基于偏微分方程與維納濾波模型的圖像去噪

劉光宇,曾志勇,曹 禹,趙恩銘,邢傳璽

(1.大理大學 工程學院，云南 大理 671003；2.哈爾濱工程大學 物理與光電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001；3.云南民族大學 電氣信息工程學院，云南 昆明 650031）

由于受設備、環境以及人為因素的干擾，圖像中通常包含了運動模糊和高斯白噪聲，影響機器以及人們對圖像信息的獲取．因此，圖像去噪是圖像信息獲取過程中不可缺少的一部分[1]，傳統的圖像去噪方法會模糊圖像的邊緣和細節．為了減少去噪過程中產生的不利影響，學者們開始著手研究各種高階去噪模型[2-4]．張曉娟研究的偏微分方程圖像去噪模型有良好的數學理論基礎，且具有較強的局部自適應性和高度的靈活性[5]．之后，呼亞萍、孔韋韋等人提出了一種TV全變分圖像去噪模型，該方法能夠理想去除圖像中的噪聲，使處理后圖像的PSNR、熵和MSE 評價指標數值有較好的表現，但其算法的平均運行時間較長[6]．2020年，黃培研究指出，維納濾波的優點是能夠規避處理頻域時會出現的病態問題，當PSF 已知時，對模糊圖像的復原效果更加顯著，但它所采用的最小均方誤差準則和人的視覺并不是完美契合的[7]．黃金、周先春、吳婷等提出了一種混合維納濾波與改進型TV 的圖像去噪模型，該模型能夠有效去除噪聲、強化邊緣，有效地保證了邊緣結構的細節信息[8]．

因此，為了解決去噪過程中造成邊緣細節和紋理特征模糊的問題，本文利用TV 全變分偏微分方程模型與維納濾波模型相結合的方法對圖像進行去噪處理，并通過仿真實驗驗證了該方法的可行性．

1 TV 模型與維納濾波模型

1.1 TV 模型

TV 模型是基于偏微分方程去噪模型中的經典，它對于很多圖像噪聲污染問題有著明顯的作用，且因該模型能有效保留圖像的邊緣部分并消除圖像中的噪聲，到目前依然受到相關鄰域研究者的青睞[9].

TV 模型定義的能量函數為[10]：

并且滿足噪聲約束：

在實際的圖像處理中，被污染的圖像可以看作是幾乎處處連續的原函數，通過上述算法可對原函數圖像進行運算，即將被污染區域與相鄰的區域進行積分，通過調整相關參數來改變算法的運算條件，從而達到去噪的目的．TV 模型通常通過改變運算的迭代次數，來達到理想的去噪效果.不同的迭代次數，具有不同的去噪效果．當迭代次數過低時，圖像中的噪聲無法得到有效去除，當迭代次數過高時，圖像的邊緣細節會出現模糊的情況，影響整體圖像質量．因此，使用TV模型進行去噪時，需要選擇合適的迭代次數．

1.2 維納濾波模型

維納濾波器是一種線性濾波器，通常被用于在被污染信息中提取有用的信號[12]．維納濾波器基于最小均方誤差準則[13]，其去噪原理圖如圖1 所示．

圖1 維納濾波器去噪原理

均方誤差則為：

維納濾波的目的在于推導均方誤差為最小值時的濾波器系數，即：

令上式值為0，即可求出極值點：

由于實際情況下無法準確得到理想的統計參數，因此通常采用實際輸入信號的相關采樣來進行估計．該公式也被稱為維納-霍夫方程[14]，是最小均方誤差準則下的濾波器系數最優解法．

維納濾波器在實際中應用領域廣泛，包括噪聲抑制，系統識別，預測等，本文主要利用其噪聲抑制特性對圖像進行處理．

1.3 TV 模型與維納濾波模型的結合

當在無噪聲干擾的情況下，維納濾波器的功能相當于逆濾波，設原始圖像為降質函數為則最終得到的降質圖像為：

理想情況下的逆濾波為：

式（11）可以看作是降質函數的逆反過程，理論上可以完全恢復圖像，但在實際情況下會存在噪聲，因此設噪聲為，則降質后的圖像為：

此時對降質圖像的逆濾波過程變為：

實際處理情況下，TV 模型不可能完全去除圖像中的噪聲，因此在實際處理情況中，若給定一個系統：

基于這樣的誤差度量，濾波在頻域的描述為：

由式（16）可以看出，當噪聲為零，信噪比的值趨近無窮，此時的維納濾波可以簡化為逆濾波，但當噪聲增加時，會影響到維納濾波的整體效果，即維納濾波的最終結果依賴于信噪比的取值．

因此，處理帶噪聲圖像的處理過程中可以結合使用TV 模型，TV 模型能在保留圖像原有信息的基礎上有效提高信噪比，并且通過調整迭代次數可以得到更優的結果．

2 仿真實驗

首先，選取大小為512×512 的輪船圖像(圖2a)作為實驗對象，對其添加均值為0，方差為0.1的高斯白噪聲和角度為0，位移為10 的運動模糊.然后利用中值濾波、均值濾波以及TV 模型與維納濾波模型相結合的方法對含噪圖像進行去噪處理，其中TV 模型的迭代次數設為10，處理結果如圖2 所示．

圖2 輪船圖像

從圖2(c)(d)(e)可以看出，通過中值濾波處理后，圖像的對比度得到了提升，但其去噪效果并不明顯．通過均值濾波處理后，圖像的去噪效果相比中值濾波有一定程度的提高，但其對比度降低，直觀視覺效果較差．采用TV 模型與維納濾波模型相結合的方法對圖像進行處理后，圖像中的噪聲得到很大程度的濾除，同時邊緣細節保存較為完整，視覺效果改善明顯．從直觀視覺的角度證明了該方法的可行性和有效性．

為進一步客觀具體地評估所采用的方法，通過計算圖像的均方誤差(Mean Squared Error，MSE)、信噪比(Signal to Noise Ratio ，SNR)、峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)以及結構相識度(Structural Similarity，SSIM)來對圖像質量進行判斷．MSE、SNR、PSNR 和SSIM的計算公式如下：

式中的參數表示與式(17)相同．

圖2(b)(c)(d)(e)中的各項質量評價指標如表1 所示．

表1 輪船圖像質量評價指標(dB)

從表1 中的實驗數據可以看出，通過中值濾波和均值濾波方法去噪處理后，圖像中的SNR 值、PSNR 值和SSIM 值都有一定程度的提升，MSE 值有一定程度的下降．通過TV 模型與維納濾波模型相結合的方法進行處理后，圖像的SNR 值從5.7943 提升至16.2139；PSNR 值從11.4799 提升至21.8995；SSIM 值從0.0398 提升至0.6127；MSE 值從0.0711 下降至0.0064，各項數據都明顯優于中值濾波法和均值濾波法．

由于TV 模型的迭代次數對實驗結果有一定影響，故對迭代次數進行進一步研究．選取大小為512×512 的石柱圖像，對其添加均值為0，方差為0.1 的高斯白噪聲和角度為0，位移為10 的運動模糊．利用TV 模型與維納濾波模型相結合的方法對含噪圖像進行處理，其中TV 模型的迭代次數分別選取為5 次、10 次、15 次、20 次、25 次和30次，得到的結果與中值濾波、均值濾波進行對比．實驗結果如圖3 所示.

圖3 石柱圖像

從圖3 可以看出，隨著迭代次數的增加，TV 模型與維納濾波模型相結合的方法的去噪能力逐漸增強，圖像中的噪聲得到進一步濾除．但同時也要避免迭代次數過大，以防止細節信息丟失．通過計算圖3 各子圖像的MSE 值、SNR 值、PSNR 值和SSIM 值，對去噪效果進行比較．計算結果如表2 所示．

從表2 中可以看出，當迭代次數為5 至30 次時，TV 模型與維納濾波模型相結合的方法的SNR值、PSNR 值和SSIM 值都明顯高于中值濾波法和均值濾波法；MSE 值明顯低于中值濾波法和均值濾波法，表明在合適的迭代次數范圍內，TV 模型與維納濾波模型相結合的方法在上述三種方法中去噪效果最好，失真程度最小，邊緣保持能力最強．

表2 石柱圖像質量評價指標

3 結語

本文介紹了TV 全變分偏微分方程模型和維納濾波模型的基本概念，并結合兩種模型的去噪優勢對含噪圖像進行處理．仿真結果表明，無論從直觀圖像還是客觀數據，本文所采用的方法都更為有效地提升了圖像的整體質量，使去噪后的圖像進一步接近原始圖，驗證了該方法的可行性和有效性．