基于學情，重構教材，打造有增量的“生長課”
——《搭配（二）》磨課實踐與反思

文|徐瑩蓉 張連鳳

俞正強老師將課分成“種子課”與“生長課”，提倡“種子課”要“蒔也若子”，“生長課”要“置也若棄”。《搭配（二）》是一堂基于《搭配（一）》的“生長課”。“生長課”要讓學生學有所獲，必須精準定位學生的認知起點，了解學情、優化教材！

一、困惑的產生

（一）課堂掃描。

最初，筆者抱著“照搬教材例題”的錯誤觀點，從教材中選取并改編了4個排列問題，供學生探究。這4道問題分別來自于教材例1原題、教材“練習二十二”第2題原題，以及第3題的簡化改編題和原題，具體內容如下：

1.用0、1、3、5能組成多少個沒有重復數字的兩位數？

2.2、5、7、9能組成多少個個位是單數的兩位數？

3.4個分類垃圾桶（有害垃圾、廚余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾）擺成一排，“其他垃圾”放在最右邊，這樣的擺法一共有多少種？

4.4個分類垃圾桶（有害垃圾、廚余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾）擺成一排，“其他垃圾”不能放在最左邊，這樣的擺法一共有多少種？

這4道題反饋前的正確率分別為80.49%、58.54%、90.24%和60.98%；反饋后的正確率分別為90.24%、85.37%、97.56%和78.05%。

（二）效果評估與成因分析。

總的來說，除了第4題，學生的探究過程較為輕松，積極性不高，而且課后作業正確率低。

1.學習增量小。

反饋前后，學生關于第1題的正確率增量不大。因為早在二年級的《數學作業本》中，學生已遇到過從含有0的3個數字中選2個數字的問題。第1題也是聚焦于排列問題中對于0的處理，所以不適合作為本課起點。

2.考查重點偏。

第2題，學生獲得了明顯的學習增量，但進步的原因是對“個位是單數”這句話有更準確和清晰的理解。但提升審題能力不適合作為本課重點。

3.難度梯度不合理。

直接從第1、2題的從4個數字中選2個數字的題型，飛躍到第3、4題的從4個元素中選m個元素的題型，難度跨度過大。第4題是從4個元素中選4個元素的題型，由于缺少鋪墊，思維挑戰過大，雖耗時10多分鐘，但收效甚微。

4.與課后作業脫節。

學生的課后作業正確率較低，原因是課堂與課后的習題類型嚴重脫節。《數學作業本》以從n個元素中選3個元素的為重，與教材例題不太相符。

二、困惑的破解

（一）全面思考，定位目標。

1.看“歷史”。

《搭配（二）》是以二年級上冊的《搭配（一）》為基礎的“生長課”。

兩課的例題都是在求“取出2個數”的排列數，并體現有序思考、分類討論、符號化的數學思想；但《搭配（二）》的例題是元素個數更多（4個），且有一定限制條件（有數字0）的排列問題。

2.看單元。

人教版小學數學三年級下冊第八單元《數學廣角》，共有3道例題。與其他例題比較，例1為求排列數問題，更強調關于元素位置的有序思考。

3.看習題。

教材中共有8道排列問題，數字題與情境題并重，從n個元素中選2個元素的最多。另外是4個元素的排列問題。而匯總《數學作業本》以及《課時特訓》的28道排列問題，情境題比數字題多。從n個元素中選3個元素最多，占了一半；然后是從n個元素中選4個元素。可見，教材與教輔對問題的處理方式差異較大。

4.小結。

有序思考和分類討論依然重要。更重要的是考慮并協調教材和教輔之間的差異，并精準定位本課的起點。

（二）前測：把握學情。

為了精準定位學生起點，筆者從教材、《數學作業本》《課時作業本》以及《專項卷》的經典習題中選取了較典型的8道題，并根據每道題獲得的124個樣本數據進行分析思考。

1.前測題內容與類型。

（1）無限制條件的排列問題。

①用1、3、5能組成哪些沒有重復數字的兩位數？

②用1、3、5能組成哪些沒有重復數字的三位數？

③用1、3、5、7能組成哪些沒有重復數字的兩位數？

④用1、3、5、7能組成哪些沒有重復數字的三位數？

（2）有限制條件的排列問題。

⑤用1、3、5、0能組成哪些沒有重復數字的兩位數？

⑥用2、1、3、5能組成多少個個位是單數的兩位數？

⑦用1、2、3、4能組成哪些個位是3的四位數？

⑧用1、2、3、4能組成哪些3不在千位的四位數？

2.樣本數據分析。

（1）舊知掌握程度高。

①②題的正確率為91%和87%。其中有序搭配的占了83%和87%。因此無需復習導入。

（2）例題挑戰性不足。

③⑤題的正確率分別為81%和79%，87%和80%的學生做到有序排列。可見，有數字0的從4個數字中選2個數字問題挑戰性不大，不適合作為本課的重點。

（3）有限制也不難。

⑥⑦題分別是個位是單數的從4個數字中選2個數字和某數一定要在某數位的從4個數字中選4個數字問題。⑥題的正確率為36%，48%的學生能做到有序排列。錯因多是沒有理解題意就下筆。2%的學生選擇了更簡便的個位固定法。⑦題的正確率是89%，90%的學生能做到有序排列。當從4個數字中選4個數字問題中固定了3的位置后，就相當于3個元素排列。可見，有條件的排列也不一定是思維難點。

（4）元素多則難有序。

⑧題的正確率為62%。只有5%的學生具有較強的分類意識和靈活處理問題的能力，能把3分別在百、十、個位分類考慮。但是大部分學生，雖然在千位固定做得很嚴謹，在百位進行第二次固定時則亂了套。④題的正確率為34%。但是做錯的學生中有76%的學生做到了百位固定，大部分學生都錯在未對十位進行二次固定。可見，“二次固定”才是學生的思維難點。

前測顯示，“二次固定”才是學生的思維難點，需要放在課內共同學習解決。而4元素的排列問題難度太大，需要3元素排列問題做鋪墊，而從4個元素中選3個元素問題因出現次數較少，可以不放入課堂。

（三）教學調整：適切實施。

1.重設重難點。

重設重點：根據條件有序排列。

重設難點：讓學生掌握“二次固定”法來解決3～4個元素的排列問題，也讓學生學會把情境問題轉化為數字問題，滲透符號化思想。

2.調整例題類型。

筆者計劃本課解決如下6個問題，最后一題根據課堂進度取舍。

（1）導入階段的例題調整。

①用1、3、5可以組成多少個沒有重復數字的三位數？（4分鐘）

此題用于復習“一次固定”方法。

（2）探究新知例題的調整。

②用1、2、3、5可以組成多少個沒有重復數字的四位數？（10分鐘）

③用0、1、3、5可以組成多少個沒有重復數字的四位數？（6分鐘）

通過反饋、對比學生的課堂作業，②題讓學生理解到：當元素個數比較多時，需要使用“二次固定”，才能做到不重不漏。此次正確率比上次提高了40%，增量非常明顯，可作為本課重難點的載體。③題一是為了鞏固二次固定的思考方式，二是為了讓學生探究如何處理數字0。

（3）變式與提高例題的調整。

④唐僧師徒4人坐在椅子上，如果唐僧的位置不變，其他人可以任意換位置，最多有多少種坐法？（3分鐘）

⑤4個分類垃圾桶擺成一排，其中，“其他垃圾”桶不能擺在最左邊，這樣的擺法一共有多少種？（6分鐘）

⑥把5塊巧克力分給小麗、小明、小紅，每人至少分1塊，有多少種分法？（9分鐘）

這3道題都是情境題，重點培養學生轉化和符號化的意識。

④題可轉化為固定十位的從4個數字中選3個數字數字題；⑤題中不能放在最左邊的“其他垃圾”桶可以看成數字0，從而⑤題可轉化成含有數字0的從4個數字中選3個數字數字題；⑥題是小朋友們分巧克力的問題，是一道多解法情境化的排列問題。學生可以直接用首位固定法解決；也可以先分類成（1，1，3）和（1，2，2）兩種情況，再用首位固定法解決。

3.調整學習方式。

“二磨”時，課堂習題采用同桌合作學習與獨立學習兩者相結合的學習方式，并設計了《合作學習單》與《獨立學習單》。

《合作學習單》上的題目為題①②和⑥；《獨立學習單》上的題目為③④和⑤。

4.及時總結與板書。

在作為復習導入的第①題和突破本課重難點的第②題反饋結束后，都需要分別提煉方法并用板書展示，以升華認知。可以用填空的方式降低學生的表達難度。

三、結語

對于《搭配（二）》這樣的“生長課”，學情至關重要。根據學情來重構教材，并匹配合理的探究活動，才是學生踮起腳尖能夠到的“桃子”。自主探究與合作學習相結合，才能促使學生都參與到思考中來。

基于學情，重構教材，打造有增量的“生長課”。這樣的“生長課”讓教師思考多多，學生也收獲滿滿。

（本文為“第十四屆全國小學教學特色設計論文大賽”獲獎作品）