強化能力訓練 優化數學復習效益

福建 廖占榮 盧秀敏

二輪復習在高三復習中起著至關重要的作用，其目的是幫助學生全面地、系統地梳理高中數學的教材內容，使學生能在獲得“四基”，提高“四能”的過程中，發展數學學科核心素養，逐步學會用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界；提高學習數學的興趣，增強學好數學的信心，養成良好的學習習慣；樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神；發展自主學習能力，提高實踐能力，提升創新意識；認識數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值.如何提高二輪復習效率是每一位高三教師必須思考和研究的問題.基于新高考的新評價體系，高三教師有必要強化數學基本能力，優化數學二輪復習效益.

1.強化“圖形表征”，讓數學鮮活靈動

“借數言形，以形代數”這一重要的思想方法，突出幾何直觀與代數運算之間的融合，展現數學整體性、多面性的特征.數學中的概念、定理及公式等研究對象，不僅是符號表征、數字表征，還有相應的圖形表征、幾何表征.如集合的交、并、補及子集運算，通過數軸、韋恩圖的幫助，可形象地解析其運算過程及結果；函數的圖象可直觀地展現函數的最值、單調性、對稱性、周期性等基本性質；立體幾何問題中的體積、表面積公式是學生在解題時易錯易混的一個知識點，在強化圖形表征后，可有序建立形——式——數的對應關系，幫助學生形象化地記憶和理解公式.

( )

答案：B

分析：本題考查圓錐的側面展開圖、母線長的計算，考查學生從立體圖形到平面圖形的思維轉換，重點落實了直觀想象、數學抽象核心素養.

( )

答案：C

命題意圖：從高考要求的基本圖形入手，結合割補思想、相似關系、平面幾何圖形與立體幾何圖形的轉化、臺體側面積公式等的考查，難度上有所提升，可進一步考查學生的空間想象能力、推理論證能力.

2.強化“符號表征”，讓數學更顯簡潔

符號表征是對文字表征的一種重要補充，符號的最大特點是簡潔性.例如，不等關系中“不大于”與“≤”是同一個含義，但在學生的眼中，顯然“≤”更加簡潔易懂.再如，橢圓的定義是“平面內，到兩個定點的距離之和為常數(大于兩定點的距離)的動點的軌跡.”其符號表示為|PF1|+|PF2|=2a(其中F1,F2分別為平面內的兩個定點，P為動點，2a>2c=|F1F2|).文字語言通俗易懂，但是表述數學概念時不易表露知識的內在聯系，而符號表征就可將數學研究對象通過形象、簡潔的數學符號，明確地指代，對數學原理集中表示和結構描述.

【例2】(2021·新高考Ⅱ卷·8)設函數f(x)的定義域為R，且f(x+2)為偶函數，f(2x+1)為奇函數，則

( )

C.f(2)=0 D.f(4)=0

答案：B

快解：因為函數f(2x+1)為奇函數，所以f(2×0+1)=f(1)=0，因為f(1)=f(-1+2)，函數f(x+2)為偶函數，所以f(-1+2)=f(1+2)=f(3)=0，因為f(3)=f(2×1+1)，函數f(2x+1)為奇函數，所以f(2×(-1)+1)=f(-1)=-f(2×1+1)=0.

3.強化“情境解讀”，讓數學貼近生活

數學是源于生活，用于生活的.新高考下的考試評價體系中，要求設置情境化試題，以考查學生數學閱讀能力和發現問題、分析問題、轉化問題、解決實際問題的能力.

分析：本題融合生活實踐情境和剪紙藝術情境，考查邏輯推理、直觀想象及數學運算核心素養，讓學生深刻體會到“數學就在身邊觸手可及的地方”，而不僅僅是數字游戲或是書本中的數學.教師在講解本題前，可為每位學生發放一張打印紙，實際操作“對折”實驗，再觀察折前與折后之間的變與不變的關系，然后進行邏輯推理，最后得出結論.

4.強化“二級結論”，讓數學變得簡單

數學運算是解決數學問題的基本手段，通過運算能夠促進學生數學思維的發展.通過常見的“二級結論”解決數學問題，可優化數學運算的過程，使學生逐步形成規范化、程序化的思維品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.

答案:a>b>c

“二級結論”常常是高考命題的重要素材，是解答高考題的有力手段.強化“二級結論”的記憶，可以幫助學生尋找正確的解題方向，實現快速解題，甚至“秒殺”某些選擇題、填空題，拓展解題思路，更有助于學生高角度把握和理解題目的本質.例如，高考壓軸題“函數與導數”的第二問中的證明不等式問題中，經常使用到的函數放縮，如ex≥x+1,lnx≤x-1(x≥1)等.

5.強化“概念辨析”，讓數學走得更廣

數學概念是產生數學思想方法的源泉，是構建、優化解題思路的原動力.解題時，應借鑒概念的抽象過程，構建處理類似問題的解題方法；類比起基礎性應用，衍生處理類似問題的方法；多角度思考構建并優化解題思路.如等差數列與等比數列的證明、橢圓與雙曲線的離心率問題、正弦定理與余弦定理的應用、空間中的平行與垂直關系等.

【例5】(2021·新高考Ⅰ卷·8)有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則

( )

A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立

答案：B

分析：本題以古典概型為情境，考查“相互獨立事件”的概念，從學生的解題情況看，甲、乙、丙、丁四個事件的概率是比較容易求解的，但是對于四個事件之間的相互獨立關系分析，就存在問題了.由此可見學生對事件是否獨立的判定依據是不確定的，本質上就是對“相互獨立”的概念的不確定.

一輪復習備考中，辨析事件之間的三個基本概念：“相互獨立”“互斥”“對立”，

①設A,B為兩個事件，若P(A∩B)=P(A)·P(B)，則稱事件A與事件B為相互獨立事件；

②若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B為互斥事件，且P(A∪B)=P(A)+P(B)；

③若A∩B為不可能事件，且A∪B為必然事件，則稱事件A與事件B互為對立事件，且P(A)+P(B)=1.

6.強化“通性通法”，讓數學有跡可循

解題教學是數學復習中的日常教學活動，但是“一聽就懂，懂而不會”的現象不在少數，因此，在解題教學過程中，除了復習新授課所講的方法外，還要對解題方法總結其思考方向、思維過程，進而形成固定的通性通法.如函數的單調性判定方法，基本不等式的“一正、二定、三相等”，恒成立問題找最值等.學生在審題之后，能快速地根據題設條件，構建數學模型，確定解題方向.

【例6】已知0

答案：ba

分析：分組比較這四個數：①對于ab和aa，借助指數函數y=ax的單調性可比較大小；②對于ba和bb，借助指數函數y=bx的單調性可比較大小；③對于aa和ba，借助冪函數y=xa的單調性可比較大小；④對于ab和ba，就可以借助中間量aa傳遞大小關系.

通性通法：比較冪值大小的三種類型及處理方法

①底數相同，指數不同——利用指數函數的單調性來判斷；

②底數不同，指數相同——利用冪函數的單調性來判斷；

③底數不同，指數也不同——尋找中間量作橋梁來比較.

7.強化“數感敏銳”，讓數學解題方向明確

數感是一個人對數的感覺、感知、感悟，是學習數學的基本能力，是學生必備的學科素養.數感貫穿于整個高中階段的每一個知識環節、知識單元、知識體系，其價值、內涵、意義值得實踐探究與創新發現.

答案：-2

【例8】已知f(x)=ax4+bcosx+7x-2.若f′(2 020)=6，則f′(-2 020)=________.

答案：8

分析：本題條件中的數字“2 020”與“-2 020”顯然是一對相反數，與之關聯的數學知識為函數的奇偶性中f(x)與f(-x)的關系，故本題研究對象f′(x)=4ax3-bsinx+7中隱藏著一個奇函數g(x)=4ax3-bsinx，則f′(x)=g(x)+7,f′(-x)=g(-x)+7,所以f′(x)+f′(-x)=14為定值.故所求為8.

8.強化“問題診斷”，讓數學更加嚴密

“學而不思則罔”，高三數學二輪復習就需要查缺補漏，及早發現問題，因而教師指導學生在解題之后進行相應的問題診斷，并糾正錯誤，就顯得比埋頭刷題更加有效.如在每次的小題限時訓練或階段考試之后，可讓學生自我反思.

考試類型限時訓練題號1234……22得分失誤分可補償分考點集合復數三角數列函數

通過自我數據統計，學生可進一步自我問題診斷，方便下一步的針對性復習和鞏固.

【例9】已知函數f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x.試討論f(x)的單調性.

問題診斷：①未考慮函數的定義域；②參數分類不完整；③解題不夠規范.

正解：函數f(x)的定義域為(0，+∞)，

當a=0時，令f′(x)=0，可得x=1，當x∈(0,1)時，f′(x)>0，所以f(x)在(0,1)上單調遞增；

當x∈(1,+∞)時，f′(x)<0，所以f(x)在(1，+∞)上單調遞減.

當x∈(0,1)時，f′(x)>0，所以f(x)在(0,1)上單調遞增；

當x∈(1,+∞)時，f′(x)<0，所以f(x)在(1，+∞)上單調遞減.

9.結束語