引進表征工具 導向高階思維
——《搭小正方體中的學問》教學思考與實踐

文|婁煜鵬

人教版五年級下冊第166頁總復習中有這樣一道題——

下面3個圖形都是由棱長1cm的小正方體擺成的。

（1）下面的圖形是聰聰從上面看到的。它們分別是從哪個圖形的上面看到的？將序號寫在括號中。

（2）①、②、③的體積分別是多少？①的體積是③的體積的幾分之幾？

（3）如果要把①、②、③分別繼續補搭成一個大正方體，每個圖形至少還需要多少個小正方體？

（4）你還能提出其他數學問題并解答嗎？

題目以小正方體搭成的圖形為線索，串起了“圖形與幾何”領域內觀察物體、計算體積和表面積等多個知識點。但實踐發現，多數學生對此題有畏煩和畏難的情緒。課堂上，如果只由部分優秀學生或者教師來講述與核對一遍答案，則不能真正引發學生的數學思考和共鳴，失去了練習的價值。

通過與新思維教研人員進行交流，筆者了解到兒童的抽象思維尚不成熟，心力資源有限，在他們展開推理和想象的過程中，常常需要借助各種圖像、筆記等具體表征，使自己對圖形關系和數量關系的分析看得見、可反思，從而突破難點、升級問題解決的能力。教研員推薦了張天孝老師主編的《新思維兒童數學》（5B）第82、83頁《立方體堆砌》一課以供參考。

在書中，筆者看到了一種“帶數字的俯視圖”，激發了靈感。再教學時，嘗試引進“帶數字的俯視圖”作為表征和交流的工具，幫助學生展開該圖形問題的分析和解決過程，著重訓練立體與平面的轉換，發展空間觀念；體會圖形與數字的溝通，積累情境問題數學化、數字化的經驗。

一、對比感悟，認識工具

1.新舊比較，了解工具內涵。

（1）課件先后出示。

師：同學們，老師用一些小正方體搭了一個圖形。這是聰聰畫的俯視圖（出示如上左圖），這是明明畫的俯視圖（出示如上右圖）。看到這兩幅俯視圖，你有什么想說的嗎？

生：第一幅是平面的，第二幅是立體的。

師：此話怎講？

生：因為看第二幅我能知道每一個平面位置上有幾塊小正方體。

師：誰聽懂了？

生：他的意思是，從明明畫的圖中不僅可以知道一個面上的正方體是怎么擺的，還知道每個正方體下面或者上面疊搭了幾個。

教師引導集體想象根據如上右圖可能得到的立體圖形，如：

（2）學生活動：嘗試用數字俯視圖記錄立體圖形。

師：你能像明明這樣，記錄一下這個圖形的俯視圖像嗎？

學生自主填寫，指名校對，如：

2.雙向聯系，鞏固基本技能。

出示：

師：剛才大家都說帶數字的俯視圖能確定立體圖形，那你能從上面三幅帶數字的俯視圖中找到與它們對應的立體圖形嗎？你是怎么找的？

（在集體交流的基礎上，完成連線。對個別有爭議的圖像，實物搭建，觀察驗證）

【設計意圖：將教材中通用的、學生比較熟悉的俯視圖與“帶數字的俯視圖”同時呈現，方便學生比較異同，很快理解新工具的表征方法。另一方面，將帶數字的俯視圖和立體圖形建立雙向聯系，在具體應用中進一步體會工具承載的圖形信息。課一開始，干脆利落地落實工具，為接下來學生自主思考和解決問題打下基礎。】

二、多維思考，拓展算法

1.計算體積，交流方法。

師：這個圖形是由棱長1cm的小正方體擺成的，請你用喜歡的方法計算它的體積。

（學生獨立思考、計算——教師呈現典型作品，組織交流）

生：我是通過數個數的方式計算的。第一層有3個，第二層有7個，一共有3+7=10（個）。已知1個小正方體的體積是1cm3，那么這個圖形的體積就是10cm3。

師：你的體積概念很清楚，誰還有不同的方法？

生：可以畫一個“帶數字的俯視圖”，你們看——

把上面的數字都加起來：2×3＋1×4=10。

師：他的意思大家明白嗎？我們來檢查一下。為什么俯視圖上的數字相加就可以得出體積？

生：俯視圖中的數字之和等于小正方體的總數。

師：你能用自己的語言概括一下求組合圖形體積的方法嗎？

【設計意圖：鼓勵學生說出求圖形體積的不同想法，體會方法的多樣及各自的特色。初步感受到使用新的記錄方式，可以將立體圖形轉化成平面圖形，將幾何求體積的問題轉化成算術求總和的問題。】

2.補搭圖形，探尋方法。

師：一張俯視圖，使立體圖形變成了平面數表。如果要將這個立體圖形繼續補搭成一個大正方體，至少還需要多少個小正方體？你能解決嗎？你會用什么方法來幫助自己思考呢？

（學生獨立思考、計算，教師呈現典型作品，組織交流）

生：（指著立體圖）從圖中我可以知道至少拼搭成棱長是4的正方體。那么這時一共用到4×4×4=64個正方體，所以還需要64-10=54個正方體。

生：我沒有聽得太懂。

生：你們看，現在的圖形我們畫下來是——

生：那么要搭成一個最接近的大正方體就是——

師：大家能看懂這些“帶數字的俯視圖”嗎？依照俯視圖，你能想象、生成立體圖嗎？

師：你現在能根據這兩幅“帶數字的俯視圖”再來算一算嗎？

生：4×4×4－10＝54（個）。只要把兩幅帶數字的俯視圖上的數字之和相減就行了。

師：謝謝這位同學，這個小老師當得好！解決了這個問題，你有什么想說的嗎？

生：可以用帶數字的俯視圖記錄信息，幫助我們解決問題。

【設計意圖：以數字俯視圖為抓手，幫助更多學生生成正確的、可把握的空間圖像，切實發展更多學生的空間觀念。特別是在研究補搭成大正方體問題的過程中，學生較為深刻地感受到引進和借力表征工具的重要性，積累了空間想象的經驗，感悟到幾何和算術的關聯，發展幾何直觀與推理能力。】

3.算表面積，總結公式。

師：計算體積我們可以這樣多角度地思考，那對于求表面積的問題，大家是不是也會有新思路呢？

（1）出示：請計算下圖的表面積（含底面）。

方法一：

生：我發現圖中相對的面的面積是一樣的，所以表面積＝（5＋5＋3）×2＝26（cm2）。

師：相對的面積一樣嗎？我們來驗證一下。

（課件演示該立體圖形分別從上下、左右、前后方向觀察得到的面）

師：這類圖形的表面積該如何計算？

生：表面積＝（上面面積＋正面面積+側面面積）×2。

師：看來，這樣的圖形，只要觀察3個面的面積，就能求它的表面積了。有不一樣的方法嗎？

方法二：

生：我畫了一個圖——

師：這幾列都只有1，那就選1；但第二列既有2又有1，為什么選2呢？

生：因為這個“2”的意思是正面看過去，這一列可以看到2個面，2個面就有2個面的面積。

師：原來這里的數字不是數字，是帶著圖形的信息的！（呈現立體圖形，集體觀看，確認從正面看到的幾個面）

生：每一列最大的數代表每一列看到的面數。

師：請繼續計算。

生：繼續算側面看到的面積。我從右邊觀察，能看到3個，分別是第一行最大的2和第二行的1。左邊和右邊一樣。

生：和剛才一樣，也要用最大的數。

師：誰能完整地再來說說這位同學的計算方法？

生：先算上面，即圖像本身的正方形個數：5。再看正面，用每一列最大數相加：1+2+1+1=5。再看右面，同樣逐列最大數相加：1+2=3。所以總的表面積是：（5+5+3）×2=26（cm2）。

師：比較這兩種方法，你有什么想說的？

生：我覺得都很方便。

生：我看立體眼暈，看俯視圖計算適合我。

生：對俯視圖上的數字，有時要想一下對應的立體圖形。不然容易選錯。

（2）鞏固練習。

出示：看圖計算立體圖形的表面積。

學生獨立計算，交流校對：

【設計意圖：面向全體學生先交流看立體原圖計算的方法，明確前后、上下、左右面之間的關系，理解只要知道上、前、右3個面的面積就能計算圖形的表面積。再交流“帶數字的俯視圖”計算表面積的方法，過程中教師適時追問“為什么選這個數字？”“數字表示什么意思？”在平面與立體之間，圖形與數字之間來回穿梭、對照，確保算法是空間想象的實體化、概括化，空間想象是算法的源動力。】

三、回顧反思，總結提升

師：這節課你有什么收獲嗎？能給這節課取個課題嗎？還有什么疑惑嗎？

生：有“帶數字的俯視圖”，那有沒有“帶數字的正視圖”，或者“帶數字的側視圖”呢？

生：是不是所有“帶數字的俯視圖”都能用那個公式來計算表面積呢？

生：“帶數字的俯視圖”還能解決哪些問題呢？

出示下圖：

師：問題提得很好！這里有一幅圖，請仔細觀察，然后同桌嘗試，分別利用立體圖像和俯視圖示計算它的表面積，看看有什么特別的地方嗎？

同桌合作——集體交流：

師：誰能來解釋一下？

生：有的面凹進去了，有的面藏起來了。

師：誰能上來把他們說的“藏起來的面”指出來？

師：那你們有什么想補充說的嗎？

生：看來我們剛才總結出計算表面積的公式有一定的局限性。

生：對于有缺口的圖形問題，我們還得進一步研究。

生：俯視圖上數字帶的信息怎么才能完全體現立體圖形的信息？

【設計意圖：回顧整節課，聊聊收獲，體現學生對本課的實際理解水平，同時，突出本課的重點，加深學生的學習印象。最后出示了一幅“有缺”的立體圖形，引發學生認知沖突，課堂再掀高潮，培養學生思維的批判性和縝密性，也激勵學生的問題意識和研究興趣，將課堂學習延伸到課后。】