基于測試粒子模擬的垂直無碰撞激波對離子的加速研究

劉煜琦， 劉凱軍， 程昆， 王焱， 鄭顯明， 周靜宜

南方科技大學地球與空間科學系， 深圳 518055

0 引言

無碰撞激波是空間中常見的等離子體物理現象，被認為是空間中高能粒子加速的重要機制(Lembege and Simonet, 2001; Balogh and Treumann, 2013; Burgess and Scholer, 2015; Qu et al., 2021).無碰撞激波對帶電粒子的加速是一個多尺度的過程.在大尺度上，粒子被遠上游和遠下游的波動散射可以多次穿越激波面，從而在激波上下游散射源的速度差中獲得能量，這種機制被稱為激波擴散加速(Diffusive Shock Acceleration)(Axford, 1981; Bell, 1978a,b; Blandford and Ostriker, 1978).擴散加速的發生要求粒子本身的能量大于一定閾值，這被稱為“入射問題”(Kucharek and Scholer, 1995; Zank et al., 2001; Scholer et al., 2002).在微觀尺度上，粒子在通過激波面時，會被激波面附近的電場和磁場結構改變軌跡，可以被等離子體中的運動電場(E=-U×B,其中U和B分別為等離子體的流速和背景磁場所)加速，這種被激波內部的微觀電場和磁場結構影響而加速的機制往往扮演為擴散激波加速提供預加速的角色，被稱為預加速機制.

無碰撞激波的性質和激波角(上游背景磁場方向和激波面法向量方向之間的夾角，θBn)、Alfvén馬赫數(在上游等離子體參考系下，激波傳播速度與上游阿爾芬速度的比值)及上游等離子體溫度等緊密相關(Zhou and Smith, 2015).根據激波角可以將激波分為五類，分別為垂直激波(Perpendicular Shock，θBn=90°)、準垂直激波(Quasi-perpendicular Shock，45°<θBn<90°)、斜激波(Oblique Shock，θBn=45°)、準平行激波(Quasi-parallel Shock，0°<θBn<45°)和平行激波(Parallel Shock，θBn=0°).

本研究關注垂直激波.在垂直激波中，常見的預加速機制是激波漂移加速(Shock Drift Acceleration, SDA)和激波沖浪加速(Shock Surfing Acceleration, SSA)(Hudson and Kahn, 1965; Lee et al., 1996; Lever et al., 2001; Shapiro and ü?er, 2003).激波漂移加速是指粒子穿越激波面時由于磁場梯度的影響而沿運動電場的方向漂移一段距離，從而被運動電場加速；激波沖浪加速是指激波面附近存在一個沿著激波法向量方向的電勢，被稱為激波橫越電勢(Cross Shock Potential)，部分粒子可以被該電勢反射回上游，然后在上游的電場和磁場作用下再次回到激波面，這個過程中粒子會沿著激波面移動一定的距離，并被運動電場加速.激波漂移加速的效率主要取決于激波本身的磁場壓縮比，但是磁場過沖(激波面內磁場強度遠高于下游平均磁場的尖峰結構)和磁足(激波面前磁場強度高于上游平均磁場但是遠低于下游平均磁場的結構)的存在也會對加速產生一定的影響，這是由于磁場過沖和磁足的演化會影響激波面附近的磁場梯度大小(Lee et al, 2005).與激波漂移加速不同，激波沖浪加速主要與激波橫越電勢的強弱有關.

本文利用測試粒子模擬的方法探究垂直激波中的離子加速問題，我們首先研究在較為簡單的理想激波條件下，離子通過激波結構后的能量增益與其初始參數(包括回旋相位角、初始位置和上游平均能量)的關系；然后利用自洽的一維混合模擬給出的更接近真實的激波結構計算不同參數的離子獲得的加速，并通過與理想激波條件下的結果相對比，評估激波內部的電場和磁場微觀結構對離子能量增益的影響.本文的第1節介紹研究使用的模擬方法及模擬參數，第2節討論離子通過理想激波結構獲得的能量和離子初始參數之間的關系，第3節討論了利用混合模擬得到的自洽激波電場和磁場結構下離子的加速以及激波橫越電勢和磁過沖的強弱對離子加速的影響，最后一節給出了結論和進一步的討論.

1 模擬方法及模擬參數

本文使用測試粒子模擬的方法研究離子在通過垂直激波時的能量增益.測試粒子模擬是研究粒子加速中常用的方法,該方法利用數值計算求解粒子在給定的電場和磁場中的運動方程，僅關注場對粒子的作用而忽略粒子運動對場的影響.本文使用四階龍格-庫塔法來求解離子的運動方程(1)：

(1)

這里v,q,m分別是離子的速度、電荷和質量，t是時間，而E和B分別代表離子位置的電場和磁場.模擬區域在空間上被劃分為800個網格，在給定了網格點上的電場和磁場的情況下，離子在某個位置的電場和磁場通過線性插值的方法獲得，然后被代入運動方程求解下一個時刻離子的位置和速度.

雖然測試粒子模擬方法并非完全自洽，但該方法只需要求解粒子的運動方程而無需求解相對復雜的電磁場和磁流體力學方程，允許我們追蹤每一個粒子的速度和位置的變化，便于探究粒子的運動學參數與其在通過激波時獲得的能量增益之間的關系.相較于自洽模擬，測試粒子模擬還可以更方便地改變激波的電場和磁場結構，從而更好地區分不同的激波結構對于離子能量增益的影響.

為了便于表述和分析，在本文的模擬中所有的物理量都做了無量綱化處理.其中，磁場和電場的單位分別是激波上游背景磁場B0和B0VA，測試粒子模擬中時間步長ΔtΩci=10-4，模擬區域的長度為400λi.這里VA是上游的Alfvén速度，Ωci為質子回旋頻率，λi(=VA/Ωci)為質子慣性長度.模擬在激波靜止坐標系下進行，在該坐標系下，激波面被固定在x=300λi，上下游等離子體流體速度沿x軸方向，上游背景磁場方向沿y軸方向.測試粒子模擬中使用的激波磁場和電場首先使用從R-H關系(Rankine-Hugoniot Relations)導出的簡單的理想激波結構，然后利用由自洽的一維混合模擬得到的更接近真實的激波結構.

R-H關系通過磁流體力學方程和物質、能量及動量的守恒關系給出了激波上下游的磁場、磁流體速度、溫度、密度、壓強等宏觀物理量的壓縮比與激波角、上游Alfvén馬赫數和等離子體β(等離子體熱壓和磁壓之比)之間的關系.通過R-H關系，給定激波上游磁場的強度和方向、上游馬赫數以及上游的等離子體β就可以得到激波電場和磁場結構.圖1a—1c(第一列)展示了本研究中使用的當上游Alfvén馬赫數MA=7.42、激波角θBn=90°和上游等離子體β=0.05時R-H關系給出的激波的磁場和電場結構(從上到下分別是磁場的y分量、電場x分量和電場的z分量；電場和磁場的其余分量均為0，所以沒有展示).利用R-H關系給出的這一簡單的理想激波結構，我們將探索離子通過激波后的能量增益與其初始參數(包括回旋相位角、初始位置和上游平均能量)的關系.值得注意的是，R-H關系不能給出激波面附近的精細結構，得到的激波結構的激波面厚度為0，也不存在磁過沖和激波橫越電勢等結構.

為了進一步研究離子通過真實的激波結構獲得的能量增益，我們利用自洽的一維混合模擬來獲得更接近真實的激波磁場和電場結構.混合模擬是一種常用的自洽等離子體模擬技術，該方法將等離子體中的電子作為磁流體而離子作為粒子處理，適合用于研究離子特征尺度的等離子體物理過程(Winske and Omidi, 1993).而激波的演化主要發生在離子特征尺度，因此使用混合模擬技術生成激波的電場、磁場結構是十分合適的.本文中的一維混合模擬的空間演化沿著x方向，模擬區域的長度為400λi，網格長度為0.5λi，時間步長ΔtΩci=10-2，總模擬時間為tΩci=150.混合模擬中激波角、上游Alfvén馬赫數和等離子體β的取值和上述R-H關系給出的激波結構保持一致，而模擬所獲得的激波電場和磁場結構也展示于圖1d—1o(第二到五列)中，以與R-H關系給出的結果對比.由于R-H關系忽略了離子的動理學效應，R-H關系導出的激波的壓縮比和由混合模擬得到的激波壓縮比稍有差異，但是十分接近，前者為ηRH=3.46，后者約為ηHS=3.54.

由于無論是R-H關系還是一維混合模擬給出的激波磁場和電場的其他分量都恒為0，圖1僅僅展示了激波磁場的y分量(第一行)、電場的x分量(第二行)和z分量(第三行).同時，考慮到激波遠上游和遠下游的電場和磁場變化較小，圖1僅展示了接近激波面的部分以更清晰地顯示激波面附近的電場和磁場結構.其中，圖1m、1n和1o(第五列)是由一維混合模擬生成的隨時間變化的激波的電場和磁場結構，橫軸為x方向，縱軸為時間t(圖中僅展示了tΩci=40～50的電場和磁場)，而顏色代表磁場和電場的強度.需要說明的是，激波的混合模擬本身是在激波下游等離子體的參考系中進行的，相關結果已經被轉換到了本研究中測試粒子模擬所采用的激波靜止參考系，激波面的位置(激波面位置被定義為磁場強度從上游到下游增長為上游平均磁場強度和下游平均磁場強度的平均值的位置)固定在x=300λi處.從圖1m—1o可以看到激波面附近的磁場和電場強度發生準周期性的改變，這種現場被稱為激波重構(Hellinger et al., 2002; Lobzin et al., 2007; Mazelle et al., 2010; Shinohara et al., 2011).

圖1 測試粒子模擬中使用的激波結構 圖中第1行給出了磁場的y分量，第2行和第3行分別給出了電場的x和z分量.另外，第1列的激波結構由R-H關系得到，而第2至第5列是由自洽一維混合模擬得到的激波結構：第2列到第4列給出了模擬中三個不同時刻的結果，最后一列展示了模擬中激波結構隨時間 的連續變化(縱軸為模擬時間).Fig.1 Shock profiles used in our test particle simulations From top to bottom, the panels in the three rows display the y-component of the magnetic field, the x-component and z-component of the electric field, respectively. The panels in the first column are for an ideal shock profile given by the Rankine-Hugoniot relations. The second to fourth columns present the shock profiles at three different simulation times produced by a self-consistent one-dimensional hybrid shock simulation. Finally, the last column shows the evolution of the simulated shock profile during tΩci=40～50.

與此對應，圖1d—1l(第二到四列)展示了混合模擬給出的在一個激波重構周期內三個不同時刻的激波結構.這三個時刻分別是激波磁過沖最強的時刻(tΩci=41.7，圖1d—1f)，激波橫越電勢(在本研究中激波橫越電勢的強度通過對激波面內部電場x分量小于0的部分積分獲得)最強的時刻(tΩci=42.6，圖1j—1l)和激波橫越電勢最弱的時刻(tΩci=42.1，圖1g—1i).相應的具體數值如表1所示.此外，在tΩci=41.7時，不但激波磁過沖的強度最大，激波面的厚度較窄(激波面的厚度定義為磁足的起始點到磁場最大值之間的距離)，同時x方向的電場也最強，這與Yang等(2009a)通過全粒子模擬獲得的激波結構特征一致.由于在x方向電場作用下離子能否反射除了和電場強度相關外，還與作用的時間/距離相關，因此在本文討論中我們更關注激波橫越電勢.

表1 同一重構周期內三個不同時刻的激波橫越電勢和 磁場過沖強度Table 1 Values of shock crossing potential and magnetic overshoot at three different simulation times in a shock reformation cycle

2 理想激波結構下的測試粒子模擬

2.1 能量增益與離子初始回旋相位角的關系

圖2 不同上游平均動能(Eku)的離子在理想激波結構作用下的能量增益和離子初始回旋相位角的關系Fig.2 Energy gain from the ideal R-H relation shock profile as a function of ion initial gyro-phase angle for ions of various initial average upstream kinetic energies (Eku)

2.2 能量增益與離子初始位置的關系

圖4展示了不同上游平均能量的離子的能量增益隨著其初始位置的變化.在某一上游平均能量，我們在100λi

圖3 直接穿越離子的軌跡(a)及其能量的變化(c)和SDA離子的軌跡(b)及其能量的變化(d)Fig.3 The trajectories (a,b) and kinetic energy (c,d) of a directly transmitted ion (a,c) and an SDA ion (b,d)

2.3 能量增益與離子上游平均動能的關系

3 激波面內部結構對離子能量增益的影響

3.1 靜態激波結構下的模擬

在對理想激波結構下離子的能量增益與其初始參數的關系有了了解之后，我們研究在混合模擬給出的接近真實的激波電場和磁場結構作用之下的離子能量變化.我們在本小節首先選取圖1d—1l(第二到四列)所示的在一個激波的重構周期中三個不同時刻的電場和磁場結構開展研究.圖5中的紅色、黃色、紫色三條實線展示了在三個不同時刻的不同靜態激波結構作用下，離子能量增益和其上游平均動能的關系(與理想激波結構下的做法類似，離子的能量增益已經對初始回旋相位角和位置分別在一個周期和五個周期內做了平均).

圖5 不同的激波結構下離子的能量增益(對初始回旋相位角和初始位置分別在一個和五個周期內取平均) 與其上游平均動能的關系Fig.5 Ion energy gain (averaged over initial gyro-phase angle and position) as a function of average upstream ion kinetic energy under various shock profiles as labelled

與理想激波結構下的結果(黑線)類似，離子通過混合模擬得到的激波電場和磁場結構的能量增益大體上仍然隨離子的上游平均動能增加而增加.而且隨著離子上游平均動能的提升，不同激波結構作用下的離子能量增益趨于一致.這是因為當離子能量比較高時，離子的回旋半徑顯著大于激波橫越電勢和磁場過沖的空間尺度，這些微觀結構對于離子的能量增益的影響變得可以忽略.而當離子上游平均能量相對較低時，混合模擬給出的三個時刻不同的激波結構導致的離子能量增益都顯著強于理想激波結構下的結果.這說明激波橫越電勢和激波磁場過沖等微觀結構在離子的上游平均能量較低時，能有效促進離子的能量增益.對比三個時刻的混合模擬激波結構下的結果，tΩci=41.7和tΩci=42.1時刻的磁場過沖較強，離子的能量增益也更強；tΩci=42.6時刻的激波橫越電勢最強，不過離子的能量增益最弱.這說明離子能量增益主要受到激波磁場過沖的影響.

3.2 時變激波結構下的模擬

圖6 (a)在一個激波重構周期中不同時刻的混合模擬激波結構作用下三個上游平均動能離子的能量增益及 相對應的(b)激波磁場過沖強度和橫越電勢強度Fig.6 (a) Energy gain of ions at three different average upstream kinetic energies under the hybrid simulation-produced shock profiles at different times over a shock reformation period. (b) The corresponding magnetic shock overshoot strength and the cross-shock potential amplitude

3.3 雙極電場結構對離子加速的影響

圖7 (a) 混合模擬給出的時變激波結構下一個離子的軌跡(黑線)和其在消除激波結構的橫越電勢后(Ex置零)的軌跡(紅線)對比； (b) 兩種情形下離子到達激波面時刻磁場y分量的剖面對比； (c) 兩種情形下離子到達激波面時刻電場x分量 的剖面對比Fig.7 (a) The comparison of typical ion trajectories under the time-varying shock profile and after zeroing Ex in the time-varying shock profile; (b) The profiles of the y component of the magnetic field when the ion crosses the shock front in the two cases; (c) The profiles of the x component of the electric field when the ion crosses the shock front in the two cases

4 結論

本文使用R-H關系推導出的理想激波結構和自洽的一維混合模擬得到的激波結構進行測試粒子模擬，研究垂直激波的電場和磁場結構對離子能量增益的影響.得出以下結論：

(1)離子的能量增益隨著離子上游平均動能的上升而增加.

(2)在理想激波結構中，離子的初始位置和初始回旋相位角對于能量增益的影響都是周期性的.當離子能量較低時，能量增益和初始回旋相位角的關系滿足正弦關系；隨著離子上游平均動能的升高，將會有部分離子獲得明顯激波漂移加速從而導致能量增益和初始回旋相位角之間的關系偏離正弦.

(3)當離子能量較大時，激波面內部的小尺度電場和磁場結構對離子的能量增益的影響基本可以忽略.而當離子能量較低時(離子回旋半徑小于激波面厚度或者相當)，激波面內部的電場和磁場結構會對離子的能量增益產生促進作用.

(4)離子能量增益主要受到激波磁場過沖強度的控制.當激波的磁過沖較強時離子的能量增益更強，而激波橫越電勢更強時，能量增益則不一定更強.

(5)在離子加速的過程中，激波面處的電場和磁場結構共同影響離子的能量增益.激波磁過沖和橫越電勢對離子能量增益的貢獻有互相抵消的效應，例如激波法向電場的雙極結構對于離子的激波漂移加速機制有抑制作用.當然，更多時候激波橫越電勢和磁場結構對于離子加速的影響耦合在一起，是無法簡單區分的.