利用教材題組發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的實踐與反思

文|戴夢竹

題組設(shè)計是浙教版《數(shù)學(xué)》教材的重要特色之一。好的題組能有效幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)新知時降低探究難度，在應(yīng)用概念時避免機械操練，感受自主創(chuàng)造、自覺內(nèi)化的樂趣，促進數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)情感的積極發(fā)展。

以下嘗試對教材中的題組編寫策略進行一定的整理和反思，以方便一線教師共同讀懂、用好，乃至借鑒創(chuàng)編相應(yīng)的練習(xí)。

一、一題多變設(shè)計題組

一題多變是最常見的題組形式，為了凸顯知識的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合、抽象、概括的能力，教材設(shè)計了大量變式練習(xí)調(diào)動學(xué)生思維。

（一）改變敘述方式，強化抽象與概括。

1.情境變化型。

一些學(xué)生在解決問題時，常常被題目的情境所迷惑，不能識別出問題的根本模型。針對學(xué)生只會解一道題，而不是一類題的情況，可有意識地以題組形式呈現(xiàn)情境變化的問題。如，在學(xué)習(xí)工程問題時，我們進一步改編浙教版《數(shù)學(xué)》五年級下冊第76頁練習(xí)數(shù)據(jù)，構(gòu)造題組——

（1）一條道路，甲隊單獨修12天能完成，乙隊單獨修18天才能完成，如果兩隊合修，多少天能修完？

（2）甲車從A地開到B地需要12分鐘，乙車從B地開到A地需要18分鐘，兩車同時從兩地相向開出，經(jīng)過幾分鐘相遇？

（3）一筆錢單獨買衣服可以買12件，單獨買褲子可以買18條，如果一件衣服和一條褲子配成一套，這筆錢最多可以買幾套？

引導(dǎo)學(xué)生在具體練習(xí)的基礎(chǔ)上，建立不同情境之間的對應(yīng)，感悟相同的數(shù)量結(jié)構(gòu)。

2.表達變化型。

通過不同的敘述方式呈現(xiàn)題目中的某個條件，有利于學(xué)生對不同的數(shù)學(xué)概念、公式、工具進行鏈接。如——

（1）西山苗圃中松樹苗占地2.7公頃，比柏樹苗的占地面積多。柏樹苗占地多少公頃？

（2）西山苗圃中松樹苗占地2.7公頃，柏樹苗的占地面積比松樹苗少。柏樹苗占地多少公頃？

（選自浙教版《數(shù)學(xué)》六年級上冊第41頁）

學(xué)生通過對兩題的關(guān)系句進行分析，發(fā)現(xiàn)不同的表述方式反映出相同的數(shù)量關(guān)系，即松樹苗占地面積是9份，柏樹苗占地面積有這樣的8份，數(shù)量關(guān)系式都可以寫成：松樹苗占地面積×=柏樹苗占地面積。放手讓學(xué)生繼續(xù)改編題組，學(xué)生還會聯(lián)想到倍、比等知識，這樣在不知不覺中對知識進行了擴展和串聯(lián)。

3.問題變化型。

利用相同信息發(fā)展出不同的問題，使一道題目變成一組題目，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。如，在學(xué)習(xí)四則運算應(yīng)用問題時，原教材配有題組——

某食品廠計劃18天生產(chǎn)飲料540箱，實際前4天生產(chǎn)144箱。照這樣計算：

（1）可以提前多少天完成？

（2）18天可以多生產(chǎn)多少箱？

（3）剩下的還要生產(chǎn)多少箱？

（4）剩下的時間還可以生產(chǎn)多少箱？

（5）生產(chǎn)12天后，還剩多少箱沒完成？

（選自浙教版《數(shù)學(xué)》四年級上冊第79頁）

根據(jù)信息，這道題中有兩個歸一量，即“計劃每天生產(chǎn)箱數(shù)”和“實際每天生產(chǎn)箱數(shù)”，學(xué)生需要根據(jù)問題，靈活選擇信息，找準歸一量進行解題。這樣的題組練習(xí)對學(xué)生整體把握和辨析數(shù)量關(guān)系提出了更高的要求。

（二）增加推理層次，強化分析與綜合。

1.隱藏信息型。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，在學(xué)生掌握了基本的概念和結(jié)構(gòu)以后，不妨將題目中的一些直接信息變?yōu)殚g接信息，為學(xué)生提供“化歸”的學(xué)習(xí)機會。例如——

（1）有5盒同樣的玻璃球，每盒的個數(shù)一樣。如果各取出12個，取出的個數(shù)正好是原來2盒玻璃球的個數(shù)。原來每盒有多少個玻璃球？

（2）5只桶里的水一樣多，如果從每只桶里倒出6千克水，5只桶里剩下的水相當(dāng)于原來2只桶里的水。原來每只桶里有多少千克水？

（選自浙教版《數(shù)學(xué)》四年級上冊第83頁）

第（1）題是第（2）題的基礎(chǔ)，第一題取出個數(shù)對應(yīng)的盒數(shù)已知，利用取出個數(shù)除以對應(yīng)盒數(shù)就能解題。第二題將倒出質(zhì)量對應(yīng)的桶數(shù)隱藏起來，學(xué)生解題時要先將“剩下的水相當(dāng)于原來2只桶里的水”轉(zhuǎn)化成“倒出的水相當(dāng)于原來3只桶里的水”，增加了推理層次，豐富了化歸的體驗，突出了“對應(yīng)”的思想。

2.綜合運用型。

在練習(xí)過程中，教師如果僅呈現(xiàn)知識點比較單一的問題，學(xué)生會依靠思維慣性，不假思索地寫出答案，失去了鍛煉思維的價值。而隨著學(xué)習(xí)的推進，把同一領(lǐng)域不同方面的知識，不同領(lǐng)域的知識，乃至不同學(xué)科的知識，不斷整合、迭代，則可幫助學(xué)生不斷升級自己的知識結(jié)構(gòu)和能力水平。如下面這組題——

（1）如圖所示，這個物體的體積是多少立方分米？

（2）一個立方體鋼坯的棱長是0.5m，把它鍛造成橫截面面積是10dm2的長方體鋼材。鍛造成的鋼材有多長？（用方程解答）

（3）一個圓錐形的容器高15cm，底面直徑是8cm，容器裝滿水后，將水倒入底面直徑為16cm、高為15cm的圓柱形容器中。水面距圓柱形容器上端多高？

（選自浙教版《數(shù)學(xué)》六年級下冊第71、72頁）

這樣的題組，從易到難，既考查了圓柱體積的知識，又考查了立方體體積、圓錐體積、體積單位、方程等知識。在練習(xí)過程中，學(xué)生需要辨析概念之間的差別和聯(lián)系，對空間想象能力的要求不斷攀高，思維得到了鍛煉。

二、利用對比設(shè)計題組

為了打破思維定勢，教材通過將順向思維的題目逆向化或?qū)⒈竟?jié)課的內(nèi)容與前面所學(xué)內(nèi)容進行比較等方式設(shè)計一批對比題組，使學(xué)習(xí)效果事半功倍。

1.正逆對比型。

很多所謂的基本問題，都是順著情境發(fā)生發(fā)展就可以順理成章得到答案的問題。這時，只要把情境事實稍微加以符號化就可以了。而只有當(dāng)學(xué)生對于逆向問題也能夠頭頭是道地展開分析，我們才認為他的頭腦中具備了相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，使得他們可以超越具體情境的限制，基于數(shù)學(xué)關(guān)系，進行多向度的推導(dǎo)。

例如，將“相遇問題”中的條件和問題進行輪換，幫助學(xué)生從整體上把握速度、時間和路程之間的關(guān)系。

（1）貨車和客車分別以60千米/時和80千米/時的速度行駛。它們同時從A、B兩城市出發(fā)，相向而行，3小時后相遇。A、B兩城市相距多少千米？

（2）貨車和客車同時從相距420千米的A、B兩城市出發(fā)，相向而行，速度分別是60千米/時和80千米/時。幾小時后相遇？

（3）貨車和客車同時從相距420千米的A、B兩城市出發(fā)，相向而行，3小時后相遇。貨車的速度是60千米/時，客車的速度是多少？

（選自浙教版《數(shù)學(xué)》四年級上冊第24頁）

2.相似對比型。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，還經(jīng)常會發(fā)生將新知識與之前學(xué)過的相似知識混淆，用同種思維去解決性質(zhì)不同的題目的錯誤。將涉及相似知識點的題目組織起來，進行對比分析，可以幫助學(xué)生做好基本概念的強化和分化。如，學(xué)習(xí)正比例和反比例后，提供題組——

（1）濃度一定，水和藥的用量成（ ）比例。

（2）長方體的體積一定，長方體的底面積和（ ）成反比例。

（3）ab=c，當(dāng)a一定時，b和c成（ ）比例；當(dāng)c一定時，a和b成（ ）比例。（a、b、c均不等于0）

（選自浙教版《數(shù)學(xué)》六年級下冊第38頁）

通過對正比例、反比例的辨析，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)正比例和反比例的區(qū)別與聯(lián)系，掌握概念的本質(zhì)。如果進一步讓學(xué)生對正比例和反比例進行相互的轉(zhuǎn)化與改編，學(xué)生在應(yīng)用過程中，還能概括出：凡是成分總關(guān)系的一組數(shù)量，必定存在著正、反比例的關(guān)系。

三、利用開放因素設(shè)計題組

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)開放性，倡導(dǎo)學(xué)生多視角看問題，拓展他們思考和創(chuàng)新的空間。教材在問題的提出和解答方式上挖掘開放因素，給學(xué)生留有充分的自由度。

1.開放條件或問題。

學(xué)生不但應(yīng)具備解決問題的能力，更應(yīng)具備創(chuàng)造性提出問題和改編問題的能力，后者對學(xué)生的思維要求更高。設(shè)計條件或問題不唯一的題組，讓學(xué)生在不斷嘗試中增進思維的發(fā)散性和系統(tǒng)性。例如——

先把下列各題的條件補充完整，再計算。

（1）白兔有34只，________。白兔和黑兔一共有多少只？

（2）李師傅修理了34把椅子，____________。張師傅修理了多少把椅子？

（3）書架上原來有25本書，____________。現(xiàn)在有多少本？

（選自浙教版《數(shù)學(xué)》二年級上冊第53頁）

由于學(xué)生思維層次不同，對數(shù)量關(guān)系的理解水平存在差異，他們編的題目有難有易。實際教學(xué)時，通過小組討論和全班交流，大家可以相互借鑒，既生成共同概括，又體驗不同變化，每個人都能在自己原有思維水平的基礎(chǔ)上有所突破。

2.開放解題結(jié)果型。

結(jié)果不唯一的練習(xí)除了要求學(xué)生能解題外，還要求學(xué)生積極考慮存在的其他可能性，甚至所有的可能性，不斷挖掘?qū)W生潛力。如，浙教版在《除數(shù)是兩位數(shù)的除法》單元中配有如下練習(xí)——

（選自浙教版《數(shù)學(xué)》四年級上冊第29頁）

像這樣的開放設(shè)計，學(xué)生為探究不同結(jié)果，會主動去嘗試大量的計算，而在嘗試的基礎(chǔ)上，逐漸生成反思和歸納，巧妙應(yīng)用有序思考，理性分析所有可能。從普遍的嘗試——檢驗策略自主過渡到更高思維層次的組合——推理策略，體現(xiàn)了創(chuàng)新思維的發(fā)展。

題組練習(xí)是創(chuàng)建小學(xué)數(shù)學(xué)整體教學(xué)、差異發(fā)展的有效途徑。教師在教學(xué)中，自覺運用上述策略，不僅能增強數(shù)學(xué)教學(xué)的趣味性，更能為學(xué)生建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展思維的深刻性與靈活性提供機會。