學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，我們讀懂了嗎？
——兼評《角的初步認(rèn)識(shí)》一課

文|張紹華 張冬梅（特級教師）

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾有一個(gè)重要的基本觀點(diǎn)：每個(gè)人都有自己生活、工作和思考著的特定的客觀世界以及反映這個(gè)客觀世界的各種數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算方法、運(yùn)算規(guī)律和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。這就是說，每個(gè)人都有自己的一套“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。數(shù)學(xué)教育的任務(wù)就在于，隨著學(xué)生所接觸的客觀世界的廣泛程度，應(yīng)該確定各類學(xué)生在不同階段必須達(dá)到的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，并且根據(jù)學(xué)生所實(shí)際擁有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”采取相應(yīng)的方法予以豐富、擴(kuò)展，從而使學(xué)生逐步提高所具有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的程度并擴(kuò)充其范圍。

因此，我們在教學(xué)中，首先要洞悉學(xué)生個(gè)體的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，并為學(xué)生制定“適合他的”將要達(dá)到的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，當(dāng)然，從已有“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”到將要達(dá)到的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，學(xué)生需要經(jīng)歷量身定制的數(shù)學(xué)活動(dòng)。

“角的認(rèn)識(shí)”是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域中的重要知識(shí)，由于它高度的抽象性，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。如角的概念、角的大小以及后面相關(guān)的角的度量，都是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。那么，關(guān)于“角”，學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)究竟是怎樣的？我們應(yīng)當(dāng)確定的學(xué)生將要達(dá)到的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)是什么？更重要的是，開展怎樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)可以幫助學(xué)生達(dá)到新的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)？肖暢老師的《以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)促概念理解》（簡稱設(shè)計(jì)一）和張文宜老師的《基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的概念教學(xué)》（簡稱設(shè)計(jì)二）為我們帶來了許多啟發(fā)與思考。

一、學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中存在的問題

首先，兩位教師為了讀懂學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，下足了功夫。學(xué)生關(guān)于“角”的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，我們可以從三個(gè)常見現(xiàn)象看起：

現(xiàn)象一：指角的時(shí)候，往往只是指角的頂點(diǎn)，而不是角本身。

現(xiàn)象二：找角的時(shí)候，會(huì)認(rèn)為彎彎的桌角、墻角等都是角。

現(xiàn)象三：認(rèn)為角1比角2大，即使使用過活動(dòng)角，也口口聲聲說角的大小與兩條邊張開的程度有關(guān)，但還是會(huì)有學(xué)生認(rèn)為角1比角2大。

角1

角2

所謂讀懂學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，不僅僅是能夠預(yù)測到學(xué)生會(huì)出現(xiàn)的各種問題，更重要的是為這些“問題”尋求“合理的解釋”，即學(xué)生為什么會(huì)出現(xiàn)這些問題。

1.概念本質(zhì)模糊。

前兩個(gè)現(xiàn)象都與角的概念有關(guān)，現(xiàn)象一是概念表征出了問題。沒有學(xué)生會(huì)說一個(gè)點(diǎn)就是一個(gè)角，但在實(shí)物上指角的時(shí)候，他們卻只是指出了角的一部分——頂點(diǎn)。實(shí)物模型表征中，學(xué)生會(huì)忽視角的構(gòu)成，但如果用圖像表征，學(xué)生就會(huì)關(guān)照角的所有構(gòu)成：頂點(diǎn)和兩條邊。

現(xiàn)象二是概念外延出了問題，在生活中，人們對于角的定義不同于數(shù)學(xué)中的角。我們有“牛角”“桌角”“角落”……這些外延的混入，導(dǎo)致學(xué)生對角抽象出錯(cuò)誤的本質(zhì)屬性：有拐彎處或是聚攏趨向的都是角。

2.概念指向混淆。

現(xiàn)象三中，當(dāng)學(xué)生說角1比角2大時(shí)，指向的不是兩條邊張開的程度，而是他們?nèi)藶闃?gòu)造出的兩個(gè)三角形或是扇形的面積大小。這個(gè)不難理解，特別是低年級的學(xué)生，他們平時(shí)所說的大小，通常都指向物體表面或平面圖形的面積。

同樣，當(dāng)學(xué)生一邊操作手中的活動(dòng)角，一邊說角的兩邊越張開，角就越大時(shí)，很可能這里的“角越大”指的是由于角的兩邊張開導(dǎo)致活動(dòng)邊掃過的“面積越大”，而并非兩條邊張開的程度。

也就是說，關(guān)于角的大小，有的學(xué)生指向的根本不是角的大小本身，而是他們在角的基礎(chǔ)上構(gòu)造出的面積大小，概念的指向錯(cuò)了，結(jié)果當(dāng)然會(huì)錯(cuò)。

二、如何讀懂學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)

當(dāng)教師真正讀懂了學(xué)生，就會(huì)有恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和幫助：肖老師側(cè)重于構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境，讓學(xué)生在充分、有效的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中建立概念；張老師則側(cè)重于用好學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在不斷的沖突、反思中修正概念。具體表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

1.關(guān)于角的定義。

（1）角不是一個(gè)點(diǎn)。

針對學(xué)生把角表征為頂點(diǎn)這一現(xiàn)象，設(shè)計(jì)一通過實(shí)驗(yàn)示范、操作達(dá)到修正的目的。在教學(xué)中，肖老師邀請一組同桌做實(shí)驗(yàn)示范：讓學(xué)生親自“摸摸這個(gè)角”，學(xué)生一定會(huì)說“尖尖的”。如果學(xué)生沒有注意到邊，教師也可以接過話“真的嗎？我也來摸一摸”，然后很認(rèn)真地一邊摸一邊說“嗯，這里尖尖的，兩邊直直的。”這樣的語言和動(dòng)作都在向?qū)W生傳遞一個(gè)信息：角不僅有頂點(diǎn)，還包括兩條邊。接下來學(xué)生在充分“摸一摸”“說一說”的過程中明晰了角的構(gòu)成。

設(shè)計(jì)二則是通過表征轉(zhuǎn)換引導(dǎo)學(xué)生修正概念。當(dāng)學(xué)生指著角的頂點(diǎn)說“這是角”時(shí)，張老師說“好，我把它描下來。”當(dāng)學(xué)生看到黑板上只留下了一個(gè)點(diǎn)，就會(huì)突然意識(shí)到，自己剛剛指的只是一個(gè)點(diǎn)，必須再有兩條邊，才是一個(gè)完整的角。學(xué)生在三角尺上指角，是實(shí)物模型表征，因?yàn)橛袑?shí)物“襯著”，學(xué)生意識(shí)不到自己的問題，當(dāng)教師把這個(gè)“角”用圖像表征在黑板上，并撤離了實(shí)物，學(xué)生便能清楚地看到“這只是一個(gè)點(diǎn)”。將學(xué)生的實(shí)物模型表征轉(zhuǎn)換為圖形表征，再用圖形表征促使學(xué)生主動(dòng)修正實(shí)物模型表征。

（2）“數(shù)學(xué)角”不等同于“生活角”。

學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)一定是先于數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的，他們收集了各種生活中的“角”，這些“角”有的也許不是數(shù)學(xué)意義上的角。如何幫助學(xué)生將“數(shù)學(xué)角”從“生活角”中剝離出來呢？兩位教師都是讓學(xué)生經(jīng)歷了收集各種正例的刺激模式（感知材料）→抽象出這些刺激模式的共同本質(zhì)特征（形成概念）→用形成的概念辨析復(fù)雜的材料（運(yùn)用概念）的過程。

可以看到，教師先讓學(xué)生在提供的材料中描下各種角，因?yàn)槭墙處熖峁┑牟牧希际钦拇碳つＪ剑苊饬嗽S多非本質(zhì)屬性的干擾。一句“它們有什么共同點(diǎn)嗎？”引發(fā)了學(xué)生對角的本質(zhì)屬性的關(guān)注，他們發(fā)現(xiàn)這些圖形“都有一個(gè)尖尖的點(diǎn)，兩條直直的邊”，從而初步建立了角的概念。接下來，讓學(xué)生運(yùn)用概念進(jìn)行判斷，先是判斷圖形，并且讓學(xué)生說說“這個(gè)圖形為什么不是角”，當(dāng)學(xué)生說“它沒有尖尖的頂點(diǎn)”“邊不是直的”，就是在強(qiáng)化“角要有尖尖的點(diǎn)，兩條直直的邊”；然后是判斷生活中的角，設(shè)計(jì)一中，肖老師還特別呈現(xiàn)了“墻角”組織學(xué)生辨析。學(xué)生每辨析一次，就是在運(yùn)用一次，也是在強(qiáng)化一次角的概念，逐步將認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的新舊概念分化，即“數(shù)學(xué)角”與“生活角”的剝離。

（3）關(guān)照定義的層級性。

從數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)看，角的定義的呈現(xiàn)是有層級性的：

?

由于受二年級學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)及已有知識(shí)的限制，只能從角的構(gòu)成來定義“角”。兩位教師都考慮到了學(xué)生認(rèn)知的“直觀性”特質(zhì)：學(xué)生在生活中所看到的角多為平面圖形的一部分，而非獨(dú)立存在的。所以設(shè)計(jì)一中，讓學(xué)生“找一找：你能從材料袋里的哪些物體面上找到角呢？用手中的框去框出找到的角”。設(shè)計(jì)二中，則是“（在白板上遮住三角形的一部分）現(xiàn)在你看到的是什么圖形呢？”都是讓學(xué)生從熟悉的材料中聚焦于對角的關(guān)注，給學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了充分的經(jīng)驗(yàn)支持。

但兩位教師的定位又不僅限于眼前。我們來看幾處細(xì)節(jié)：設(shè)計(jì)一中，“我先把剛才摸的尖尖的點(diǎn)畫出來。再描兩條直直的線，這個(gè)角就描好了。”設(shè)計(jì)二中，“教師示范：從點(diǎn)出發(fā)，摸向兩條邊”。這是在為四年級上學(xué)期教學(xué)“從一點(diǎn)引出的兩條射線可以組成角”做滲透，學(xué)生在后面多次“摸”“描”的過程中，感知到角的形成過程。再比如，這兩節(jié)課中，教師都提供了活動(dòng)角、鐘面（指針可以轉(zhuǎn)動(dòng)的）等學(xué)習(xí)材料，學(xué)生在動(dòng)手操作過程中也能隱隱覺察到，邊的旋轉(zhuǎn)可以帶來角的大小變化，可以形成不同的角，為后面“角可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形”概念的形成積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

2.關(guān)于角的大小。

（1）充分用好“角符號(hào)”。

角符號(hào)在許多教學(xué)中是被忽視的，被認(rèn)為僅僅是個(gè)符號(hào)而已。一個(gè)小小的弧線直接指向了角的定義以及角大小的定義。如果我們把畫角符號(hào)的過程用慢鏡頭記錄下來，它是對“角可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形”最簡潔的描述；同時(shí)也是對角大小的最有力的印證。

兩位教師第一次向?qū)W生呈現(xiàn)角符號(hào)時(shí)，都是隆重而認(rèn)真地，一邊用紅筆畫，一邊介紹“我們還有專門的記號(hào)表示角”；學(xué)生判斷角時(shí)，教師也提出：是角的就像這樣用符號(hào)標(biāo)出，這是在讓學(xué)生用操作來強(qiáng)化角符號(hào)的內(nèi)涵；到了最后，也是借助角符號(hào)幫助學(xué)生突破“角的大小與兩邊張開的程度有關(guān)”這一難點(diǎn)的：設(shè)計(jì)一中，角的邊“變長了”，可是角符號(hào)紋絲不動(dòng)，說明角的大小沒有隨著邊的長短而變化；設(shè)計(jì)二中，學(xué)生清楚地看到，藍(lán)色角比紅色角的角符號(hào)還要“再多畫些”，可見它比紅色角大，雖然它的邊“短些”。

（2）環(huán)環(huán)相扣，實(shí)現(xiàn)進(jìn)階。

針對學(xué)生誤將角的大小理解為面的大小這一現(xiàn)實(shí)，兩位教師設(shè)計(jì)了多個(gè)環(huán)節(jié)，逐步瓦解學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)知，讓學(xué)生真正理解角大小的內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)階。

環(huán)節(jié)一：比較兩個(gè)角的大小。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，特別強(qiáng)調(diào)：頂點(diǎn)對齊，一條邊對齊，比什么？比剩下的另一條邊，哪個(gè)角“在外面”（張開得更大些），哪個(gè)角就大。

環(huán)節(jié)二：把一個(gè)角變大（變小）。學(xué)生在“變”的過程中體會(huì)到，就是要把角的邊再張開些或是合攏些。

這兩個(gè)環(huán)節(jié)的目的是從正面讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，角的大小與兩邊張開的程度有關(guān)。（但并不代表學(xué)生就真的認(rèn)識(shí)到了，因?yàn)榍拔囊逊治鲞^，此時(shí)學(xué)生很可能認(rèn)為邊張開了，面也就大了，所以角就大了）

環(huán)節(jié)三：幫助學(xué)生徹底撇清角大小與邊的長短之間的關(guān)系。設(shè)計(jì)一中的魔術(shù)，學(xué)生看到角的邊在“伸長”，可是兩條邊張開的度像是被角符號(hào)“粘住”似的，沒有任何變化。設(shè)計(jì)二中，學(xué)生一開始的“不統(tǒng)一意見”就已激發(fā)了思考的沖動(dòng)，當(dāng)課件演示將兩個(gè)角的點(diǎn)、邊重合，教師的一句“接下來到底比什么”以及角符號(hào)的描畫過程都強(qiáng)有力地將學(xué)生對面積的關(guān)注聚焦到“兩邊張開的程度”上。

總之，讀懂學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的起點(diǎn)。感謝兩位教師為我們提供了豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。