在同一梁彎曲剛度下，隨著慣性質(zhì)量的增加，達(dá)到最佳減振效果的阻尼逐漸增加，減振效果也越來越好；當(dāng)慣性質(zhì)量相同時(shí)，隨著梁彎曲剛度的增大，達(dá)到最佳減振效果的阻尼相差不大，且減振效果相差很小。

6 結(jié) 論

本文研究了中端下方連接有慣容型非線性能量匯(inertialnonlinear energy sink，I-NES)的彈性梁系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。應(yīng)用伽遼金方法離散系統(tǒng)的偏微分方程，基于諧波平衡方法近似解析求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線，并對(duì)其進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。通過調(diào)節(jié)慣容型非線性能量匯的慣性質(zhì)量、阻尼參數(shù)以及立方非線性剛度的大小，分析了慣容型非線性能量匯參數(shù)的改變對(duì)于系統(tǒng)減振效果的影響，并討論了參數(shù)的最優(yōu)取值范圍。具體結(jié)論如下：

(1) 慣容型非線性能量匯能夠以較小的附加質(zhì)量實(shí)現(xiàn)有效的振動(dòng)抑制，降低了振動(dòng)控制的成本。在周期激勵(lì)和瞬態(tài)激勵(lì)下，應(yīng)用于梁中端的慣容型非線性能量匯可以有效抑制彈性梁的橫向振動(dòng)。

(2) 參數(shù)研究表明，對(duì)于系統(tǒng)第1階主共振，隨著I-NES慣性質(zhì)量的減小和立方非線性剛度的增加，減振效果不斷增強(qiáng)。隨著I-NES阻尼的增大，減振效果呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，因此阻尼存在最優(yōu)值。

(3) 對(duì)于系統(tǒng)第3階主共振，隨著激勵(lì)幅值的變化、I-NES慣性質(zhì)量以及立方非線性剛度的增加，減振效果幾乎沒有影響。而當(dāng)I-NES阻尼增加到一定程度后，第3階主共振呈不斷趨于消失的狀態(tài)。

(4) 慣性質(zhì)量越大，最優(yōu)阻尼值越大，減振效果越好。優(yōu)化后的I-NES減振百分比可高達(dá)98%，在不同激勵(lì)和不同梁彎曲剛度下，最優(yōu)阻尼值變化不大，對(duì)工程研究和設(shè)計(jì)提供了一定理論支撐。