基于發展數學運算核心素養的解題教學探討

廣東 陳應全

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標準》)中指出了數學學科的六大核心素養，其中數學運算核心素養作為六大核心素養之一，它主要表現：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果.數學運算貫穿于整個數學學習過程，是各個階段數學學習必須具備的一項基本技能和核心素養.數學運算的準確性、簡潔性直接影響到學生數學成績的高低.因此，如何有效地發展學生數學運算核心素養是作為一線教師非常值得探討的重要課題.

解題教學是高中數學課堂的重要課型之一，教師通過引導學生經歷分析問題和解決問題的過程，達到鞏固數學知識、培養思維能力、滲透數學思想方法的目的.在此過程中，發展學生數學運算核心素養自然也成為解題教學的潛在收獲.可是，這當中收獲有多大呢？事實上，不少老師在解題教學中仍然習慣采用“教師示范+學生模仿”的模式，注重解題模式的識別，淡化對學生的引導和啟發等，使得解題教學未能達到預期的教學效果.可見，教師教學觀念落后，解題教學策略使用不當，對發展學生數學運算核心素養的收效甚微.下面筆者結合典型案例探討基于發展學生數學運算核心素養的解題教學，以期拋磚引玉.

1 教學探討

1.1 確認運算對象,奠定運算基礎

《課程標準》中數學運算核心素養水平二指出：能夠在關聯的情境中確定運算對象，提出運算問題.可見，確定運算對象是探究運算思路的前提.在解題教學中，教師要有針對性地選取在關聯情境中如何確定運算對象的例題，并引導學生分析題意并確認運算對象，為學生提出數學運算問題奠定基礎.

【例1】已知函數f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0，證明：當-10時，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的極大值點，求a.

可見，在較復雜的關聯情境中確認合適的運算對象，使得表面看起來非常困難的問題都會迎刃而解.因此，在解題教學中，教師可以通過結合運算情境引導學生理解運算對象所在的知識體系，多角度嘗試，實現運算對象的多元表征，讓學生領悟選取不同的運算對象使得其解題過程的繁簡程度是迥然不同的，旨在培養學生在關聯情境中確定合適運算對象的意識，掌握確定運算對象的基本策略，這對發展學生數學運算核心素養的作用是巨大的.

1.2 明辨運算思維，把握數學本質

《課程標準》對數學運算核心素養水平一指出：在運算過程中，能夠體會運算法則的意義和作用，能夠運算驗證簡單的數學結論.因此，在解題教學中，教師不能只看運算結果而忽略數學運算過程，必須要讓學生明辨數學運算思維的合理性，旨在把握數學內容的本質.

這是2019年人教版A普通高中教科書數學必修第一冊第229頁的一道習題.在教學中，筆者發現不少學生有如下的做法:

所以cosC=-cos(A+B)

=-(cosAcosB-sinAsinB)

【例3】已知1≤a+b≤3，-1≤a-b≤2，則z=3a-b的取值范圍是________.

對于本題，很多學生有如下做法：

所以-2≤3a-b≤7.

以上解法看似無懈可擊，其實忽略了一個重要的隱含條件：a,b之間存在相互制約的關系，導致求得的范圍過大.事實上，由于a,b間存在制約關系，可以將a+b,a-b看成一個整體并找出3a-b與a+b，a-b的關系，從而求得3a-b的范圍為[-1,7].

從以上兩個例子可以看出，學生運算思維方式存在偏差，往往會出現算不明、理不清的情況導致解答過程有誤.因此，在解題教學中，我們務必要將數學運算的道理講清楚，讓學生明辨自己的思維方式是否有不恰當之處，幫助學生養成獨立思考的習慣，從而達到發展學生數學核心素養的目的.

1.3 厘清運算路徑，優化運算思路

《課程標準》對數學運算核心素養的水平二要求：能夠針對運算問題，合理選擇運算方法、設計運算程序，解決問題.可見，運算對象的確定與運算方法的選擇是運算素養中的重要環節.數學運算素養的高低主要體現不在于運算本身，而是在運算對象的確定與運算路徑的設計.章建躍教授在《中學數學課改的十個論題》中提出：“理解數學、理解學生、理解教學是進行新課改有效教學的三個大基石”.因此，在解題教學中，教師要對教學設計中例題涉及的通性通法了如指掌，更要明確每種運算路徑的思維關鍵點以及復雜運算出現的關鍵節點，要以此為基礎幫助學生厘清運算路徑，以期優化運算思路.

章建躍博士曾說過，簡單試題更能體現教師的教學基本功，難度不高的試題更有利于開展教學，更有利于教學目標的達成.因此筆者在平面數量積的習題課選用了一道難度適中的題目作為例題.下面是兩位學生的解答過程.

學生2：如圖，建立平面直角坐標系，

以上兩位同學做法都是正確的，通過集體討論一致認為學生2的做法對邏輯推理、數學運算核心素養要求較低，是一種更加優越的運算思路.筆者就此做了總結：求解平面向量數量積通法有兩種，分別是基底法和坐標法.基底法(學生1)一般要求作為基底的兩個向量模與夾角都要明確，進而把相關向量表示出來后，再進行數量積運算.坐標法(學生2)，建系時一般遵循對稱原則與簡單化原則，即讓更多點落在坐標軸上以便表示相關的向量坐標，再進行數量積運算；使用坐標法時，合理建系后轉化為坐標運算即可，此法對數學運算要求較低；而使用基底法時，用基底表示相關向量往往需要充分利用平行四邊形法則、三角形法則以及數乘運算等，對邏輯推理和數學運算要求較高，所以一般優先考慮坐標法.

通過以上例題的講解，幫助學生厘清了求解向量數量積的運算路徑，并補充了如下題目檢驗教學效果.

( )

A.[-1,1] B.[0,2]

C.[-2,2] D.[-2,0]

答案：D

1.4 把控運算細節，加快素養提升

《課程標準》在數學運算素養水平三中指出：能夠在綜合情境中，把問題轉化為運算問題，確定運算對象和運算法則，明確運算方向；在交流中能夠用程序思想理解和解釋問題.在解題教學中，教師不僅要明確每種水平的具體要求，還要站在水平三的高度上指導學生數學運算細節，幫助學生的數學運算水平往更高的等級邁進.

(1)求E的方程；

(2)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點.當△OPQ的面積最大時，求l的方程.

師：△OPQ的面積變化是由誰影響呢？

生1：直線l的斜率k.

師：△OPQ面積公式是什么?

生2：△OPQ面積公式是底與高乘積除以2.

師：你能分別用k表示出△OPQ的底與高嗎？

生3：可以的，用弦長公式將底|PQ|用k表示，用點到直線距離公式將高用k表示.

至此，學生已將△OPQ面積用k表示出來，根據原則，可以認為達到了水平二的要求.那么，如何將學生的數學運算水平再提升一個等級呢？

生4：最大困惑在于上式分子中的根號.

師：可以讓它消失嗎？如何才可以消失？

1.5 交流運算成果，促進素養養成

史寧中教授認為：學生數學核心素養的形成與發展，本質上是學生“悟”出來的，是學生通過獨立思考，以及和他人的討論、反思逐漸養成的一種習慣.而課堂作為發展學生數學運算核心素養的主陣地.因此，在解題教學中，教師要精心設計教學過程并為學生搭建一個交流運算成果的平臺，在每完成一道題后要有師生間、生生間的交流過程，讓同學們走過的數學運算歷程做好分享并形成良好的學習經驗，如運算對象如何確認，運算路徑如何獲取，運算錯誤如何規避以及每種運算路徑的運算成本等.在交流的過程中，讓他們逐步學會借助運算探討問題，用程序思想理解和解釋問題.這樣的數學課堂對學生運算核心素養的養成更深刻.

2 結束語