源于模型，變式拓展，實現教學價值最大化
——對一類含45°角幾何問題的探究實踐

■朱建良

羅增儒教授說過，數學解題有四步：記憶模仿、變式練習、自發領悟、自覺分析。其中，自發領悟層次的要求較高，它是對解題內蘊的深層結構進行剖析，是從感性層面到理性層面來認識問題的本質特征。而在數學課堂教學中，將系列變式問題與課堂生成的問題進行整合，巧妙穿插，能使學生達到較好的融會貫通、自發領悟的學習效果。

下面是對一類含45°角幾何問題的探究實踐，從模型出發，通過挖掘教材、一題多解、變式拓展，彰顯解題方法蘊藏的數學思想以及每個環節蘊含的數學思維價值，以期提高學生的思辨推理能力，實現教學價值的最大化。

一、品味模型，睿智追問

模型呈現：如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別在AB、BC邊上，AB=9，FC=2BF，CE、AF交于點G，且∠AGE=45°，求CE的長。

圖1

對問題進行多樣化探究可以概括事物的數量關系和變化規律，教給學生獲取知識的方法，激發學生的思維。探究這類正方形背景下的含45°角的幾何問題時，教師可以適時引導學生進行聯想、分析，在類比中思考，避免思維定式。

師：正方形是個完美的特殊圖形，由題意可聯想到正方形的“半角模型”。如圖2所示，在正方形ABCD中，∠FAM=45°，延長CB至點N，使BN=DM，則有結論FM=BF+DM。那么，圖1與“半角模型”有什么關系呢？

圖2

生1：在圖1中可以構造“半角模型”。過點A作EC的平行線，交CD于點M，連接FM，延長CB至點N，使BN=DM，利用“半角模型”以及勾股定理，可求出CE（圖略）。

師：很好，學會聯想模型，便水到渠成。能否另辟蹊徑，建構直角三角形求解呢？

生2：可以，過點C作AF延長線的垂線，并過點F作CE的垂線，利用線段比例可求出CE。

師：如果在圖1中連接AC，能證明嗎？

圖3

生3：可以。如圖3，過點F作FH⊥AC于點H。∠1+∠2=∠3+∠4=∠2+∠3=45°，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴tan∠1=tan∠3=，FC=6，FH=HC=，AH，∴tan∠2=tan∠4=，∴BE=，∴EC=。

師（追問）：生3的研究框架是如何構建的？順勢再研究，還有不同的求解方法嗎？

生4：有。如圖4，連接AC，過點E作EH⊥AC于點H，tan∠1=tan∠3=（生3的解法）。設EH=x，則HC=3x，AC=4x=，∴x=，∴CE=。

圖4

師：很精彩，連老師都沒有發現這種方法。如圖5，過點A作AM∥EC交DC于點M，大家觀察圖形，可發現什么結論？

圖5

生5：有tan∠DAM=tan∠ECB，還有平行四邊形AECM，求出MC，就能得到EC。

此時，有學生提出，也可通過證明Rt△ADM≌Rt△CBE或過點A作CE延長線的垂線來解決問題。生3構造直角三角形，將角自然轉化為銳角三角函數，由特殊位置建立邊的數量關系，為學生進行深度思考添加了催化劑，引爆了學生的思路，令人意外又合情合理，突顯了數學思維，真正體現了“知識與技能”的學習目標。

師：我們要學會觀察，學會轉化，把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題。這個案例隱藏了豐富的內涵，這幾位同學的解法背后蘊藏了什么樣的數學觀點或數學思想？

通過解法剖析，挖掘正方形中45°角問題的橫向聯系，體現了基礎知識的聯系性；由基本的模型出發，添加輔助線，變換圖形位置，發展了學生的多向思維方式；由數到形，對幾何題的條件進行變式，對問題進行深度探究，既體現了研究問題的方法多樣性，又體現了數學推理的嚴謹性，逐步完善了學生的知識結構，培養了學生舉一反三的數學學習能力。

二、變式模型，意義建構

變式：如圖6，在△ABC中，∠C=90°，點F在BC上，且BF=AC。點E在AC上，且AE=CF，AF與BE相交于點P，求證：∠BPF=45°。

圖6

師：請大家思考，如何在Rt△ABC中構造數學模型？

生6：如圖7過點B作BC的垂線，取BD=FC，連接DF、AD，即可證明。

圖7

生7：過點F作BC的垂線，取FD=FC，連接BD、DE，利用全等三角形（圖略），也能證明。

設計意圖：對原模型做變換，把問題情境放置在三角形中，延續了對之前問題的研究，化未知為已知，發散了學生的思維，培養了學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養。

三、深化問題，一般化結論

拓展：如圖8，梯形OABC，OA∥BC，OA=4，OC=，BC=1，AB=，∠COD=45°，求AD。

圖8

師：問題情境變化為梯形中的45°角問題，與變式問題的圖形相比，你有什么發現？

生8類比生6的解法，延長線段OC、AB至相交，由構造三角形全等轉化為構造三角形相似來解決問題

師（追問）：大家看看從形的角度能否尋找到思路。如果連接OB，有相似三角形嗎？

生9：有，△BCO∽△ADO，再算出BO，由線段之比即可得到AD。

構造相似三角形，構圖簡潔，計算量小，這些解法自然也是一種更優化的解法。本拓展突出了問題變式中圖形本質屬性的一致性，引導學生進一步理解基本圖形關鍵屬性的變化，加深學生對圖形相似的理解。

生10：如圖9，延長線段AO至F，使OF=1，連接CF，過點C作CE⊥AF于點E。構造等腰直角三角形CEF，∴∠CFO=45°，∴∠COD=∠CFO=45°，∴∠FCO=∠DOA。

圖9

師：為什么截取OF=1？構造Rt△CEF有類似方法嗎？為什么要構造Rt△CEF？

生11：連接OB，△OBA為等腰直角三角形，截取OF=BC=1，可構造出等腰Rt△CFE。

生12：也可直接作∠CFE=45°。

生13：證明△COF∽△ODA，然后求出AD。

學生思維活躍，研究氛圍濃郁。設計系列變式問題，不斷變換知識的非本質特性，讓新知識和學生已有的經驗建立有意義的關聯；合理轉化梯形中的45°角問題，在拓展變化的過程中突出知識的關鍵屬性，展現數學知識間的縱橫聯系，構造相似三角形或直角三角形，展現知識的發生和發展過程，有助于學生掌握一般化的方法。

至此，探究完成。在教學中，教師如果嘗試由基本圖形出發，變式拓展問題，一題多解，一題多變，類比探究，不僅能夠激發學生學習數學的興趣，還能豐富解題方法，使學生舉一反三，觸類旁通，認清問題本質，深化對問題本質的理解，收到事半功倍的效果，有效提升學生的學科素養。